الدوال المثلثية هي إحدى الوظائف الرياضية الرئيسية التي تستخدم لوصف التبعيات في مختلف العلوم والهندسة. تستخدم على نطاق واسع في الفيزياء والهندسة والميكانيكا والإلكترونيات والعديد من المجالات الأخرى. من بين الدوال المثلثية الأكثر شهرة الجيب وجيب التمام والظل.
عندما نفكر في وظائف مثل الجيب وجيب التمام ، فإن السؤال الذي يطرح نفسه هو النطاق الذي تتغير فيه قيمها. كيفية العثور على أكبر وأصغر قيم الدالة المثلثية وكيف ترتبط هذه القيم. يمكن أن تكون الإجابة على هذه الأسئلة مفيدة في حل المشكلات المختلفة المتعلقة بتحليل الرسوم البيانية للدوال المثلثية ، وإيجاد القيم القصوى والدنيا ، وما إلى ذلك.
في هذه المقالة ، سننظر في الخوارزميات والأساليب لإيجاد أكبر وأصغر قيم الدالة المثلثية. سيتم النظر في كل من الحالات البسيطة والحالات الأكثر تعقيدا المتعلقة بتواتر هذه الوظائف. من أجل الوضوح ، سيتم توفير الرسوم البيانية والأمثلة العددية لمساعدتك على فهم القيم التي يمكن أن تتخذها الدوال المثلثية اعتمادا على الوسيطة.
- القيم القصوى والدنيا للدالة المثلثية
- كيف يمكنني العثور على القيمة القصوى للدالة?
- كيف يمكنني العثور على الحد الأدنى لقيمة وظيفة?
- سؤال وجواب
- ما هي الدالة المثلثية?
- كيف يمكنني العثور على أكبر قيمة للدالة المثلثية?
- كيف يمكنني العثور على أصغر قيمة الدالة المثلثية?
القيم القصوى والدنيا للدالة المثلثية
الدوال المثلثية مثل الجيب وجيب التمام والظل لها قيم قصوى ودنيا معينة في نطاق معين. تعتمد هذه القيم بشدة على نوع الوظيفة والفاصل الزمني الذي يتم أخذها في الاعتبار.
تعتمد القيم القصوى والدنيا للجيب وجيب التمام على السعة ، والتي يتم تعيينها بواسطة المعامل أمام الوظيفة. على سبيل المثال ، بالنسبة لدالة جيبية بسعة 1 ، فإن القيمة القصوى هي 1 والقيمة الدنيا هي -1. وبالمثل ، بالنسبة لجيب التمام بسعة 1 ، فإن القيمة القصوى هي أيضا 1 ، والقيمة الدنيا هي -1.
تعتمد قيم الظل القصوى والدنيا على فترة الوظيفة. نظرا لأن دالة الظل تتكرر كل radi راديان أو 180 درجة ، يمكن الحصول على القيم القصوى والدنيا بمقارنة القيم خلال نفس الفترة. على سبيل المثال ، بالنسبة لدالة الظل ، يتم الوصول إلى القيمة القصوى بقيمة radi/2 راديان أو 90 درجة ، ويتم الوصول إلى القيمة الدنيا بقيمة-π/2 راديان أو -90 درجة.
| وظيفة | القيمة القصوى | الحد الأدنى للقيمة |
|---|---|---|
| جيب | 1 | -1 |
| جيب التمام | 1 | -1 |
| الظل | غير محدود حتى | - غير محدود أسفل |
يمكن حساب قيمة الجيب وجيب التمام والظل للوظائف باستخدام الجداول المثلثية أو باستخدام آلة حاسبة ذات وظائف علمية.
من المهم معرفة القيم القصوى والدنيا للدوال المثلثية عند العمل مع الرسوم البيانية للوظائف وعند حل المعادلات المتعلقة بالدوال المثلثية.
كيف يمكنني العثور على القيمة القصوى للدالة?
للعثور على القيمة القصوى للدالة ، اتبع الخطوات التالية:
- أوجد مشتق الدالة.
- حل معادلة المشتق يساوي الصفر لإيجاد النقاط الحرجة.
- حدد ما إذا كانت كل نقطة حرجة هي الحد الأقصى أو الحد الأدنى باستخدام المشتق الثاني للاختبار. للقيام بذلك ، ابحث عن المشتق الثاني واستبدل النقاط الحرجة فيه.
- حدد القيمة القصوى من القيم المستلمة.
مثال:
| وظيفة | المشتقات | المشتق الثاني |
|---|---|---|
| و (س) = س2-4 س + 5 | و ' (س) = 2 س-4 | و " (خ) = 2 |
مقرر:
- أوجد مشتق الدالة: و ' (س) = 2 س-4
- لنحل معادلة المشتق من أجل المساواة إلى الصفر: 2س-4 = 0
- س = 2
- أوجد المشتق الثاني للدالة: و " (س) = 2
- استبدل النقطة الحرجة الموجودة في المشتق الثاني: و"(2) = 2
- القيمة القصوى للدالة تساوي المشتق الثاني عند النقطة الحرجة: 2
وبالتالي ، فإن القيمة القصوى للدالة و (س) = س2-4س + 5 هي 2.
كيف يمكنني العثور على الحد الأدنى لقيمة وظيفة?
من أجل العثور على الحد الأدنى لقيمة الوظيفة ، من الضروري اتباع تسلسل معين من الإجراءات. دعونا ننظر إلى هذه الخطوات بمزيد من التفصيل.
- ابدأ بالبحث عن النقاط الحرجة للوظيفة. النقاط الحرجة هي قيم الوسيطة التي يمكن أن تحتوي فيها الوظيفة على أقصى الحدود (الحد الأدنى أو الحد الأقصى).
- للعثور على النقاط الحرجة ، واتخاذ مشتق من وظيفة ومساواة ذلك إلى الصفر.
- حل المعادلة التي تم الحصول عليها في الخطوة السابقة لإيجاد قيم الوسيطة المقابلة للنقاط الحرجة.
- استبدل قيم الوسيطة التي تم العثور عليها في الوظيفة الأصلية وابحث عن قيم الدالة المقابلة.
- قارن جميع قيم الدالة التي تم العثور عليها وحدد أصغرها. سيكون هذا هو الحد الأدنى لقيمة الوظيفة.
وبالتالي ، باتباع هذه الخطوات ، يمكنك العثور على الحد الأدنى لقيمة الوظيفة. من المهم أن تتذكر أنه في بعض الحالات يمكن الوصول إلى الحد الأدنى لقيمة الوظيفة ليس فقط عند النقطة الحرجة ، ولكن أيضا عند حدود مجال تعريف الوظيفة.
سؤال وجواب
ما هي الدالة المثلثية?
الدالة المثلثية هي دالة تربط زوايا وجوانب المثلث القائم الزاوية. يتم تحديده من خلال نسبة جانب أو جزء على مستوى الإحداثيات إلى طول نصف قطر الدائرة. أمثلة على الدوال المثلثية هي الجيب وجيب التمام والظل.
كيف يمكنني العثور على أكبر قيمة للدالة المثلثية?
يمكن العثور على أكبر قيمة للدالة المثلثية إذا عرفنا كيف تتغير. على سبيل المثال ، تصل دالة الجيب إلى قيمتها القصوى 1 عندما تكون الزاوية 90 درجة أو radi\بي/2 radi راديان. وبالمثل ، تصل دالة جيب التمام إلى أعلى قيمة 1 بزاوية 0 درجة أو 0 راديان. بمعرفة ميزات التغيير في الدالة المثلثية ، يمكننا إيجاد أكبر قيمة لها.
كيف يمكنني العثور على أصغر قيمة الدالة المثلثية?
يمكن أيضا العثور على أصغر قيمة للدالة المثلثية إذا عرفنا كيف تتغير. على سبيل المثال ، تصل دالة الجيب إلى أدنى قيمة لها -1 عندما تكون الزاوية 270 درجة أو 3 3\بي/2 radi راديان. وبالمثل ، تصل دالة جيب التمام إلى أدنى قيمة -1 بزاوية 180 درجة أو radi \ بي radi راديان. باستخدام خصائص تغيير الدالة المثلثية ، يمكننا إيجاد أصغر قيمة لها.