واحدة من أشهر المهام المتعلقة بالاحتمالات هي حساب عدد خيارات إسقاط النسر مع تقلبات متعددة للعملات المعدنية. هذه المهمة مثيرة للاهتمام لأنها تسمح لك بتحديد احتمال الحصول على نتيجة معينة.
تخيل أن لدينا عملة معدنية ذات وجهين-رؤوس وذيول. إذا قلبنا هذه العملة مرة واحدة ، يمكننا الحصول على نتيجتين محتملتين — رؤوس أو ذيول.
الآن دعونا نلقي نظرة على مشكلة أكثر تعقيدا-ماذا يحدث إذا قلبنا عملة معدنية عدة مرات? على سبيل المثال،, كم مرة سوف رؤساء تسقط مع 6 تقلب عملة? يمكننا استخدام طرق مختلفة لحل هذه المشكلة ، ومع ذلك ، غالبا ما يتم استخدام التوافقيات.
كتلة التوافقية هي فرع من فروع الرياضيات يدرس طرقا مختلفة لتحديد الكائنات من مجموعة معينة. في هذه الحالة ، نحن نبحث عن عدد من الخيارات التي النسر سوف تسقط ما لا يزيد عن 2 مرات مع 6 تقلب عملة واحدة.
- تحديد الاحتمال
- رؤساء وذيول
- كيفية حساب الاحتمال
- التوزيع ذو الحدين
- صيغة برنولي
- أمثلة على الحسابات
- تأثير عدد من القذفات
- سؤال وجواب
تحديد الاحتمال
تعريف الاحتمال هو مفهوم رياضي يسمح لك بتقدير فرص حدوث نتائج مختلفة لظاهرة عشوائية. هذا المفهوم هو أحد المفاهيم الرئيسية في نظرية الاحتمالات.
يمكن تمثيل الاحتمال عدديا في النطاق من 0 إلى 1. الرقم 0 يعني أن نتيجة حدث عشوائي مستحيلة ، والرقم 1 يعني أن نتيجة الحدث موثوقة.
يمكن حساب احتمال حدوث حدث بقسمة عدد النتائج الإيجابية على العدد الإجمالي للنتائج المحتملة لظاهرة عشوائية. على سبيل المثال ، في حالة قلب العملة ، يمكن تحديد احتمال سقوط النسر بقسمة عدد الخيارات عند سقوط الرؤوس (1 نتيجة) على إجمالي عدد الخيارات (2 نتيجة – رؤوس أو ذيول).
لتحديد احتمال الحصول على نتيجة لا تزيد عن 2 مرات مع 6 تقلب عملة ، يمكنك استخدام التوافقية. من الضروري مراعاة جميع التركيبات الممكنة التي لن تتجاوز فيها النتيجة القيمة المحددة.
باستخدام جدول الاحتمالات ، يمكنك حساب جميع المجموعات وتحديد أي منها يفي بالشرط. ثم يمكنك تلخيص احتمالات كل مجموعة للحصول على الاحتمال الكلي للحصول على نتيجة لا تزيد عن 2 مرات مع 6 تقلب عملة.
| عدد النسور | الاحتمال |
|---|---|
| 0 | 15.63% |
| 1 | 31.25% |
| 2 | 31.25% |
| 3 | 19.53% |
| 4 | 2.34% |
| 5 | 0.08% |
| 6 | 0.00% |
لذلك ، فإن الاحتمال الكلي للحصول على نتيجة لا تزيد عن 2 مرات مع 6 تقلب عملة حوالي 98.99٪.
رؤساء وذيول
رؤساء وذيول هي لعبة كلاسيكية التي تقوم على الوجه عملة واحدة. أثناء اللعبة ، يحاول اللاعبون التنبؤ بنتيجة رمي العملة المعدنية-سواء كانت الرؤوس (صورة نسر) أو ذيول (صورة ذيول) ستسقط.
في هذه المقالة ، سننظر في احتمال سقوط نسر عند رمي عملة معدنية عدة مرات.
لنفترض أننا نقلب عملة معدنية 6 مرات. هناك نوعان من النتائج المحتملة في كل إرم — رؤساء أو ذيول. ما مجموعه^2 ^ 6=64 combinations مجموعات مختلفة من النتائج ممكنة.
لكننا لسنا مهتمين بأي مجموعة ، ولكن في عدد محدد من المرات عندما تسقط الرؤوس. نريد أن نجد احتمال الحصول على نتيجة لا تزيد عن 2 مرات.
لحل هذه المشكلة ، يمكننا استخدام التوزيع ذي الحدين. احتمال الحصول على بالضبط ك رؤساء مع ن تقلب العملة تعطى بالصيغة التالية:
| k | ف (ك) |
|---|---|
| 0 | 6/64 |
| 1 | 15/64 |
| 2 | 20/64 |
للعثور على احتمال الحصول على نتيجة لا تزيد عن 2 مرات ، تحتاج إلى إضافة جميع الاحتمالات بدءا من 0 وتنتهي مع 2:
الاحتمال = ص (0) + ص (1) + ص(2) = 6/64 + 15/64 + 20/64 = 41/64 ≈ 0.641
وبالتالي ، فإن احتمال الحصول على نتيجة لا تزيد عن 2 مرات مع 6 تقلب عملة حوالي 0.641 أو 64.1٪.
كيفية حساب الاحتمال
لحساب احتمال وقوع حدث ما ، تحتاج إلى معرفة عدد النتائج الإيجابية والعدد الإجمالي للنتائج. تبدو صيغة الاحتمال كما يلي:
الاحتمال = عدد النتائج الإيجابية / إجمالي عدد النتائج
في حالتنا ، ونحن نريد لمعرفة احتمال الحصول على نتيجة لا يزيد عن 2 مرات مع 6 تقلب عملة واحدة.
لحل هذه المشكلة ، يمكننا استخدام التوافقية والتوزيع الاحتمالي.
يتم تحديد عدد نتائج رمي العملة بواسطة الصيغة 2^ن ، أين ن هو عدد القذفات. في هذه الحالة ، ن = 6 ، وبالتالي فإن العدد الإجمالي للنتائج هو 2^6 = 64.
لمعرفة عدد النتائج الإيجابية (في هذه الحالة ، فإن عدد المرات التي تسقط فيها الرؤوس لا يزيد عن 2 مرات) ، يمكننا النظر في جميع المجموعات الممكنة وحساب عددها.
على سبيل المثال ، إذا كنا الوجه عملة 6 مرات ، ثم هناك عدة مجموعات حيث النسر يقع لا يزيد عن 2 مرات:
- أوريول ، ريشكا ، ريشكا ، ريشكا ، ريشكا ، ريشكا
- النسر ، النسر ، ريشكا ، ريشكا ، ريشكا ، ريشكا
- النسر ، ريشكا ، النسر ، ريشكا ، ريشكا ، ريشكا
- النسر ، ريشكا ، ريشكا ، النسر ، ريشكا ، ريشكا
- النسر ، ريشكا ، ريشكا ، ريشكا ، النسر ، ريشكا
- النسر ، ريشكا ، ريشكا ، ريشكا ، ريشكا ، ريشكا ، النسر
- ريشكا ، النسر ، النسر ، ريشكا ، ريشكا ، ريشكا
- ريشكا ، النسر ، ريشكا ، النسر ، ريشكا ، ريشكا
- ريشكا ، النسر ، ريشكا ، ريشكا ، النسر ، ريشكا
- ريشكا ، أوريول ، ريشكا ، ريشكا ، ريشكا ، أوريول
- ريشكا ، ريشكا ، النسر ، النسر ، ريشكا ، ريشكا
- ريشكا ، ريشكا ، النسر ، ريشكا ، النسر ، ريشكا
- ريشكا ، ريشكا ، النسر ، ريشكا ، ريشكا ، النسر
- ريشكا ، ريشكا ، ريشكا ، النسر ، النسر ، ريشكا
- ريشكا ، ريشكا ، ريشكا ، النسر ، ريشكا ، النسر
- ريشكا ، ريشكا ، ريشكا ، ريشكا ، النسر ، النسر
وبالتالي ، فإن عدد النتائج الإيجابية هو 15.
استبدل القيم التي تم الحصول عليها في صيغة الاحتمال:
الاحتمال = عدد النتائج الإيجابية / إجمالي عدد النتائج = 15/64 0 0.2344
وبالتالي ، فإن احتمال الحصول على نتيجة لا تزيد عن 2 مرات مع 6 تقلب عملة حوالي 0.2344 أو حوالي 23.44٪.
التوزيع ذو الحدين
التوزيع ذو الحدين هو أحد التوزيعات الاحتمالية الرئيسية ويستخدم على نطاق واسع في الإحصاء لتحليل الأحداث ذات النتيجتين المحتملتين — "النجاح" و "الفشل".
يصف احتمال الحصول على عدد معين من النتائج الناجحة وغير الناجحة في سلسلة من التجارب المستقلة ، لكل منها احتمال ثابت للنجاح.
يتم إعطاء التوزيع من خلال معلمتين: عدد التجارب (ن) واحتمال النجاح في كل منها (ع).
في حالة قلب العملة ، فإن احتمال النجاح (للحصول على نسر) هو 0.5 ، وعدد التجارب (تقلب العملة) هو 6.
لتحديد احتمال الحصول على نتيجة لا تزيد عن 2 مرات مع 6 تقلب عملة ، يمكنك استخدام الصيغة ذات الحدين.
احتمال الحصول على ك النجاحات في سلسلة من ن التجارب مع احتمال النجاح ص تعطى بالصيغة:
ص (س = ك) = ج (ن ، ك) * ص^ك * (1-ص)^(ن-ك)
أين ج (ن ، ك) هو عدد مجموعات ن بواسطة ك ، يساوي ن! / (ك! * (ن-ك)!).
- ن هو عدد التجارب (تقلب العملة)
- ك هو عدد النجاحات (قطرة النسر)
- ص هو احتمال النجاح (قطرة النسر)
- 1-ص هو احتمال الفشل (سقوط الذيول)
لحساب احتمال الحصول على نتيجة لا يزيد عن 2 مرات مع 6 عملة تقلب ، يمكنك إضافة ما يصل احتمالات النجاح ك = 0 ، ك = 1 و ك=2:
ع (س 2 2) = ع (س = 0) + ع (س=1) + ع (س = 2)
وبالتالي ، يمكنك حساب كل من الاحتمالات باستخدام الصيغة أعلاه والحصول على مجموعها.
في هذا المثال ، يمكنك استخدام جدول المجموعة للعثور على قيم ج(ن ، ك) واستخدام الآلة الحاسبة للحصول على النتيجة النهائية.
صيغة برنولي
صيغة برنولي هي صيغة رياضية تستخدم لحساب احتمالية النجاح في سلسلة من التجارب حيث يكون لكل تجربة نتيجتان محتملتان فقط — النجاح أو الفشل.
تسمح لك صيغة برنولي بتحديد احتمال الحصول على عدد معين من النجاحات في سلسلة من التجارب. يبدو مثل هذا: