تعد مشكلة حساب عدد الأشكال الرباعية المحدبة المختلفة ذات الرؤوس المختارة على دائرة واحدة من المشكلات الكلاسيكية للتركيبات. في هذه المشكلة ، نعتبر الحالة التي يشار فيها إلى 8 نقاط على دائرة.
بادئ ذي بدء ، دعنا نتخيل أن النقاط الموجودة على الدائرة مرقمة من 1 إلى 8. لبناء رباعي محدب ، نحتاج إلى تحديد 4 نقاط من 8. ومع ذلك ، يجب أن نأخذ في الاعتبار أن النقاط المحددة يجب أن تكون رؤوس الرباعي المحدب ، وليس أي 4 نقاط على الدائرة.
يجب أيضا ترتيب النقاط المحددة على الدائرة بترتيب معين لتشكيل رباعي محدب.
وبالتالي ، لحساب عدد الأشكال الرباعية المحدبة المختلفة ، نحتاج إلى مراعاة كل من اختيار 4 نقاط من أصل 8 ، وإمكانية موقعها على دائرة. تتطلب هذه المهمة استخدام أساليب وأساليب اندماجية لتحقيق نتيجة دقيقة.
- هناك 8 نقاط ملحوظ على الدائرة
- اثنان منهم تحديد الجزء
- ثلاثة منهم تحديد مثلث
- أربعة منهم تحديد رباعي محدب
- عدد الأشكال الرباعية الممكنة
- اختيار 4 نقاط من 8
- تطبيق الصيغة التوافقية
- سؤال وجواب
- كم عدد الأشكال الرباعية المحدبة المختلفة الموجودة في المجموع إذا 8 يتم تمييز النقاط على الدائرة?
- كيفية بناء جميع الأشكال الرباعية المحدبة الممكنة على دائرة بها 8 نقاط?
- ما هي الصيغة العامة لتحديد عدد الأشكال الرباعية المحدبة المختلفة إذا ن تم وضع علامة على النقاط على الدائرة?
- هل من الممكن العثور على عدد الأشكال الرباعية المحدبة على دائرة بها 8 نقاط دون استخدام التوافقية?
هناك 8 نقاط ملحوظ على الدائرة
عندما يتم تمييز 8 نقاط على الدائرة ، يمكن حساب عدد الأشكال الرباعية المحدبة المختلفة ذات الرؤوس عند النقاط المحددة على النحو التالي:
- حدد النقطة الأولى. هناك 8 خيارات ممكنة.
- حدد النقطة الثانية. نظرا لأن ترتيب الاختيار لا يهم ، فقد تركنا مع 7 خيارات.
- حدد النقطة الثالثة. الآن لدينا 6 خيارات متبقية.
- حدد النقطة الرابعة. لم يتبق سوى 5 خيارات.
ومع ذلك ، نظرا لأنه يمكن إعادة ترتيب رؤوس الرباعي ، يجب مراعاة جميع التباديل للنقاط المحددة. دعنا نعود إلى النقطة 1 وننظر في جميع اختيارات الرأس الممكنة:
- يمكن اختيار النقطة الثانية في 7 طرق مختلفة.
- يمكن اختيار النقطة الثالثة في 6 طرق.
- النقطة الرابعة تبقى الوحيدة.
وبالتالي ، فإن العدد الإجمالي للأشكال الرباعية المحدبة المختلفة يساوي حاصل ضرب جميع اختيارات الرأس:
| 8 | × | 7 | × | 6 | × | 1 | = | 336 |
لذلك ، في ظل هذه الظروف ، يمكن بناء 336 شكل رباعي محدب مختلف برؤوس مختارة على دائرة.
اثنان منهم تحديد الجزء
قد تكون هناك حالات عندما يحدد رأسان على دائرة مقطعا.
يمكن الحصول على الجزء أب عن طريق ربط نقطتين متجاورتين على دائرة. ترتيب النقاط المحددة لا يهم.
أمثلة على المقاطع المحددة بنقطتين على دائرة:
- أب: النقطتان أ و ب
- قبل الميلاد: النقطتان باء وجيم
- القرص المضغوط: النقطتان ج و د
- دي: النقاط د و ه
- إف: النقاط هـ و و
- فغ: النقاط واو و زاي
- غ: نقاط ز و ح
- ها: النقاط ح و أ
سيكون هناك 8 قطاعات محتملة في المجموع.
ثلاثة منهم تحديد مثلث
هناك 8 نقاط ملحوظ على الدائرة. مجموعات من هذه النقاط تجعل من الممكن تشكيل أشكال رباعية محدبة مختلفة. واحدة من أكثر المجموعات إثارة للاهتمام هي عندما يتم اختيار ثلاث من هذه النقاط كرؤوس مثلث.
يمكن أن تشكل ثلاث نقاط على الدائرة مثلثا فقط إذا لم تكن مستلقية على نفس الخط المستقيم. خلاف ذلك ، فإنها تشكل مثلث أو خط متدهور.
هناك 56 مجموعة مختلفة من اختيار ثلاث نقاط من أصل ثمانية ، والتي تحدد المثلث. يمكن التعبير عن هذا كمزيج من ثمانية في ثلاثة (ج(8 ، 3)). الصيغة العامة لحساب عدد مجموعات الاختيار ك عناصر من ن العناصر هي مزيج أو"عدد المجموعات". يشار إليها باسم ج (ن ، ك) أو نك ، ويتم حسابها باستخدام الصيغة ج (ن ، ك) = ن! / (ك!(ن-ك)!) ، حيث ن! هو عامل الرقم ن.
يمكن أن تكون المثلثات المكونة من هذه النقاط الثلاث متعددة الاستخدامات أو متساوية الساقين أو مثلثات منتظمة ، اعتمادا على المسافة بين الرؤوس وخصائص المثلثات.
أمثلة على المثلثات المكونة من ثلاث نقاط على دائرة:
- مثلث متعدد الاستخدامات-كل جانب له طول مختلف.
- مثلث متساوي الساقين-الجانبان متساويان في الطول.
- مثلث قائم الزاوية - جميع الجوانب متساوية.
باستخدام مجموعات من ثلاث نقاط على دائرة ، يمكنك إنشاء عدد كبير من المثلثات المختلفة ، لكل منها خصائصه وخصائصه الفريدة.
من المهم ملاحظة أن اختيار ثلاث نقاط لا يؤدي دائما إلى تكوين مثلث. على سبيل المثال ، إذا كانت ثلاث نقاط تقع على نفس الخط المستقيم ، فإنها تشكل مثلثا أو خطا متدهورا. لذلك ، من أجل تشكيل مثلث ، من الضروري ملاحظة شرط أن النقاط الثلاث لا تقع على نفس الخط المستقيم.
أربعة منهم تحديد رباعي محدب
هناك 8 نقاط ملحوظ على الدائرة. لتحديد عدد الأشكال الرباعية المحدبة المختلفة ذات الرؤوس المحددة من هذه النقاط ، تحتاج إلى النظر في جميع المجموعات الممكنة المكونة من 4 نقاط. نظرا لأن 4 نقاط تحدد بشكل فريد مستطيلا (رباعي محدب بزوايا قائمة) ، لتحديد عددها ، يجب طرحها من إجمالي عدد التوليفات الممكنة.
يمكن حساب العدد الإجمالي للمجموعات المكونة من 8 نقاط من 4 باستخدام صيغة الجمع:
ج84 = 8! / (4! * (8-4)!) = 8! / (4! * 4!) = 70
وهكذا ، من بين 70 مجموعة ممكنة من 4 نقاط على دائرة ، تحدد أربعة منها شكل رباعي محدب ، وتشكل المجموعات المتبقية أشكالا أخرى غير محدبة.
عدد الأشكال الرباعية الممكنة
هناك 8 نقاط ملحوظ على الدائرة. كم عدد الأشكال الرباعية المحدبة المختلفة التي يتم تحديد رؤوسها من هذه النقاط?
للعثور على عدد الأشكال الرباعية الممكنة ، تحتاج إلى استخدام التوافقية. نظرا لأن كل رباعي يتم تعريفه بأربعة رؤوس ، فأنت بحاجة إلى حساب عدد الطرق لتحديد 4 نقاط من أصل 8.
يمكننا استخدام الصيغة المركبة لحل هذه المشكلة. تتم كتابة صيغة الجمع كـ ج (ن, ك) ، أين ن هو العدد الإجمالي للعناصر و ك هو عدد العناصر التي نختارها.
لمشكلتنا ، ن = 8 (عدد النقاط) و ك = 4 (عدد الرؤوس في الشكل الرباعي).
ج (8 ، 4) = 8! / (4! * (8 — 4)!) = 8! / (4! * 4!) = 70
وبالتالي ، هناك 70 شكل رباعي محدب مختلف ، يتم اختيار رؤوسها من 8 نقاط على الدائرة.
اختيار 4 نقاط من 8
هناك 8 نقاط محددة على الدائرة: أ ، ب ، ج ، د ، هـ ، و ، ز ، ح.نريد تحديد 4 نقاط من هذه 8 لبناء رباعي محدب.
من أجل تحديد عدد الأشكال الرباعية المحدبة المختلفة التي يمكن بناؤها ، سوف نستخدم التوافقية. يمكن حساب عدد مجموعات 8 عناصر في 4 باستخدام الصيغة:
ج 48 = 8! / (4! * (8 — 4)!)
أين! (عاملي) يشير إلى حاصل ضرب الأرقام من 1 إلى رقم معين. في حالة مهمتنا ، سيكون هذا:
ج 48 = 8! / (4! * 4!) = 8 * 7 * 6 * 5 / (4 * 3 * 2 * 1) = 70
وبالتالي ، يمكن اختيار 4 نقاط من 8 نقاط ويمكن بناء 70 رباعي محدب مختلف.
تطبيق الصيغة التوافقية
تستخدم صيغة التوافقية على نطاق واسع لحل المشكلات المتعلقة باختيار العناصر من مجموعة معينة. في مشكلة اختيار الرؤوس على دائرة ، يسمح لك بتحديد عدد الأشكال الرباعية المحدبة المختلفة المكونة من هذه الرؤوس.
لتحديد رؤوس رباعي محدب على دائرة ، تحتاج إلى تحديد 4 رؤوس من 8 رؤوس متاحة. في هذه الحالة ، لا يهم ترتيب الرؤوس المختارة ، حيث تعتبر الأشكال الرباعية المحدبة التي تم الحصول عليها عن طريق التباديل المختلفة للرؤوس هي نفسها.
لتحديد عدد الطرق لتحديد 4 رؤوس من 8 ، يتم استخدام صيغة الجمع:
كنك = ن! / (ك!(ن-ك)!) ، أين ن هو عدد العناصر في المجموعة ، ك هو عدد العناصر المحددة.
دعونا نطبق الصيغة على مشكلتنا:
ج84 = 8! / (4!(8-4)!) = 8! / (4!4!) = 70
وبالتالي ، هناك 8 نقاط محددة على الدائرة وهناك 70 شكل رباعي محدب مختلف يمكن أن تتكون من هذه النقاط.
سؤال وجواب
كم عدد الأشكال الرباعية المحدبة المختلفة الموجودة في المجموع إذا 8 يتم تمييز النقاط على الدائرة?
إذا كانت هناك 8 نقاط محددة على الدائرة ، فيمكنك تحديد 4 نقاط منها للحصول على رؤوس الرباعي. للقيام بذلك ، يمكنك استخدام مجموعة من 8 عناصر من 4 ، والتي يتم حسابها على أنها ج(8,4) = 70. هذا يعني أن هناك 70 شكل رباعي محدب مختلف برؤوس محددة على دائرة معينة.
كيفية بناء جميع الأشكال الرباعية المحدبة الممكنة على دائرة بها 8 نقاط?
لبناء جميع الأشكال الرباعية المحدبة الممكنة على دائرة بها 8 نقاط ، تحتاج إلى تحديد 4 نقاط من هذه 8. يمكنك البدء من خلال تحديد نقطة واحدة وتكرار من خلال جميع مجموعات من 7 نقاط المتبقية للعثور على 3 القمم المتبقية من الرباعي. يجب تكرار عملية الفرز من خلال المجموعات لكل نقطة من 8 نقاط ، وبالتالي الحصول على جميع الأشكال الرباعية الممكنة على دائرة بها 8 نقاط.
ما هي الصيغة العامة لتحديد عدد الأشكال الرباعية المحدبة المختلفة إذا ن تم وضع علامة على النقاط على الدائرة?
الصيغة العامة لتحديد عدد الأشكال الرباعية المحدبة المختلفة على دائرة بها ن يشبه النقاط ج (ن ، 4) ، أين ج(ن ، 4) هو عدد مجموعات ن في 4. يتم حساب الصيغة باستخدام الصيغة ج (ن ، 4) = ن! / (4!(ن-4)!) ، حيث ن! هو عامل الرقم ن.
هل من الممكن العثور على عدد الأشكال الرباعية المحدبة على دائرة بها 8 نقاط دون استخدام التوافقية?
نعم ، من الممكن العثور على عدد الأشكال الرباعية المحدبة على دائرة بها 8 نقاط دون استخدام التوافقية. للقيام بذلك ، يمكنك استخدام الصيغة التالية: ن * (ن-1)*(ن-2)*(ن-3)/4! أين ن هو عدد النقاط على الدائرة. في هذه الحالة ، يكون عدد الأشكال الرباعية هو 8*7*6*5/4! = 70 ، والذي يتزامن مع النتيجة التي تم الحصول عليها باستخدام التوافقية.