تعد دراسة احتمال سقوط جانب معين من العملة عند الرمي أحد أسس الإحصاء الرياضي. في هذه المقالة ، سننظر في مشكلة احتمال سقوط النسر 3 مرات مع 4 قذفات عملة.
لحل هذه المشكلة ، نطبق التوزيع ذي الحدين. إذا كان احتمال سقوط الرؤوس على قلب عملة واحدة هو ص ، فإن احتمال سقوط ذيول سيكون (1-ص). يمكن حساب احتمال سقوط النسر 3 مرات مع 4 رميات باستخدام صيغة برنولي:
ص (س = ك) = ج (ن ، ك) * ص^ك * (1-ص)^(ن-ك)
أين ن هو عدد قذفات العملة ، ك هو عدد الرؤوس ، ص هو احتمال الرؤوس على عملة واحدة إرم ،(1-ص) هو احتمال ذيول على عملة واحدة إرم.
- ما هو الاحتمال?
- ما هو احتمال سقوط النسر?
- كيف يمكنني حساب احتمال سقوط النسر 3 مرات?
- لماذا هو احتمال نسر السقوط 3 مرات على 4 يلقي منخفضة?
- كيف يمكنني زيادة احتمال سقوط النسر 3 مرات?
- لماذا حساب احتمال?
- الاستنتاجات
- سؤال وجواب
- ما هو احتمال سقوط النسر 3 مرات مع 4 قذفات عملة?
- ما هي القيم التي يمكن أن احتمال نسر السقوط 3 مرات على 4 قذفات عملة تأخذ?
- ما هو احتمال سقوط النسر 3 مرات على التوالي مع 4 قذفات عملة?
ما هو الاحتمال?
الاحتمال هو كمية رياضية تميز الدرجة التي يتوقع أن يحدث بها الحدث. يسمح لك بتقييم مدى احتمال أو احتمال حدوث حدث معين.
عادة ما يتم التعبير عن الاحتمال كرقم من 0 إلى 1. الرقم 0 يعني الاستحالة المطلقة لحدث ما ، والرقم 1 يعني اليقين المطلق لحدوثه. يشير الاحتمال بين 0 و 1 إلى الدرجة التي من المحتمل أن يحدث بها الحدث.
يمكن تمثيل احتمال حدوث حدث في صورة كسر: 0.5 يعني أن الحدث سيحدث في نصف جميع الحالات ، و 0.75 - في ثلاثة أرباع الحالات.
يعتمد الاحتمال على عدد النتائج المحتملة وعدد النتائج الإيجابية. يمكن حساب احتمال حدوث حدث بقسمة عدد النتائج الإيجابية على العدد الإجمالي للنتائج المحتملة.
يتم استخدام نماذج وأساليب مختلفة لتقييم احتمال أصل الأحداث. واحدة من هذه النماذج هي عملة معدنية. على سبيل المثال ، لتقدير احتمال سقوط نسر 3 مرات على 4 قذفات عملة ، يمكنك استخدام توزيع ذي الحدين.
يسمح لنا التوزيع ذو الحدين بحساب احتمال عدد معين من النجاحات في سلسلة من التجارب المستقلة. احتمال سقوط نسر ن مرات مع م قذفات العملة يمكن حسابها باستخدام الصيغة:
| احتمال نسر سقوطه ن مرات مع قذفات عملة م: | ص (ك) = ج (م ، ك) * ص ^ ن * (1-ص)^(م-ن) |
أين:
- ص (ك) هو احتمال سقوط نسر ن مرات مع قذفات عملة م;
- ج (م ، ك) هو عدد مجموعات م في ك;
- ص هو احتمال سقوط نسر في رمية واحدة (عادة ما يساوي 0.5);
- ن هو عدد النجاحات (في هذه الحالة ، النسور);
- م هو العدد الإجمالي للمحاكمات (في هذه الحالة ، رميات).
وهكذا ، ومعرفة قيم ص ، ن و م ، فمن الممكن لحساب احتمال النسر يسقط عدد معين من المرات مع عدد معين من قذفات عملة واحدة.
ما هو احتمال سقوط النسر?
احتمال سقوط نسر في رمي عملة واحدة هو 1/2. أي أن احتمال سقوط الرؤوس وسقوط ذيول هو نفسه.
من أجل معرفة احتمال سقوط النسر 3 مرات مع 4 قذفات عملة ، تحتاج إلى استخدام التوافقية.
هناك صيغة لحساب المجموعات ، والتي تبدو كما يلي:
كنك = ن! / (ك! * (ن-ك)!)
أين:
- نك هو عدد مجموعات ن عناصر بواسطة ك;
- ن! - عامل الرقم ن ، والذي يتم حسابه كمنتج لجميع الأعداد الصحيحة من 1 إلى ن;
- ك! - عامل الرقم ك ، والذي يتم حسابه كمنتج لجميع الأعداد الصحيحة من 1 إلى ك;
- ن ك! هو عامل الرقم ن-ك.
في هذه الحالة ، نحتاج إلى حساب عدد مجموعات 3 نجاحات (قطرة النسر) من أصل 4 محاولات (قذفات العملة):
ج 43 = 4! / (3! * (4-3)!) = 4
منذ النسر يمكن أن تقع على أي من 4 قذفات عملة ، وهناك 4 مجموعات التي النسر يقع 3 مرات.
سيكون احتمال سقوط النسر 3 مرات مع 4 قذفات عملة مساويا لعدد المجموعات مع النسر 3 مرات مقسوما على العدد الإجمالي للمجموعات:
الاحتمال = 4 / (24) = 4 / 16 = 1 / 4 = 0.25
وبالتالي ، فإن احتمال سقوط النسر 3 مرات مع 4 قذفات عملة هو 0.25 أو 25٪.
كيفية حساب احتمال سقوط النسر 3 مرات?
يمكن حساب احتمال سقوط النسر 3 مرات مع 4 قذفات عملة باستخدام التوافقية وصيغة لحساب الاحتمال.
- دعونا نتخيل أن لدينا 4 قذفات عملة.
- رؤساء أو ذيول يمكن أن تسقط في كل لفة ، وهذا هو ، 2 خيارات.
- العدد الإجمالي للنتائج المحتملة هو 2 إلى قوة 4 ، لأن هناك 2 خيارات على كل لفة.
- لحساب عدد النتائج التي يسقط فيها النسر 3 مرات ، يمكننا استخدام المعامل ذي الحدين.
- يمكن حساب المعامل ذي الحدين باستخدام الصيغة: ج (ن ، ك) = ن! / (ك!(ن-ك)!) ، أين ن هو العدد الإجمالي للرميات ، ك هو عدد النجاحات (في هذه الحالة ، عدد الرؤوس).
- باستخدام الصيغة ، يمكننا حساب عدد النتائج التي يسقط فيها النسر 3 مرات مع 4 قذفات عملة: ج(4 ، 3) = 4! / (3!(4-3)!) = 4.
- احتمال سقوط النسر 3 مرات مع 4 قذفات عملة يساوي نسبة عدد النتائج التي يسقط فيها النسر 3 مرات إلى العدد الإجمالي للنتائج المحتملة: 4 / 2^4 = 4 / 16 = 0.25.
وبالتالي ، فإن احتمال سقوط النسر 3 مرات مع 4 قذفات عملة هو 0.25،أو 25٪.
لماذا هو احتمال نسر السقوط 3 مرات على 4 يلقي منخفضة?
احتمال سقوط نسر في كل عملة فردية هو 50٪. ومع ذلك ، مع 4 قذفات عملة معدنية ، فإن احتمال سقوط النسر 3 مرات متتالية يكون صغيرا جدا.
إذا أخذنا في الاعتبار جميع التوليفات الممكنة مع 4 رميات عملات معدنية ، فهناك فقط 2^4 = 16 منها. واحد فقط من هذه المجموعات سوف تتوافق مع الوضع عندما يسقط النسر 3 مرات على التوالي. هذا هو مزيج من أور.
لذلك ، فإن احتمال سقوط النسر 3 مرات مع 4 قذفات عملة هو 1/16 أو 0.0625 ، وهو 6.25 ٪ فقط.
وهذا هو ، من أصل 16 النتائج المحتملة مع 4 قذفات عملة واحدة فقط سوف تتوافق مع الوضع عندما يسقط النسر 3 مرات على التوالي.
وبالتالي ، فإن احتمال سقوط النسر 3 مرات مع 4 قذفات عملة منخفضة بسبب قلة عدد التوليفات الممكنة للنتائج.
كيف يمكنني زيادة احتمال سقوط النسر 3 مرات?
احتمال سقوط نسر على عملة واحدة هو 1/2 ، لأن لدينا نتيجتين محتملتين فقط-رؤوس أو ذيول. ولتحديد احتمال سقوط النسر 3 مرات مع 4 قذفات عملة ، يمكننا استخدام التوافقية.
العدد الإجمالي للنتائج لـ 4 لفات عملات معدنية هو 2 لقوة 4 (2^4) ، حيث يمكن أن يكون لكل لفة نتيجتان محتملتان - رؤوس أو ذيول. وبالتالي ، فإن العدد الإجمالي للنتائج هو 16.
للعثور على عدد النتائج التي يسقط فيها النسر 3 مرات بالضبط ، يمكننا استخدام صيغة الجمع: ج (ن ، ك) = ن! / (ك!(ن-ك)!) ، أين ن هو العدد الإجمالي للنتائج ، ك هو عدد النتائج التي نهتم بها.
| عدد النتائج مع النسر (ك) | عدد المجموعات (ج (4 ، ك)) |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 4 |
| 2 | 6 |
| 3 | 4 |
| 4 | 1 |
وبالتالي ، فإن احتمال سقوط النسر 3 مرات بالضبط مع 4 قذفات عملة يساوي مجموع احتمالات جميع المجموعات التي يسقط فيها النسر 3 مرات: ع = ج (4 ، 3)/16 + ج(4, 4)/16 = 4/16 + 1/16 = 5/16 = 0.3125.
لزيادة احتمال سقوط النسر 3 مرات مع 4 لفات عملة ، يمكنك زيادة عدد القوائم. كلما زاد عدد القوائم ، كلما كان الاحتمال أكثر دقة يتوافق مع 0.3125.
يمكنك أيضا استخدام عملات معدنية خاصة غير متكافئة ولها توزيع غير متساو للوزن. هذه القطع النقدية يمكن أن" تميل " نحو فقدان جانب معين ، وبالتالي تغيير احتمال سقوط النسر.
لماذا حساب احتمال?
يعد حساب الاحتمالية مهمة مهمة في العديد من المجالات مثل الإحصاء والفيزياء والاقتصاد والتمويل وغيرها الكثير. يسمح لك الاحتمال بالتنبؤ بالأحداث والنتائج المختلفة وتقييمها ، وكذلك اتخاذ قرارات مستنيرة بناء على هذه التنبؤات.
مثال واحد حيث حساب احتمال مهم هو لعب القمار. بمعرفة احتمال وجود مجموعة معينة من البطاقات أو رقم أو نتيجة أخرى ، يمكن للاعب اتخاذ قرارات بناء على التوقع الرياضي للفوز أو الخسارة.
الاحتمال مفيد أيضا في الأعمال التجارية والمالية. من خلال تحليل احتمالية الأحداث أو المخاطر المختلفة ، يمكن للشركات اتخاذ قرارات بشأن استثمار الأموال وتطوير استراتيجيات التسويق والعمليات التجارية الأخرى.
احتمال سقوط النسر 3 مرات مع 4 قذفات عملة هو مجرد مثال واحد على العديد من المواقف المحتملة حيث يمكن أن يكون حساب الاحتمال مفيدا. من خلال النظر في مثل هذه المهام ، يمكننا أن نفهم بشكل أفضل احتمالية تحقيق النتائج المرجوة واتخاذ قرارات مستنيرة بناء على هذه التقديرات.
الاستنتاجات
بناء على الاحتمالات المحسوبة ، يمكن استخلاص الاستنتاجات التالية:
- احتمال سقوط النسر 3 مرات مع 4 قذفات عملة هو 37.5٪.
- هذا الاحتمال مرتفع للغاية ، مما يشير إلى أنه من الممكن تماما الحصول على 3 رؤوس مع 4 رميات.
- ومع ذلك ، ربما يكون من الخطأ افتراض أنه نظرا لاحتمال سقوط 3 نسور ، فسوف يسقطون بالتأكيد. كل إرم عملة هو حدث مستقل ولا يعتمد على النتائج السابقة.
وبالتالي ، عند تحليل احتمال سقوط النسر 3 مرات مع 4 لفات من العملات المعدنية ، يجب ألا يغيب عن البال أن كل لفة عشوائية وأن النتائج السابقة لا تؤثر على النتائج اللاحقة.
سؤال وجواب
ما هو احتمال سقوط النسر 3 مرات مع 4 قذفات عملة?
يمكن حساب احتمال سقوط النسر 3 مرات مع 4 قذفات عملة باستخدام صيغة التوزيع ذات الحدين. في هذه الحالة ، نريد أن نجد احتمال وقوع حدث عندما يسقط نسر من 4 قذفات عملة 3 مرات. صيغة حساب احتمال التوزيع ذي الحدين هي كما يلي: ص (س = ك) = ج (ن ، ك) * ص^ك * (1-ص)^(ن-ك) ، أين ن هو عدد التجارب (في هذه الحالة 4) ، ك هو عدد النتائج الناجحة (سقط النسر 3 مرات) ، ص هو احتمال نتيجة ناجحة (في هذه الحالة ، فقدان النسر). استبدال القيم في الصيغة ، نحصل على: ص (س=3) = ج(4, 3) * 0.5^3 * 0.5^(4-3) = 4 * 0.5^3 * 0.5^1 = 0.25.
ما هي القيم التي يمكن أن تأخذ احتمال سقوط النسر 3 مرات مع 4 قذفات عملة?
احتمال سقوط النسر 3 مرات مع 4 قذفات عملة يمكن أن تأخذ القيم من 0 إلى 1. في هذه الحالة ، يمكن أن يحدث حدث "سقوط الرؤوس 3 مرات" فقط في واحدة من 4 قذفات عملة ، وبالتالي فإن احتمال هذا الحدث هو 0.25 أو 25٪.
ما هو احتمال سقوط النسر 3 مرات على التوالي مع 4 قذفات عملة?
يمكن حساب احتمال سقوط النسر 3 مرات متتالية مع 4 قذفات عملة باستخدام الصيغة لحساب احتمال الأحداث المستقلة. في هذه الحالة ، كل من 4 قذفات عملة هو حدث مستقل ، وبالتالي فإن احتمال سقوط النسر 3 مرات على التوالي يساوي نتاج احتمالات كل رمية فردية. احتمال نسر سقوطه في كل عملة إرم هو 0.5 ، منذ عملة لديها سوى 2 الجانبين (رؤساء وذيول) وهم على قدم المساواة المرجح. وبالتالي ، فإن احتمال سقوط النسر 3 مرات متتالية يساوي 0.5 * 0.5 * 0.5 = 0.125 أو 12.5٪.