كيفية العثور على مركز الدائرة بثلاث نقاط: طريقة بسيطة وصيغ حسابية

مركز الدائرة هو أحد المفاهيم الأساسية للهندسة ، وإيجاد إحداثياتها في ثلاث نقاط معينة هو أحد المهام المهمة للرياضيات والهندسة. في هذه المقالة ، سنلقي نظرة على طريقة بسيطة للعثور على مركز الدائرة ، وكذلك النظر في صيغ الحساب.

بادئ ذي بدء ، دعونا نفكر في طريقة بسيطة للعثور على مركز الدائرة بثلاث نقاط. للقيام بذلك ، نحتاج إلى أخذ ثلاث نقاط تقع على الدائرة. باستخدام هذه النقاط ، يمكننا إنشاء خطين مستقيمين يمران عبر نقاط المنتصف للقطاعات التي تربط أزواج من هذه النقاط. بعد العثور على نقطة تقاطع هذه الخطوط ، سنجد المركز المطلوب للدائرة.

ومع ذلك ، هناك صيغ تسمح لك بالعثور على إحداثيات مركز الدائرة بشكل أكثر دقة. للقيام بذلك ، يمكننا استخدام نظام معادلات أو صيغة تعتمد على إيجاد الخطوط العمودية التي تمر عبر نقاط المنتصف للقطاعات بين النقاط المزدوجة. تتطلب هذه الطرق بعض الحسابات ، لكنها تسمح لك بالعثور على الدوائر المركزية بدقة عالية.

من المهم ملاحظة أنه من أجل تحديد مركز الدائرة بثلاث نقاط ، من الضروري ألا تقع النقاط على نفس الخط المستقيم. خلاف ذلك ، لن يكون للدائرة مركز.

1. كيفية العثور على مركز الدائرة بثلاث نقاط
2. الطريقة الرسومية
3. صيغ الحساب
4. الطريقة البسيطة
5. صيغ الحساب
6. سؤال وجواب
7. كيف يمكنني العثور على مركز دائرة معرفة إحداثيات ثلاث نقاط?
8. ما هي الصيغ التي يمكن استخدامها لحساب مركز الدائرة?
9. هل من الممكن استخدام خوارزمية لحساب مركز الدائرة باستخدام الزوايا?

كيفية العثور على مركز الدائرة بثلاث نقاط

يعد العثور على مركز دائرة تمر عبر ثلاث نقاط معينة مشكلة تنشأ في الهندسة والرياضيات. هناك عدة طرق للعثور على مركز الدائرة بثلاث نقاط ، بما في ذلك الطريقة الرسومية واستخدام صيغ الحساب.

الطريقة الرسومية

تتضمن الطريقة الرسومية بناء مثلث يتكون من ثلاث نقاط معينة ورسم منصفات المثلث. ستكون نقطة تقاطع المنصفات الثلاثة هي مركز الدائرة.

الخطوات:

1. بناء مثلث باستخدام النقاط الثلاث المعطاة.
2. أوجد نقاط المنتصف في جوانب المثلث. للقيام بذلك ، ارسم خطوطا مستقيمة تمر عبر منتصف الجوانب وعموديا على الجوانب المقابلة.
3. أوجد نقاط تقاطع الخطوط المرسومة عبر نقاط المنتصف لأضلاع المثلث. ستكون هذه النقاط هي نقاط المنتصف للقطاعات التي تربط رؤوس المثلث بمركز الدائرة.
4. قم ببناء دائرة تمر عبر ثلاث نقاط معينة ، باستخدام نقاط المنتصف الموجودة للقطاعات كمراكز للدائرة.

صيغ الحساب

هناك أيضا صيغ لحساب مركز الدائرة عند ثلاث نقاط.

للعثور على إحداثيات مركز الدائرة (س ، ص) ، يمكنك استخدام الصيغ التالية:

1. ابحث عن إحداثيات منتصف المقطع الذي يربط بين النقطتين الأولى والثانية. دعنا نشير إلى هذه الإحداثيات على أنها (س1, ص1).
2. ابحث عن إحداثيات منتصف المقطع الذي يربط النقطتين الثانية والثالثة. دعونا نشير إلى هذه الإحداثيات على أنها (س2 ، ص2).
3. أوجد المعامل الزاوي للخط المستقيم الذي يمر عبر النقطتين الأولى والثانية باستخدام الصيغة: م1 = (ص2-ص1) / (س2 — س1).
4. أوجد المعامل الزاوي للخط المستقيم الذي يمر عبر النقطتين الثانية والثالثة باستخدام الصيغة: م2 = (ص3-ص2) / (س3 — س2).
5. أوجد إحداثيات مركز الدائرة باستخدام الصيغ: س = (م1 * م2 * (ص1-ص3) + م2 * (س1 + س2) — م1 * (س2 + س3)) / (2 * (م2-م1)). ص = -1 * (س - (س 1 + س 2) / 2) / م 1 + (ص 1 + ص 2) / 2.

تعطي هذه الصيغ إحداثيات مركز الدائرة عند ثلاث نقاط معطاة.

باستخدام طريقة رسومية أو صيغ حسابية ، يمكنك العثور على مركز دائرة تمر عبر ثلاث نقاط محددة.

الطريقة البسيطة

يمكنك العثور على مركز الدائرة بثلاث نقاط باستخدام خوارزمية بسيطة:

1. حدد ثلاث نقاط على متن الطائرة: أ ، ب ، ج.
2. العثور على منتصف الجزء أب-هذه هي النقطة م.
3. العثور على منتصف الجزء قبل الميلاد-هذه هي النقطة ن.
4. أوجد معادلة الخط المستقيم الذي يمر عبر النقطتين أ و ب: ص = مكس + ج ، أين م هو المعامل الزاوي و ج هو المصطلح الحر.
5. أوجد معادلة الخط المستقيم الذي يمر عبر النقطتين ب و ج: ص = مكس + ج.
6. حل نظام المعادلات التي تتكون من معادلتين تم الحصول عليهما من الخطوط. العثور على إحداثيات نقطة تقاطع هذه الخطوط-وهذا هو مركز الدائرة.

وهكذا ، بطريقة بسيطة ، يمكنك العثور على مركز دائرة تمر عبر ثلاث نقاط معينة على متن الطائرة.

صيغ الحساب

لحساب إحداثيات مركز الدائرة عند النقاط الثلاث المحددة ، يمكن استخدام الصيغ التالية:

1. العثور على منتصف الجزء:

إذا كان هناك جزء مع إحداثيات نقطتين (س1 ، ص1) و (س2 ، ص2) ، ثم إحداثيات منتصف هذا الجزء (شم ، يم) يمكن حسابها باستخدام الصيغة التالية:

2. إيجاد ميل خط مستقيم يمر عبر نقطتين:

إذا كانت هناك نقطتان (س1 ، ص1) و (س2 ، ص2) ، فيمكن حساب ميل الخط المستقيم (ك) باستخدام الصيغة التالية:

3. إيجاد معادلة خط مستقيم يمر عبر نقطتين:

معرفة ميل الخط (ك) وإحداثيات إحدى النقاط (س ، ص) ، يمكنك الحصول على معادلة الخط في شكل نقطة (ص = ك * (س — س1) + ص1).

4. إيجاد معادلة خط عمودي على خط معين ويمر عبر نقطة معينة:

إذا كانت هناك معادلة لخط مستقيم في النموذج ص = ك س + ب ، أين ك هو ميل خط مستقيم ، ثم معادلة خط مستقيم عمودي على هذا ويمر عبر نقطة (س0, ص0) يمكن كتابتها كـ ص = -1 / ك س + (ص0 + س0 / ك).

5. إيجاد إحداثيات مركز الدائرة:

باستخدام معادلات خطين عموديين يمران عبر نقاط المنتصف من جانبي المثلث ، وكذلك معادلة خط مستقيم يمر عبر رؤوس المثلث ، يمكنك العثور على تقاطع هذه الخطوط. الإحداثيات الناتجة هي إحداثيات مركز الدائرة.

6. حساب نصف قطر الدائرة:

يمكن حساب نصف قطر الدائرة على أنه المسافة من مركز الدائرة إلى أي من النقاط الثلاث المحددة.

سؤال وجواب

كيف يمكنني العثور على مركز دائرة معرفة إحداثيات ثلاث نقاط?

للعثور على مركز الدائرة عند ثلاث نقاط ، يمكنك استخدام الطريقة التالية: العثور على منتصف الجزء أب (منتصف عمودي على أب سوف تحتوي على مركز الدائرة) ، ثم العثور على منتصف الجزء قبل الميلاد ووسط الجزء أس. ستكون نقطة تقاطع نقاط المنتصف الثلاث هذه هي مركز الدائرة.

ما هي الصيغ التي يمكن استخدامها لحساب مركز الدائرة?

Если известны координаты трех точек, то можно воспользоваться следующими формулами: x = ((x₁² + y₁²) * (y₃ — y₂) + (x₂² + y₂²) * (y₁ — y₃) + (x₃² + y₃²) * (y₂ — y₁)) / (2 * (x₁ * (y₂ — y₃) — y₁ * (x₂ — x₃) + x₂ * y₃ — x₃ * y₂)), y = ((x₁² + y₁²) * (x₃ — x₂) + (x₂² + y₂²) * (x₁ — x₃) + (x₃² + y₃²) * (x₂ — x₁)) / (2 * (x₁ * (y₂ — y₃) — y₁ * (x₂ — x₃) + x₂ * y₃ — x₃ * y₂)).

هل من الممكن استخدام خوارزمية لحساب مركز الدائرة باستخدام الزوايا?

لا ، لا يمكن استخدام الزوايا لحساب مركز الدائرة عند ثلاث نقاط دون استخدام الإحداثيات ، لأن الزوايا ليست مفيدة بدرجة كافية لتحديد الموضع الدقيق لمركز الدائرة.