تنص هذه النظرية ، المعروفة باسم نظرية الحدود ، على أنه إذا كانت الوظيفة قابلة للتكامل على مقطع ما ، فسيتم تقييدها على هذا الجزء. بمعنى آخر ، إذا كان من الممكن دمج دالة في مقطع معين ، فهناك رقم يمثل الحد الأعلى لقيمة الوظيفة في هذا المقطع.
يعتمد إثبات هذه النظرية على تعريف تكامل الوظيفة. يجب أن تكون الدالة القابلة للتكامل محدودة على مقطع من أجل وجود جزء لا يتجزأ منه. إذا كانت الوظيفة غير محدودة ، فيمكن أن تكون قيمها كبيرة بشكل تعسفي ، مما قد يؤدي لاحقا إلى عدم وجود التكامل.
يرتبط تقييد الوظيفة أيضا ارتباطا مباشرا بإمكانية تكاملها في الجزء. إذا كانت الوظيفة محدودة ، فسيتم أيضا تقييد جزء لا يتجزأ منها. ويرجع ذلك إلى حقيقة أن التكامل هو المنطقة الموجودة أسفل الرسم البياني للدالة في مقطع معين ، وإذا كانت الوظيفة محدودة ، فسيتم تقييد المنطقة الموجودة أسفل الرسم البياني.
وبالتالي ، فإن نظرية الحدود تؤسس اعتماد حدود الوظيفة وقابليتها للتكامل على جزء. إذا كانت الدالة قابلة للتكامل ، فهي محدودة ، وإذا كانت الدالة غير محدودة ، فهي غير قابلة للتكامل.
- هل هناك قيود على وظيفة يجري دمجها في الجزء?
- تكامل دالة على جزء
- مفهوم وظيفة محدودة
- العلاقة بين تكامل الدالة وحدودها
- سؤال وجواب
- هل صحيح أنه إذا كانت الدالة قابلة للتكامل على جزء, ثم يحدها?
- هل يمكن أن تكون الوظيفة القابلة للتكامل غير محدودة على شريحة?
- لماذا هي وظيفة للتكامل يحدها بالضرورة على شريحة?
هل هناك قيود على وظيفة يجري دمجها في الجزء?
هل صحيح أنه إذا كانت الدالة قابلة للتكامل على جزء, ثم يحدها? تعتمد الإجابة على هذا السؤال على فئة الوظائف التي ندرسها.
هناك فئتان رئيسيتان من الوظائف: محدودة وغير محدودة. الدالة المحدودة هي دالة لا تتجاوز قيمتها بعض الثابت على نطاق التعريف بأكمله. على العكس من ذلك ، فإن الوظيفة غير المحدودة لها قيمة واحدة على الأقل تميل إلى اللانهاية أو ناقص اللانهاية.
إذا كانت الدالة مقيدة بمقطع ، فيمكن أن تكون قابلة للتكامل في هذا المقطع ، لأن القيد يسمح للدالة بأخذ القيم خلال فترة زمنية معينة. تسمى هذه الوظيفة بالتكامل بالمعنى المعتاد (تكامل ريمان).
ومع ذلك ، فإن تكامل دالة على مقطع لا يضمن حدوده على هذا الجزء. يتم تعريف تكامل ريمان لفئة واسعة من الوظائف ، بما في ذلك الوظائف غير المحدودة. على سبيل المثال ، الوظيفة 1/س^2 قابلة للتكامل في المقطع [1،+∞) ، على الرغم من أنها لا تقتصر على هذا المقطع.
وبالتالي ، هناك وظائف قابلة للتكامل على مقطع ، ولكن لا تقتصر على هذا الجزء. يمكن أن تكون معرفة قيود الوظيفة على مقطع ما مفيدة في حل المشكلات المتكاملة ، ولكنها ليست شرطا أساسيا للتكامل.
تكامل دالة على جزء
يتم تعريف تكامل الدالة على مقطع إذا كانت الدالة محدودة ولها عدد محدود من نقاط التوقف في هذا المقطع.
هل صحيح أنه إذا كانت الدالة قابلة للتكامل على جزء, ثم يحدها? دع الدالة و (س) تكون قابلة للتكامل على المقطع [أ ، ب]. هذا يعني أن هناك جزءا لا يتجزأ من الوظيفة في هذا الجزء: