في الرياضيات ، الاحتمال هو مفهوم أساسي يستخدم على نطاق واسع لدراسة الأحداث العشوائية. عند حل مشاكل الاحتمال ، غالبا ما يكون من الضروري تحديد احتمال استيفاء شرط معين خلال فترة معينة. في هذه المقالة ، سننظر في إحدى هذه المهام-تحديد احتمال عدم المساواة عند رمي نقطة س بشكل عشوائي على مقطع من 3 إلى 6.
أولا ، دعونا نفكر في ما تعنيه عبارة "رمي نقطة س بشكل عشوائي على مقطع من 3 إلى 6". يمكن أن تأخذ النقطة س أي قيمة في نطاق معين من 3 إلى 6 باحتمالية متساوية. وبعبارة أخرى ، فإن احتمال أن س سوف تقع في جزء معين من فترة معينة هو نسبة طول هذا الجزء إلى طول الفاصل الزمني بأكمله.
مثال: ضع في اعتبارك مشكلة احتمال أن تقع النقطة س في النطاق من 3 إلى 4. طول هذا الفاصل الزمني هو 1 (4 — 3 = 1) ، وطول الفاصل الزمني المحدد بأكمله من 3 إلى 6 هو 6-3 = 3. وبالتالي ، فإن احتمال ضرب النقطة س في النطاق من 3 إلى 4 هو 1/3.
ويستند تحديد احتمال عدم المساواة التي تتحقق عندما يتم طرح النقطة س عشوائيا على الفاصل الزمني من 3 إلى 6 على مبادئ مماثلة. أولا ، تحتاج إلى تحديد الفاصل الزمني المحدد الذي يتم فيه تنفيذ عدم المساواة ، ثم حساب أطوال هذا والفترات الزمنية بأكملها. بقسمة هذه الأطوال ، نحصل على احتمال تحقيق هذا التفاوت.
- احتمال تحقيق عدم المساواة
- احتمال تحقيق عدم المساواة عن طريق رمي نقطة بشكل عشوائي
- س على الجزء من 3 إلى 6
- رمي نقطة عشوائية واحتمال عدم المساواة التي تتحقق
- احتمال عدم المساواة التي تتحقق عندما يتم اختيار النقطة س عشوائيا
- قيمة س في النطاق من 3 إلى 6 واحتمال تحقيق عدم المساواة
- عدم المساواة واحتمال تحقيقها عند اختيار نقطة عشوائية على شريحة
- سؤال وجواب
- ما هو احتمال نقطة س تقع في نطاق من 3 إلى 6?
- إذا كنت مرارا رمي نقطة س على الفاصل الزمني من 3 إلى 6, ما هو احتمال أنه سيكون في نطاق من 3 إلى 6? 50%?
- إذا اخترت عشوائيا نقطة على شريحة من 3 إلى 6, هناك فرصة أن النقطة ستكون خارج هذا الجزء?
- يمكن للنقطة س, إذا تم اختيارها عشوائيا, تقع على الجزء من 3 إلى 6?
- إذا اخترت عشوائيا نقطة على الجزء من 3 إلى 6, ما هو احتمال أنه سيكون في النطاق من 3 إلى 6?
- إذا كانت النقطة س تقع على الفاصل الزمني من 3 إلى 6 عشوائيا, ثم ما هو احتمال أنه سيكون ضمن هذه الفترة?
احتمال تحقيق عدم المساواة
السماح س يكون متغير عشوائي يمثل نتيجة رمي نقطة على الفاصل الزمني من 3 إلى 6. من الضروري تحديد احتمال تحقيق عدم المساواة س > 4.
بادئ ذي بدء ، دعونا ننظر في جميع القيم الممكنة من س في الفترة من 3 إلى 6:
- القيمة المحتملة من س: 3
- القيمة المحتملة من س: 4
- القيمة المحتملة من س: 5
- القيمة المحتملة من س: 6
وبالتالي ، لدينا أربع قيم محتملة لـ س.
الخطوة التالية هي تحديد احتمال سقوط كل من القيم المحتملة. نظرا لأن كل قيمة متساوية في الاحتمال ، فإن احتمال سقوط كل قيمة هو 1/4.
منذ عدم المساواة س > 4 يحمل فقط لقيمتين من س (5 و 6) ، فمن الضروري لحساب احتمال واحدة من هذه القيم السقوط:
| القيمة المحتملة من س | الاحتمال |
|---|---|
| 3 | 1/4 |
| 4 | 1/4 |
| 5 | 1/4 |
| 6 | 1/4 |
لذلك ، فإن احتمال السقوط س > 4 يساوي مجموع احتمالات القيم المقابلة ، أي 1/4 + 1/4 = 1/2.
وبالتالي ، فإن احتمال عدم المساواة س > 4 تسقط عندما يتم طرح نقطة عشوائيا على الجزء من 3 إلى 6 هو 1/2 أو 50٪.
احتمال تحقيق عدم المساواة عن طريق رمي نقطة بشكل عشوائي
للعثور على احتمال تحقيق عدم المساواة عندما يتم طرح نقطة بشكل عشوائي على مقطع من 3 إلى 6 ، من الضروري تحديد طول هذا المقطع وطول المقطع المقابل لحالة عدم المساواة.
دعنا نشير إلى المقطع من 3 إلى 6 على أنه [3 ، 6]. طول هذا الجزء هو 6 - 3 = 3.
لتحقيق عدم المساواة في هذا الجزء ، يجب أن تكون قيمة النقطة أكبر من 4. لدينا متغيرات من النقاط: [4 ، 6]. طول هذا الجزء هو 6 - 4 = 2.
وبالتالي ، فإن احتمال تحقيق عدم المساواة عند رمي نقطة بشكل عشوائي على مقطع من 3 إلى 6 هو: ص(س > 4) = (طول الجزء المقابل للشرط) / (طول الجزء بأكمله) = 2/3 = 0.67 (تقريب).
لذلك ، إذا قمت بتحديد نقطة بشكل عشوائي في المقطع من 3 إلى 6 ، فإن احتمال أن تكون أكبر من 4 هو حوالي 0.67 أو 67٪.
س على الجزء من 3 إلى 6
في هذه المقالة ، نعتبر احتمال تحقيق عدم المساواة عن طريق رمي النقطة س بشكل عشوائي على الجزء من 3 إلى 6.
السماح س يكون متغير عشوائي موزعة بالتساوي على مدى الفترة من 3 إلى 6. وهذا هو ، س يمكن أن تأخذ أي قيمة من 3 إلى 6 مع احتمال متساو.
من أجل حساب احتمال تحقيق عدم المساواة ، من الضروري تحديد نطاق قيم س التي سيتم عندها تحقيق عدم المساواة.
في هذه الحالة ، يمكن كتابة عدم المساواة كـ 3 X س 6 6. نطاق القيم س الذي يحمل عدم المساواة هو من 3 إلى 6.
وبالتالي ، فإن احتمال تحقيق عدم المساواة عند رمي عشوائيا نقطة س على الفاصل الزمني من 3 إلى 6 هو 1 ، لأن جميع القيم الممكنة من س تقع ضمن الفاصل الزمني المحدد.
يمكن تمثيل ذلك في شكل جدول:
| قيمة س | الاحتمال |
|---|---|
| من 3 إلى 6 | 1 |
وبالتالي ، فإن احتمال تحقيق عدم المساواة عن طريق رمي نقطة س بشكل عشوائي على الفاصل الزمني من 3 إلى 6 هو 1.
رمي نقطة بشكل عشوائي واحتمال تحقيق عدم المساواة
دعونا نتخيل موقفا نرمي فيه نقطة على مقطع بمحور رقمي يمثله مقطع من 3 إلى 6. أود أن أعرف مع أي احتمال يتم تحقيق بعض عدم المساواة مع هذا رمي عشوائي.
من أجل البساطة ، سننظر فقط في توزيع احتمالي موحد ، حيث يكون لكل نقطة في المقطع نفس احتمال الاختيار. على الرغم من أنه في المواقف الحقيقية ، قد لا يتم توزيع الاحتمالات بالتساوي.
دعونا ننظر إلى مثال: نحن بحاجة إلى العثور على احتمال أنه إذا تم طرح نقطة س عشوائيا على شريحة من 3 إلى 6 ، فإن عدم المساواة س > 4 راض.
أولا ، دعنا نحدد نطاق القيم الممكنة للمتغير س ، والتي ستلبي عدم المساواة هذا. بالاتفاقية ، يجب أن يكون س أكبر من 4 ، وبالتالي فإن القيم المحتملة ستقع بين 4 و 6.
ضع في اعتبارك حدود نطاق القيم الممكنة:
- الحد الأدنى للقيمة: 4
- القيمة القصوى: 6
الآن دعونا ننظر في الفاصل الزمني الذي قيمة مختارة عشوائيا من س يمكن أن يكون موجودا. في هذه الحالة ، سيتم تمثيل الفاصل الزمني بجزء من 3 إلى 6.
النظر في حدود الفاصل الزمني:
- الحدود الأولية: 3
- الحدود النهائية: 6
الآن يمكننا التعبير عن احتمال تحقيق هذا التفاوت باستخدام نسبة طول نطاق القيم الممكنة إلى طول الفاصل الزمني بأكمله:
الاحتمال = (القيمة القصوى-القيمة الدنيا) / (الحدود النهائية-الحدود الأولية)
في حالتنا ، سيكون:
الاحتمال = (6 — 4) / (6 — 3) = 2 / 3
وهكذا ، مع احتمال 2/3 ، فإن النقطة س تكون أكبر من 4 عندما ألقيت عشوائيا على الفاصل الزمني من 3 إلى 6.
إذا كان لعدم المساواة شكل مختلف ، فإن عملية إيجاد الاحتمال ستكون متشابهة. من الضروري فقط تحديد نطاق القيم الممكنة وحساب الاحتمال المقابل.
احتمال عدم المساواة التي تتحقق عندما يتم اختيار النقطة س عشوائيا
لنفترض أن لدينا مقطعا على المحور الرقمي ، والذي يمكن تمثيله على أنه الفاصل الزمني من الرقم 3 إلى الرقم 6.
نريد معرفة احتمال تحقيق عدم المساواة س > 4 عند اختيار عشوائي نقطة س على شريحة معينة.
لتحديد الاحتمال ، سوف نستخدم نهجا هندسيا. نحن نعلم أن المقطع [3 ، 6] يبلغ طوله 6-3 = 3 وحدات.
لتحديد احتمال تحقيق عدم المساواة س > 4 ، تحتاج إلى العثور على طول الجزء من الجزء الذي يرضي هذا التفاوت.
للقيام بذلك ، نطرح طول المقطع [3 ، 6] من طول المقطع [3 ، 4].
طول الجزء [3 ، 4] هو 4 — 3 = 1 وحدة.
وبالتالي ، فإن طول الجزء من الجزء ، حيث س > 4 ، يساوي 3-1 = 2 وحدة.
احتمال تحقيق عدم المساواة س > 4 يساوي نسبة طول الجزء من الجزء ، حيث س > 4 ، إلى الطول الإجمالي للجزء [3 ، 6].
لذا ، فإن احتمال تحقيق عدم المساواة س > 4 عند اختيار عشوائي نقطة س على الجزء [3 ، 6] هو 2/3.
قيمة س في النطاق من 3 إلى 6 واحتمال تحقيق عدم المساواة
السماح س يكون متغير عشوائي موزعة بشكل موحد على مدى فترة [3 ، 6]. وهذا هو ، س يمكن أن تأخذ القيم من 3 إلى 6 مع نفس الاحتمال.
نحن بحاجة إلى معرفة ما هو احتمال أن قيمة س يرضي عدم المساواة.
السماح ليكون الحدث الذي س يأخذ قيمة تلبية عدم المساواة. ثم يمكن التعبير عن احتمال تحقيق عدم المساواة على النحو التالي:
ع (أ) = ع (3 x س 6 6)
نظرا لأن س موزعة بشكل موحد على المقطع [3 ، 6] ، فإن احتمال أن تأخذ قيمة في فترة زمنية معينة يساوي طول هذا الفاصل مقسوما على طول المقطع بأكمله.
طول الفاصل الزمني من 3 إلى 6 هو 6 — 3 = 3 ، وطول الجزء بأكمله هو 6 — 3 = 3. وهكذا:
ع (أ) = 3/3 = 1
أي أن احتمال تحقيق عدم المساواة عندما يتم اختيار قيمة س عشوائيا في النطاق من 3 إلى 6 هو 1 أو 100٪.
عدم المساواة واحتمال تحقيقها عند اختيار نقطة عشوائية على شريحة
عند اختيار نقطة عشوائية على الفاصل الزمني من 3 إلى 6 ، تنشأ مشكلة مثيرة للاهتمام لاحتمال تحقيق بعض عدم المساواة. من الضروري تحديد النسبة المئوية للنقاط على الشريحة التي تلبي هذا التفاوت.
أولا ، النظر في عدم المساواة نفسها. السماح س تكون نقطة عشوائية على الفاصل الزمني من 3 إلى 6. ثم يمكن كتابة عدم المساواة على النحو التالي:
3 < س < 6
هذا التفاوت يعني أن النقطة س يجب أن تكون أكبر من 3 وأقل من 6. وبعبارة أخرى ، يجب أن تقع بين نهايات الجزء.
الآن يمكن تحديد احتمال تحقيق عدم المساواة هذا بقسمة عدد النقاط التي تفي بعدم المساواة على العدد الإجمالي للنقاط في المقطع. للقيام بذلك ، تحتاج إلى العثور على طول المقطع ، ثم تحديد طول المقطع الذي يتوافق مع حالة عدم المساواة.
طول الجزء من 3 إلى 6 يساوي 6 — 3 = 3 وحدات من الطول.
الآن من الضروري تحديد طول الجزء الذي يفي بشرط عدم المساواة. للقيام بذلك ، ابحث عن نقاط حدود المقطع.
- النقطة 3 لا تفي بعدم المساواة ، لأن 3 < 3 لا تصمد.
- النقطة 6 أيضا لا تفي بعدم المساواة ، لأن 6 < 6 لا يحمل.
وبالتالي ، فإن جميع النقاط على حدود الجزء لا تفي بعدم المساواة ، وبالتالي فإن الجزء الذي يلبي الشرط سيكون داخل الجزء.
طول هذا الجزء هو 6 - 3 = 3 وحدات من الطول.
الآن ، للعثور على احتمال تحقيق عدم المساواة ، تحتاج إلى تقسيم طول الجزء الذي يفي بالشرط على الطول الإجمالي للمقطع:
احتمال تحقيق عدم المساواة: ص (3 < س < 6) = (طول الجزء الذي يرضي عدم المساواة) / (طول الجزء) = 3/3 = 1
وبالتالي ، فإن احتمال تحقيق هذا التفاوت عند اختيار نقطة عشوائية على الفاصل الزمني من 3 إلى 6 هو 1 أو 100٪. هذا يعني أن كل نقطة في المقطع تفي بعدم المساواة هذا.
سؤال وجواب
ما هو احتمال نقطة س تقع في نطاق من 3 إلى 6?
احتمال سقوط نقطة س في النطاق من 3 إلى 6 هو 1 ، حيث يتم تضمين الجزء بأكمله من 3 إلى 6 في العينة.
إذا كنت مرارا رمي نقطة س على الفاصل الزمني من 3 إلى 6, ما هو احتمال أنه سيكون في نطاق من 3 إلى 6? 50%?
لا ، فإن احتمال أن تكون النقطة س في النطاق من 3 إلى 6 مع رميات متعددة يميل إلى 100٪. كلما زاد عدد الرميات ، كلما كانت النتيجة أكثر دقة وكلما كان الاحتمال أقرب إلى 100٪.
إذا اخترت عشوائيا نقطة على شريحة من 3 إلى 6, هناك فرصة أن النقطة ستكون خارج هذا الجزء?
لا ، احتمال أن تكون النقطة خارج المقطع [3 ، 6] هو 0 ، لأن العينة محدودة للغاية بهذه القيم.
يمكن للنقطة س, إذا تم اختيارها عشوائيا, تقع على الجزء من 3 إلى 6?
نعم ، النقطة س ، إذا تم اختيارها عشوائيا ، يمكن أن تقع على الجزء من 3 إلى 6. هذا يعتمد على عشوائية الاختيار والتوزيع المحتمل للنقاط على الشريحة.
إذا اخترت عشوائيا نقطة على الجزء من 3 إلى 6, ما هو احتمال أنه سيكون في النطاق من 3 إلى 6?
احتمال أن تكون نقطة تم اختيارها عشوائيا في النطاق من 3 إلى 6 هو 1 ، لأنها موجودة بالفعل في هذا النطاق.
إذا كانت النقطة س تقع على الفاصل الزمني من 3 إلى 6 عشوائيا, ثم ما هو احتمال أنه سيكون ضمن هذه الفترة?
احتمال أن تكون نقطة عشوائية س في النطاق من 3 إلى 6 هو 1 ، لأن هذه هي واحدة من العينات المحتملة على الجزء [3 ، 6].