يعد حساب رقم الوحدة العكسية عملية رياضية مهمة. ولكن ما هو عدد مودولو معكوس? إذا تم إعطاء رقمين أ و م ، فإن الرقم ب يسمى الرقم العكسي مودولو م إلى الرقم أ إذا تم استيفاء الشرط أ*ب 1 1 (وزارة الدفاع م). بمعنى آخر ، حاصل ضرب أ و ب يعطي الباقي من 1 عند القسمة على م.
هناك طرق مختلفة لحساب عدد معكوس مودولو. واحد منهم هو خوارزمية إقليدس الموسعة. تتيح لك هذه الخوارزمية العثور على أكبر قاسم مشترك لرقمين وتمثيله كمزيج خطي من هذه الأرقام. باستخدام الخوارزمية الإقليدية الموسعة ، من الممكن العثور على رقم معكوس مودولو.
طريقة أخرى لحساب الرقم المعكوس المعياري هي الطريقة العكسية المضاعفة. من أجل العثور على الرقم المعكوس مودولو ، من الضروري إيجاد الرقم ب ، والذي ، عند ضربه في أ ، يعطي الباقي 1 عند القسمة على م. للقيام بذلك ، يمكنك استخدام نظرية أويلر ، التي تنشئ علاقة بين قيم دالة أويلر والعكس المضاعف.
- معكوس عدد مودولو: ما هذا?
- طرق حساب الرقم العكسي
- طريقة التغذية المرتدة
- طريقة التحليل إلى عوامل
- طريقة اللوغاريتم المنفصلة
- طريقة الاختبار والخطأ
- طريقة خوارزمية إقليدس الموسعة
- طريقة التقسيم البسيط
- أمثلة على حساب الرقم العكسي
- مثال على حساب الرقم العكسي مودولو 7
- سؤال وجواب
- ما هو عدد معكوس مودولو?
- لماذا أحتاج لحساب معكوس عدد مودولو?
- ما هي الطريقة التي يمكن استخدامها لحساب عدد معكوس مودولو?
- كيف تعمل خوارزمية إقليدس الموسعة?
- هل من الممكن إعطاء مثال على استخدام حساب عدد معكوس مودولو?
- هل من الممكن استخدام حساب عدد معكوس مودولو لحل المعادلات?
رقم معكوس مودولو: ما هذا?
رقم الوحدة العكسية هو رقم ، عند ضربه يعطي الرقم الأصلي باقي 1 عند القسمة على معامل معين. في الرياضيات ، مقلوب مودولو تستخدم على نطاق واسع لحل مشاكل مختلفة ، مثل إيجاد العناصر العكسية في حلقات البقايا.
لفهم مفهوم الرقم المعكوس مودولو ، يمكنك تخيل مثال مع ما تبقى من القسمة. ضع في اعتبارك الرقم 7 والمعامل 5. عندما نقسم 7 على 5 ، نحصل على الباقي 2. وينطبق الشيء نفسه على الأرقام الأخرى: 12 % 5 = 2, 17 % 5 = 2 الخ.
الرقم العكسي مودولو 5 للرقم 7 هو مثل هذا الرقم ، عند ضربه في 7 سيعطي الباقي 1 عند القسمة على 5. في هذه الحالة ، الرقم العكسي مودولو 5 للرقم 7 هو 3.
لحساب وحدة الرقم العكسي ، يمكن استخدام طرق مختلفة ، مثل الخوارزمية الإقليدية الموسعة أو طريقة التحليل إلى عوامل.
يحتوي رقم الوحدة العكسية على عدد من الخصائص التي يمكن استخدامها لحساب أكثر كفاءة:
- إذا أ و ب هي أعداد أولية متبادلة ، ثم الرقم العكسي مودولو موجود وفريد من نوعه
- إذا أ و ب هي أعداد أولية متبادلة ، فإن الرقم العكسي هو أ^(فاي (ب)-1) وزارة الدفاع ب ، أين فاي (ب) هي دالة أويلر
- إذا أ و ب ليست أعدادا أولية متبادلة ، فلا يوجد رقم معكوس مودولو
استخدام مقلوب مودولو له العديد من التطبيقات ، بما في ذلك التشفير ونظرية الأعداد والخوارزميات.
طرق حساب الرقم العكسي
يعد حساب نموذج الرقم العكسي عملية مهمة في الجبر والتشفير. هناك طرق مختلفة لإيجاد الرقم العكسي وحل هذه المشكلة. دعونا ننظر إلى بعض منهم.
طريقة التغذية المرتدة
طريقة التغذية الراجعة هي واحدة من أبسط الطرق وأكثرها شيوعا لحساب وحدة الرقم العكسي. يعتمد على الخوارزمية الإقليدية الموسعة ويستخدم للعثور على العنصر العكسي المضاعف.
خطوات طريقة التغذية الراجعة:
- التعبير عن عدد مودولو
- تطبيق الخوارزمية الإقليدية المتقدمة للعثور على أكبر القاسم المشترك (غد) من عدد ومعامل
- إذا كانت العقدة تساوي 1 ، فإن الرقم له معكوس مضاعف مودولو
- احصل على الرقم العكسي باستخدام ما تبقى من قسمة واحد على العقدة التي تم العثور عليها
طريقة التحليل إلى عوامل
تعتمد طريقة التحليل إلى عوامل على تحليل الوحدة. يمكن أن يكون العثور على نموذج الرقم العكسي باستخدام هذه الطريقة عملية كثيفة الاستخدام للموارد ، خاصة بالنسبة للأعداد الكبيرة. ومع ذلك ، إذا كانت الوحدة هي نتاج اثنين من الأعداد الأولية ، يمكن أن تكون هذه الطريقة فعالة.
خطوات طريقة التحليل إلى عوامل:
- تحليل الوحدة إلى أرقام أولية
- احصل على قيمة دالة أويلر من الوحدة
- قم بتطبيق الخوارزمية الإقليدية الموسعة للعثور على العنصر العكسي المضاعف
طريقة اللوغاريتم المنفصلة
تعتمد طريقة اللوغاريتم المنفصل على إيجاد اللوغاريتم المنفصل لوحدة الأرقام. يتم استخدامه في التشفير ويمكن تطبيقه لحساب العنصر العكسي المضاعف. ومع ذلك ، فإن هذه الطريقة معقدة حسابيا وتتطلب الكثير من الوقت والموارد.
خطوات طريقة اللوغاريتم المنفصلة:
- ابحث عن اللوغاريتم المنفصل لوحدة رقم معينة
- قم بتطبيق الصيغة لحساب العنصر العكسي المضاعف
طريقة الاختبار والخطأ
طريقة الاختبار والخطأ هي طريقة بسيطة لحساب وحدة الرقم العكسي. وهو يتألف من التكرار المتسلسل من خلال جميع القيم الممكنة والتحقق مما إذا كانت معكوسة لعدد معين. قد لا تكون هذه الطريقة فعالة للأعداد الكبيرة ، ولكنها قد تكون مفيدة للقيم الصغيرة.
خطوات طريقة الاختبار والخطأ:
- كرر من خلال جميع القيم الممكنة
- تحقق مما إذا كانت معكوسة لعدد معين
نتيجة كل طريقة من هذه الطرق هي رقم معكوس يمكن استخدامه لأغراض مختلفة ، بما في ذلك حل المعادلات وتشفير البيانات وفك التشفير.
طريقة خوارزمية إقليدس الموسعة
تعد طريقة خوارزمية إقليدس الموسعة طريقة فعالة للعثور على رقم معكوس مودولو ، بناء على امتداد خوارزمية إقليدس للعثور على أكبر قاسم مشترك لرقمين.
لاستخدام طريقة خوارزمية إقليدس الموسعة ، تحتاج إلى معرفة عددين صحيحين: الرقم الذي يجب العثور على معكوسه ، والوحدة التي يجب العثور عليها من خلالها.
تتكون الخوارزمية من الخطوات التالية:
- تهيئة المتغيرات أ0 ، أ1 ، ب0 ، ب1 ، ر0 ، ر1 على النحو التالي:
- أ0 = 1 ، أ1 = 0 ، ب0 = م ، ب1 = ن ، أين م هي الوحدة ، و ن هو الرقم الذي يجب إيجاد معكوسه;
- ر0 = 0 ، ر1 = 1.
- حتى ب1 يصبح مساويا لـ 0 ، نقوم بتنفيذ الإجراءات التالية:
- س = ب0 / ب1 ، أين ف هي نتيجة قسمة عدد صحيح;
- ر = ر0-س * ر1;
- أ = أ0-ف * أ1;
- ب = ب0-ف * ب1;
- تعيين قيم للمتغيرات: أ0 = أ1 ، أ1 = أ ، ب0 = ب1 ، ب1 = ب ، ر0 = ر1 ، ر1 = ر.
- بعد نهاية الدورة ، القيمة أ0 سيكون الرقم العكسي المطلوب مودولو م.
على سبيل المثال ، إذا كنت بحاجة إلى إيجاد معكوس الرقم 5 مودولو 7 ، ثم باستخدام طريقة خوارزمية إقليدس الموسعة ، نحصل على النتائج التالية:
| خطوة | أ0 | أ1 | ب0 | ب1 | تي0 | تي1 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| التهيئة | 1 | 0 | 7 | 5 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 5 | 2 | 1 | -1 |
| 2 | 1 | -1 | 2 | 1 | -1 | 2 |
| 3 | -1 | 3 | 1 | 0 | 2 | -5 |
بعد اكتمال الخوارزمية ، تكون قيمة أ0 هي -1 ، وهو الرقم العكسي المطلوب مودولو 7. وبالتالي ، فإن معكوس الرقم 5 مودولو 7 هو -1.
طريقة التقسيم البسيط
طريقة القسمة البسيطة هي إحدى طرق حساب رقم الوحدة العكسية. يعتمد على خوارزمية إقليدس ويستخدم للعثور على وحدة العنصر العكسي المضاعف.
لحساب الرقم العكسي مودولو أ-1 مودولو م باستخدام طريقة القسمة البسيطة ، يجب تنفيذ الخطوات التالية:
- نجد القاسم المشترك الأكبر لـ أ و م باستخدام خوارزمية إقليدس.
- إذا كان القاسم المشترك الأكبر للعقدة (أ ، م) لا يساوي 1 ، فلا يوجد عنصر معكوس.
- إذا عقدة (أ ، م) يساوي 1 ، ثم نجد عدد س الذي يفي بالشرط التالي : أ * س 1 1 (وزارة الدفاع م).
- الرقم س هو معكوس المطلوب من مودولو م.
على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك حساب الوحدة العكسية 7 للرقم 3:
| خطوة | الحساب |
|---|---|
| 1 | العقدة (3 ، 7) = 1 |
| 2 | الرقم العكسي موجود |
| 3 | 3 * س 1 1 (وزارة الدفاع 7) |
| 4 | س = 5 ، منذ 3 * 5 = 15 1 1 (وزارة الدفاع 7) |
وبالتالي ، فإن الرقم 5 هو معكوس الرقم 3 مودولو 7.
طريقة القسمة البسيطة هي طريقة بسيطة وفعالة لحساب رقم الوحدة العكسية ، خاصة عند العمل بقيم صغيرة.
أمثلة على حساب الرقم العكسي
فيما يلي بعض الأمثلة على حساب الرقم العكسي مودولو.
مثال 1:
احسب معكوس الرقم 3 مودولو 7.
مقرر:
نحن نبحث عن رقم ، عند ضربه في 3 ، يعطي الباقي من 1 عند القسمة على 7.
دعونا نحاول ضرب 3 بالتتابع بالأرقام من 1 إلى 6 والعثور على رقم يعطي ما تبقى من 1:
العدد التكوين الباقي 1 3 3 2 6 6 3 9 2 4 12 5 5 15 1 6 18 4 إذن ، معكوس الرقم 3 مودولو 7 هو 5.
المثال 2:
احسب معكوس الرقم 6 مودولو 11.
مقرر:
نحن نبحث عن رقم ، عند ضربه في 6 ، يعطي الباقي من 1 عند القسمة على 11.
دعونا نحاول ضرب 6 بالتتابع بالأرقام من 1 إلى 10 والعثور على رقم يعطي الباقي 1:
العدد التكوين الباقي هو 1 6 6 2 12 1 3 18 7 4 24 4 5 30 10 6 36 8 7 42 5 8 48 2 9 54 9 10 60 6 إذن ، معكوس الرقم 6 مودولو 11 هو 2.
المثال 3:
احسب معكوس الرقم 4 مودولو 9.
مقرر:
نحن نبحث عن رقم ، عند ضربه في 4 ، يعطي الباقي من 1 عند القسمة على 9.
دعنا نحاول ضرب 4 بالتسلسل في الأرقام من 1 إلى 8 وإيجاد رقم يعطي باقي 1:
العدد التكوين الباقي 1 4 4 2 8 8 3 12 3 4 16 7 5 20 2 6 24 6 7 28 1 8 32 5 إذن ، معكوس الرقم 4 مودولو 9 هو 7.
مثال على حساب الرقم العكسي مودولو 7
لحساب الرقم العكسي مودولو 7 ، تحتاج إلى استخدام الخوارزمية الإقليدية الموسعة. على سبيل المثال ، نريد حساب معكوس الرقم 3 مودولو 7.
- تشكل خوارزمية إقليدس الموسعة:
- يمكن أن نرى من الخطوة السابقة أن المعامل س هو -2. ومع ذلك ، للحصول على الرقم العكسي مودولو 7 ، تحتاج إلى الحصول على قيمة موجبة. للقيام بذلك ، أضف 7 إلى -2 حتى نحصل على قيمة موجبة:
| خطوة | a | b | x | y | q |
| 0 | 7 | 3 | 1 | 0 | — |
| 1 | 3 | 7 % 3 = 1 | 0 | 1 | 7 / 3 = 2 |
| 2 | 1 | 3 % 1 = 0 | 1 | -2 | 3 / 1 = 3 |
س = -2 + 7 = 5
وبالتالي ، فإن الرقم العكسي للعدد 3 مودولو 7 هو 5.
سؤال وجواب
ما هو عدد معكوس مودولو?
الرقم الذي هو معكوس مودولو م إلى الرقم أ هو الرقم ب ، والذي ، عند ضربه في أ ، يعطي الباقي 1 عند القسمة على م.
لماذا أحتاج لحساب معكوس عدد مودولو?
حساب عدد معكوس مودولو لديه العديد من التطبيقات ، بما في ذلك التشفير ، الحساب من أعداد كبيرة ، حل المعادلات في حلقة بقايا وغيرها من المشاكل الرياضية.
ما هي الطريقة التي يمكن استخدامها لحساب عدد معكوس مودولو?
تتمثل إحدى طرق حساب الرقم المعكوس المعياري في استخدام الخوارزمية الإقليدية الموسعة. تتيح لك هذه الخوارزمية العثور على أكبر قاسم مشترك لرقمين والتعبير عنه في نفس الوقت من حيث هذه الأرقام.
كيف تعمل خوارزمية إقليدس الموسعة?
تستخدم خوارزمية إقليدس الموسعة نهجا تكراريا وتستند إلى الصيغة التالية: غد(أ ، ب) = غد(ب ، أ وزارة الدفاع ب). تستمر الخوارزمية في العمل حتى يصبح ب مساويا لـ 0. ثم ، باستخدام سلسلة من المساواة ، يمكنك التعبير عن غد(أ ، ب) من خلال أ و ب ، والذي يسمح لك لإيجاد الرقم الذي هو معكوس مودولو.
هل من الممكن إعطاء مثال على استخدام حساب عدد معكوس مودولو?
نعم ، على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك مشكلة إيجاد رقم معكوس النموذج 5. لنفترض أن لدينا الرقم 3 ، ونريد إيجاد رقم س ، عند ضربه في 3 ، يعطي الباقي من 1 عند القسمة على 5. حل هذه المشكلة باستخدام الخوارزمية الإقليدية الموسعة ، نحصل على أن الرقم س = 2 هو معكوس مودولو 5 إلى الرقم 3.
هل من الممكن استخدام حساب عدد معكوس مودولو لحل المعادلات?
نعم ، يمكن أن يكون حساب الرقم العكسي للوحدة مفيدا لحل المعادلات في حلقة البقايا. في هذه الحالة ، إذا عرفنا العدد المعكوس للوحدة ، فيمكننا استخدامه لإيجاد العناصر العكسية في حلقة معينة وحل المعادلات.