هل من الممكن العثور على عدد طبيعي حيث ضرب من قبل 2 يعطي مربع?

قد تبدو هذه المهمة مثيرة للاهتمام وغير تافهة. بعد كل شيء ، لإيجاد عدد طبيعي يعطي ضربه في 2 مربعا ، نحتاج إلى حل معادلة النموذج 2 س = ص^2 ، حيث س هو الرقم الطبيعي المطلوب ، ص هو جذره التربيعي.

بالانتقال إلى الجبر ، نعلم أن الجذر التربيعي لعدد ما هو أحد قواسمه. أي إذا ص مضروبا في نفسه ، نحصل على الرقم الذي ينتمي إليه هذا الجذر التربيعي. لكن في حالتنا ، يتطلب الضرب في 2 إيجاد عدد طبيعي يكون جذره التربيعي متساويا.

لماذا هو حتى? لأن الضرب في 2 هو مضاعفة عدد ، مما يعني عددا زوجيا. إذا أخذنا عددا فرديا ، فإن ضربه في 2 لن يعطي مربعا. وبالتالي ، نحتاج إلى إيجاد عدد طبيعي يكون جذره التربيعي متساويا.

1. مشكلة رياضية
2. طريقة الحل من خلال التحليل إلى عوامل
3. النظر في القضية مع الأرقام الزوجية
4. النظر في حالة الأعداد الفردية
5. دراسة إمكانية وجود مثل هذا العدد
6. أمثلة وأمثلة مضادة
7. سؤال وجواب
8. هل من الممكن العثور على مثل هذا العدد الطبيعي?
9. هل هذه الأرقام لا تزال موجودة?
10. كيف أجد كل هذه الأرقام?
11. ما هي العلاقة بين هذه الأرقام والمربعات?

مشكلة رياضية

تتمثل إحدى المشكلات الرياضية الكلاسيكية في إيجاد رقم طبيعي يعطي فيه ضربه في 2 مربعا.

رياضيا ، يمكن تمثيل المشكلة على النحو التالي:

1. ابحث عن رقم طبيعي.
2. اضرب هذا الرقم في 2.
3. تحقق مما إذا كانت النتيجة هي مربع عدد طبيعي.

الأعداد الطبيعية هي أعداد صحيحة موجبة تبدأ من واحد وتتبعها ، وبالتالي أبسط الأعداد الطبيعية: 1, 2, 3, 4, 5 وهلم جرا.

مربع الرقم هو نتيجة ضرب رقم في نفسه. على سبيل المثال ، سيكون مربع الرقم 4 4 * 4 = 16.

في هذه المشكلة الرياضية ، تحتاج إلى إيجاد رقم طبيعي يتم استيفاء الشرط له: ضربه في 2 يعطي مربعا.

لحل هذه المشكلة ، يمكنك محاولة فرز الأعداد الطبيعية بدءا من 1 ، وضربها في 2 والتحقق مما إذا كانت النتيجة هي مربع بعض الأعداد الطبيعية. إذا تم العثور على هذا الرقم ، سيتم حل المشكلة.

كان علماء الرياضيات يبحثون عن هذه المشكلة لفترة طويلة ووجدوا الإجابة: لا يوجد عدد طبيعي يعطي ضربه في 2 مربعا.

يمكن إثبات هذا البيان باستخدام طريقة معادلات ديوفانتين ، والتي تسمح بحل المشكلات المتعلقة بوجود حلول صحيحة للمعادلات ذات المعاملات الصحيحة.

وبالتالي ، فإن الإجابة على المهمة سلبية: لا يوجد عدد طبيعي يعطي ضربه في 2 مربعا.

على الرغم من حقيقة أن هذه المهمة قد تبدو بسيطة ، إلا أنها ذات أهمية كبيرة في الرياضيات. إنه مثال على مشكلة لم يتم حلها في الوقت الحالي ويؤكد تعقيد وتعدد استخدامات الأسئلة الرياضية.

طريقة الحل من خلال التحليل إلى عوامل

لحل مشكلة العثور على رقم طبيعي يعطي فيه ضربه في 2 مربعا ، يمكنك استخدام طريقة التحليل إلى عوامل.

لنفترض أنه يمكن تمثيل الرقم المطلوب كمنتج للأعداد الأولية: n ن = ص_1^{أ_1} \سدوت ص_2^{أ_2} \ سدوت ... هي العوامل الأولية ، هي صلاحياتها.

يؤدي ضرب الرقم n ن by في 2 إلى الصيغة التالية: $2 ن = 2 \ سدوت ص_1^{أ_1} \ سدوت ص_2^{أ_2} \ سدوت^ \ سدوت ص_ك ^ {أ_ك}}

لكي يكون ناتج الأرقام-2ن-مربعا ، من الضروري أن تكون جميع قوى العوامل الأولية متساوية. وهذا هو ، لكل مضاعف p ص_ي must ، a أ_ي must يجب أن يكون عدد زوجي.

وبالتالي ، للعثور على الرقم المطلوب-ن n ، من الضروري أخذ العوامل الأولية بناء على شرط أن تكون درجاتهم متساوية. بعد ذلك ، من الممكن النظر في مجموعات مختلفة من العوامل الأولية ذات القوى المتساوية وضربها في بعضها البعض للحصول على الرقم المطلوب n ن n.

دعونا نعطي مثالا:

1. خذ العوامل الأولية: $2$, $3$, $5$.
2. دعونا تعيين درجات مضاعفات: $2^2$, $3^2$, $5^2$.
3. مضاعفة مضاعفات مع القوى حتى :2 2^2 \سدوت 3^2 \سدوت 5^2 = 4 \سدوت 9 \سدوت 25$.
4. نحصل على النتيجة :4 4 \ سدوت 9 \ سدوت 25 = 9 900.

وبالتالي ، بالنسبة للرقم 900 دولار ، يتم استيفاء الشرط بأن ضربه في 2 دولار يعطي مربعا (900 دولار / دولار كندي 2 = 1800 = 30^2$).

بنفس الطريقة ، يمكنك العثور على أرقام طبيعية أخرى يؤدي ضربها في 2 2 give إلى إعطاء مربع. للقيام بذلك ، تحتاج إلى تحديد العوامل الأولية مع القوى حتى ومضاعفتها من قبل بعضها البعض.

النظر في القضية مع الأرقام الزوجية

لنفكر في حالة الأرقام الزوجية ونتحقق مما إذا كان هناك عدد طبيعي يعطي فيه ضربه في 2 مربعا.

دع العدد الطبيعي يكون ن. إذا كان الرقم زوجيا ، فيمكن تمثيله كـ ن = 2ك ، أين ك هو عدد طبيعي.

اضرب الرقم ن في 2 واحصل على:

2 ن = 2 * 2 ك

2 ن = 4 ك

وبالتالي ، فإن الرقم 2 ن سيكون دائما مضاعفا لـ 4.

إذا كان الرقم ن يجب أن يكون مربعا ، فيجب أن يكون أيضا مضاعفا لـ 4 ، لأن مربع أي رقم زوجي سيكون أيضا رقما زوجيا.

لذلك ، إذا كنا نبحث عن عدد طبيعي يعطي فيه ضربه في 2 مربعا ، فنحن بحاجة إلى البحث عن رقم يقبل القسمة على 4 بدون الباقي.

أمثلة على هذه الأرقام هي: 4 ، 8 ، 12 ، 16 وهلم جرا.

وبالتالي ، هناك أعداد طبيعية حيث يؤدي ضربها في 2 إلى إعطاء مربع. كل هذه الأرقام ستكون حتى ومضاعفات 4.

النظر في حالة الأعداد الفردية

لحل هذه المشكلة ، ضع في اعتبارك الحالة عندما يكون الرقم المطلوب فرديا. لنفترض أن مثل هذا الرقم موجود ويشير إليه على أنه ن.

بناء على حالة المشكلة ، يجب أن يعطي ضرب الرقم في 2 مربع الرقم. وهذا هو ، يتم الوفاء بالمعادلة:

2 ن = ن2

اقسم كلا الجزأين من المعادلة على ن:

2 = ن

وبالتالي ، نحصل على أن الرقم المطلوب هو ن = 2.

حاصل ضرب الرقم 2 في 2 يساوي بالفعل مربع الرقم 2. من هذا يمكننا أن نستنتج أنه لا يوجد عدد فردي يعطي فيه ضربه في 2 مربعا.

وبالتالي ، فإن النظر في الحالة مع الأرقام الفردية لا يوفر حلا للمشكلة.

دراسة إمكانية وجود مثل هذا العدد

هل من الممكن العثور على عدد طبيعي حيث ضرب من قبل 2 يعطي مربع? هذا سؤال قد يكون موضع اهتمام علماء الرياضيات وعشاق الرياضيات. دعونا معرفة ذلك معا.

لنفترض أن لدينا عددا طبيعيا ن. إذا ضربناه في 2 ، نحصل على 2 ن. وإذا كان هذا الرقم هو مربع رقم طبيعي آخر ، فيمكننا كتابته كمعادلة: 2 ن = م^2 ، أين م هو أيضا رقم طبيعي.

دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة لفهم أفضل. دعونا ن = 1. ثم 2ن = 2 ، وهو ليس مربع عدد طبيعي.

الآن دعونا ن = 2. ثم 2ن = 4 ، وهو مربع عدد طبيعي (2^2 = 4)

إذا واصلنا هذه العملية للأعداد الطبيعية المتبقية ، فسنجد أن هناك قيم ن التي 2ن سيكون مربع عدد طبيعي.

وهكذا ، يمكننا أن نستنتج أن هناك أعدادا طبيعية ن ، حيث يؤدي ضربها في 2 إلى إعطاء مربع رقم طبيعي آخر.

أمثلة وأمثلة مضادة

لنفكر في بعض الأمثلة والأمثلة المضادة لمشكلة إيجاد عدد طبيعي يعطي فيه ضربه في 2 مربعا.

• مثال 1: دع الرقم يكون 1.

ضرب 1 في 2 يعطي 2 ، وهو مربع الرقم 2 (2 * 2 = 4).

• مثال 2: دع الرقم يكون 2.

ضرب 2 في 2 يعطي 4 ، وهو مربع الرقم 2 (2 * 2 = 4).

• مثال 3: دع الرقم يكون 3.

ضرب 3 في 2 يعطي 6 ، وهو ليس مربع عدد طبيعي.

• مثال مضاد: لا يوجد مثل هذا العدد الطبيعي.

عند ضرب أي عدد طبيعي في 2 ، نحصل على عدد زوجي لا يمكن أن يكون مربع عدد طبيعي.

وبالتالي ، هناك بعض الأمثلة حيث يمكنك العثور على رقم حيث يؤدي ضربه في 2 إلى إعطاء مربع ، ولكن بشكل عام لا يوجد مثل هذا الرقم.

سؤال وجواب

هل من الممكن العثور على مثل هذا العدد الطبيعي?

نعم ، هذا ممكن وهذا الرقم يسمى 1. ضرب واحد في 2 سيعطي 2 ، وهو مربع كامل.

هل هذه الأرقام لا تزال موجودة?

نعم ، هناك ، علاوة على ذلك ، عدد لا حصر له منهم. تسمى هذه الأرقام العوامل ويتم كتابتها كـ ن! (ن مضروب). على سبيل المثال ، الرقم 4! = 4 * 3 * 2 * 1 وهو يساوي 24 ، وهو مربع الرقم 4.

كيف أجد كل هذه الأرقام?

هناك صيغة لإيجاد مثل هذه الأرقام. إذا تم كتابة رقم كما ن!، أين ن هو رقم طبيعي ، ثم سيكون مربع إذا كان كل رئيس السلطة المدرجة في التوسع في عدد ن! هو مضاعف اثنين. على سبيل المثال ، الرقم 8! = 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 وهو يساوي 40320 ، وهو مربع الرقم 8.

ما هي العلاقة بين هذه الأرقام والمربعات?

كل عدد طبيعي يعطي ضربه في 2 مربعا هو عامل لعدد طبيعي آخر. وهذا هو ، يمكن كتابة هذه الأرقام كما ن!، أين ن هو رقم طبيعي. تساعدنا هذه النسبة في إيجاد وتصنيف كل هذه الأرقام.