عملة القذف هي واحدة من أبسط الألعاب التي غالبا ما تستخدم لشرح المفاهيم الأساسية للاحتمال. ينشأ سؤال طبيعي: ما هو احتمال سقوط شعار النبالة لعدد معين من المرات مع عدد محدد من القذف?
في هذه المقالة ، سننظر في نهج رياضي لحل مثل هذه المشكلات باستخدام التوزيع ذي الحدين. يسمح لك التوزيع ذو الحدين بتحديد احتمال أنه في سلسلة من التجارب المستقلة مع نتيجتين محتملتين (على سبيل المثال ، سقوط شعار النبالة أو ذيول عند رمي عملة معدنية) ، سيحدث عدد معين من النجاحات (سقوط شعار النبالة) مع عدد معين من التجارب.
باستخدام التوزيع ذي الحدين ، يمكننا تحديد احتمال سقوط شعار النبالة 6 مرات عند قلب عملة معدنية 8 مرات.
لحساب احتمال سقوط شعار النبالة 6 مرات عند قلب عملة معدنية 8 مرات ، استخدم صيغة التوزيع ذات الحدين:
ص (س = ك) = ج (ن ، ك) * ص^ك * (1-ص)^(ن-ك),
أين
ص (س = ك)هو احتمال ذلك ك النجاحات من ن المحاكمات سيحدث;
ج (ن ، ك) هو عدد مجموعات ن بواسطة ك;
ص هو احتمال النجاح في اختبار واحد (لسقوط شعار النبالة هو 0.5);
ن هو العدد الإجمالي للاختبارات (في هذه الحالة هو 8).
- التحقيق في احتمال شعار النبالة خلال قذف عملة متعددة
- الحساب الرياضي لاحتمال ظهور شعار النبالة
- تحليل النتائج التي تم الحصول عليها
- سؤال وجواب
- ما هي فرص سقوط شعار النبالة 6 مرات عند قلب عملة معدنية 8 مرات?
- كيف يمكنني معرفة احتمال سقوط شعار النبالة 6 مرات متتالية عند قلب عملة معدنية 8 مرات?
- ما هي طرق تحديد احتمال سقوط شعار النبالة 6 مرات عند قلب عملة معدنية 8 مرات?
التحقيق في احتمال شعار النبالة خلال قذف عملة متعددة
لدراسة احتمال سقوط شعار النبالة مع قذفات متعددة للعملات المعدنية ، من الضروري تطبيق نهج رياضي. لنفترض أن احتمال سقوط شعار النبالة بقلب عملة واحدة هو 0.5 ، لأن العملة لها جانبان محتملان بنفس القدر-شعار النبالة والذيل.
للنظر في احتمال سقوط شعار النبالة مع قذفات متعددة للعملات المعدنية ، يمكن استخدام توزيع ذي الحدين. يمكن كتابة صيغة حساب احتمال وجود شعار النبالة في سلسلة من تقلبات العملة المعدنية على النحو التالي:
ص (س = ك) = ج (ن ، ك) * ص^ك * (1-ص)^(ن-ك)
أين:
- ص (س = ك)هو احتمال سقوط شعار النبالة ك مرات في سلسلة من ن قذفات
- ج (ن ، ك) - عدد مجموعات ن بواسطة ك (عدد طرق التحديد ك كائنات من ن)
- ص هو احتمال سقوط شعار النبالة بقلب عملة واحدة (في حالتنا ، 0.5)
- ن هو عدد تقلب العملة
- ك هو عدد المرات التي سقط فيها شعار النبالة
يوضح الجدول أدناه احتمال سقوط شعار النبالة في سلسلة من 8 تقلبات للعملة:
| عدد قطرات من شعار النبالة | الاحتمال |
|---|---|
| 0 | 0.0039 |
| 1 | 0.0313 |
| 2 | 0.1094 |
| 3 | 0.2188 |
| 4 | 0.2734 |
| 5 | 0.2188 |
| 6 | 0.1094 |
| 7 | 0.0313 |
| 8 | 0.0039 |
وبالتالي ، فإن احتمال سقوط شعار النبالة 6 مرات عند قلب العملة 8 مرات هو 0.094 أو حوالي 10.94٪.
الحساب الرياضي لاحتمال ظهور شعار النبالة
يتلخص الحساب الرياضي للاحتمال في هذه الحالة في تطبيق التوزيع ذي الحدين. يستخدم التوزيع ذو الحدين عندما نتعامل مع تجربة يمكن تقسيمها إلى عدة تجارب مستقلة ، ويمكن أن تنتهي كل تجربة بإحدى نتيجتين محتملتين: النجاح أو الفشل.
في هذه الحالة ، لدينا 8 تقلبات عملة ، كل منها يمكن أن ينتهي بالنجاح (فقدان شعار النبالة) أو الفشل (فقدان ذيول). وبالتالي ، لدينا 8 تجارب واحتمال النجاح هو احتمال سقوط شعار النبالة ، والذي سنشير إليه على أنه ص.
احتمال الحصول على ك النجاحات من ن التجارب مع احتمال النجاح ص يتم حسابه باستخدام صيغة التوزيع ذات الحدين:
ص (ك) = ج (ن ، ك) * ص^ك * (1-ص)^(ن-ك)
أين ج (ن ، ك) هو عدد مجموعات ن بواسطة ك (المعروف أيضا باسم المعامل ذي الحدين) ، ص^ك هو احتمال الحصول على ك النجاحات ، (1-ص)^(ن-ك) هو احتمال الحصول على (ن-ك) الفشل.
في حالتنا ، لحساب احتمال الحصول على 6 طبقات من الأسلحة مع 8 رميات ، يمكننا استخدام هذه الصيغة:
ص (6) = ج(8 ، 6) * ص^6 * (1-ص)^(8-6)
بعد ذلك ، نحتاج إلى حساب المعامل ذي الحدين ج (8 ، 6):
ج (8 ، 6) = 8! / (6! * (8-6)!) = 28
الآن يبقى فقط لاستبدال القيم التي تم الحصول عليها في الصيغة:
ص (6) = 28 * ص^6 * (1-ص)^2
وبالتالي ، يمكننا حساب احتمال الحصول على 6 طبقات من الأسلحة مع 8 تقلبات عملة ، مع العلم باحتمال سقوط شعار النبالة ص.
| k | ف (ك) |
|---|---|
| 6 | 28 * ص^6 * (1-ص)^2 |
تحليل النتائج التي تم الحصول عليها
خلال التجربة ، التي تم خلالها رمي العملة ثماني مرات ، تم الحصول على سلسلة من النتائج. العدد الإجمالي للنتائج هو 256 (2 إلى قوة 8). في هذه الحالة ، نعتبر احتمال سقوط شعار النبالة ست مرات.
احتمال سقوط شعار النبالة في قلب عملة واحدة هو 0.5 ، لأن العملة لها جانبان محتملان بنفس القدر: شعار النبالة والذيل. عند قلب عملة معدنية ثماني مرات ، فإن احتمال سقوط شعار النبالة ست مرات هو 0.5 إلى قوة 6 ، وهي 0.015625 أو 1.5625٪.
بالنظر إلى أن لدينا 256 نتيجة محتملة ، 4 منها تتوافق مع فقدان شعار النبالة ست مرات. إذا تم توزيع النتائج بالتساوي ، فإن احتمال سقوط شعار النبالة ست مرات هو 4/256 أو 1.5625٪.
وبالتالي ، فإن نتائج تجربتنا تتوافق مع الحساب الرياضي المتوقع للاحتمال. احتمال سقوط شعار النبالة ست مرات عند قلب عملة معدنية ثماني مرات هو 1.5625٪.
سؤال وجواب
ما هي فرص سقوط شعار النبالة 6 مرات عند قلب عملة معدنية 8 مرات?
يمكن حساب احتمال سقوط شعار النبالة 6 مرات عند قلب عملة معدنية 8 مرات باستخدام توزيع ذي الحدين. تبدو صيغة حساب الاحتمال في هذه الحالة كما يلي: ص (س = ك) = ج (ن ، ك) * ص^ك * (1-ص)^(ن-ك) ، أين ص(س=ك) هو احتمال الحصول على ك النجاحات من ن المحاولات ، ج(ن ، ك) هو عدد مجموعات ن بواسطة ك ، ص هو احتمال الحصول على نجاح واحد (في حالتنا ، ص = 0.5 ، لأن العملة متناظرة) ، ن هو العدد الإجمالي للمحاولات. باستخدام هذه الصيغة ، يمكننا حساب احتمال سقوط شعار النبالة 6 مرات عند قلب عملة معدنية 8 مرات.
كيف يمكنني معرفة احتمال سقوط شعار النبالة 6 مرات متتالية عند قلب عملة معدنية 8 مرات?
من أجل معرفة احتمال سقوط شعار النبالة 6 مرات متتالية عند قلب عملة معدنية 8 مرات ، تحتاج إلى استخدام الصيغة لحساب احتمال الأحداث المستقلة المتتالية. في هذه الحالة ، فإن احتمال الحصول على شعار النبالة هو 0.5 ، لأن العملة متناظرة. تبدو صيغة حساب احتمالية الأحداث المتتالية كما يلي: ص(أ و ب) = ص(أ) * ص(ب) ، أين ص(أ و ب) هو احتمال حدوث كل من الحدث أ والحدث ب ، ص(أ) و ص(ب) هي احتمالات الأحداث أ و ب وفقا لذلك. من خلال تطبيق هذه الصيغة 6 مرات ، يمكننا حساب احتمال سقوط شعار النبالة 6 مرات متتالية عند قلب عملة معدنية 8 مرات.
ما هي طرق تحديد احتمال سقوط شعار النبالة 6 مرات عند قلب عملة معدنية 8 مرات?
هناك طرق مختلفة لتحديد احتمال سقوط شعار النبالة 6 مرات عند قلب العملة 8 مرات. إحدى هذه الطرق هي التوزيع ذي الحدين. تتيح لك هذه الطريقة حساب احتمال الحصول على عدد محدد من النجاحات في سلسلة من التجارب المستقلة. طريقة أخرى هي طريقة الحدث المتسلسل. يعتمد على حساب احتمالية الأحداث المتتالية ، عندما يعتمد كل حدث لاحق على الحدث السابق. في هذه الحالة ، يمكننا استخدام الصيغة ص(أ و ب) = ص(أ) * ص(ب) لحساب احتمال سقوط شعار النبالة 6 مرات متتالية.