حدد المعادلة الأساسية للقطع الناقص مع المسافة بين البؤر 8

القطع الناقص هو شكل هندسي له شكل بيضاوي أو دائرة "ممدودة". يحتوي القطع الناقص على بؤرتين تقعان على محور التناظر وتختلف بمسافة معينة. في هذه المقالة ، سننظر في كيفية الحصول على المعادلة الأساسية للقطع الناقص بمسافة معينة بين بؤره.

دعونا نتخيل أن القطع الناقص يقع في نظام إحداثيات ديكارتي. دع الفوكس وثاني أكسيد الكربون يكونان بؤر القطع الناقص ، و 2 أ تكون المسافة المحددة بينهما. بعد ذلك ، سيتزامن محور تناظر القطع الناقص مع المحور السيني ، وسيتزامن منتصف الجزء بين البؤر مع الأصل. يمكن حساب إحداثيات البؤر على أنها (أ ، 0) و (- أ ، 0).

المعادلة الكنسية للقطع الناقص لها الشكل:

س2 / أ2 + ص2 / ب2 = 1

في هذه المعادلة ، أ و ب هما نصف محاور القطع الناقص. بما أن البؤر تقع على المحور س ، إذن أ > ب. يمكن العثور على نصف المحاور على النحو التالي: أ = 8/2 = 4 ، و ب يمكن العثور عليها باستخدام نظرية فيثاغورس: أ2 = ب2 + ج2 ، أين ج هي المسافة بين البؤر. باستبدال القيم في المعادلة ، نحصل على:

س2 / 42 + ص2 / ب2 = 1

وبالتالي ، فإن المعادلة الكنسية للقطع الناقص بمسافة بين 8 بؤر سيكون لها الشكل: س2 / 16 + ص2 / ب2 = 1.

1. معادلة القطع الناقص الكنسي: التعريف والخصائص
2. تعريف معادلة القطع الناقص الكنسي
3. خصائص القطع الناقص مع البعد البؤري من 8
4. أمثلة على تطبيق معادلة القطع الناقص الكنسي
5. مثال 1:
6. المثال 2:
7. المثال 3:
8. سؤال وجواب
9. ما هي المعادلة الأساسية للقطع الناقص إذا كانت المسافة بين البؤر 8?
10. ما المعادلة يصف القطع الناقص مع بؤر, المسافة التي هي 8?
11. كيف يمكنني كتابة معادلة القطع الناقص في شكل قانوني إذا كانت المسافة بين البؤر 8?

معادلة القطع الناقص الكنسي: التعريف والخصائص

القطع الناقص هو منحنى مسطح يتكون من تقاطع مستوى مع سطح مخروط ، بشرط ألا يكون المستوى موازيا لقاعدة المخروط. يحتوي القطع الناقص على بؤرتين على نفس المحور وعلى مسافة متساوية من مركز القطع الناقص.

في الرياضيات ، يتم تعريف القطع الناقص باستخدام معادلة أساسية ، والتي لها الشكل التالي:

(س-أ) 2 / أ 2 + (ص-ب) 2 / ب 2 = 1

أين:

• (أ ، ب) هي إحداثيات مركز القطع الناقص;
• أ هو المحور شبه الرئيسي للقطع الناقص;
• ب هو المحور شبه الرئيسي الصغير للقطع الناقص.

تسمح لنا معادلة القطع الناقص المتعارف عليها بتحديد الخصائص الرئيسية للقطع الناقص:

1. البؤر ومجموع المسافات: تقع بؤر القطع الناقص على المحور الرئيسي وعلى مسافة متساوية من مركز القطع الناقص. مجموع المسافات من أي نقطة من القطع الناقص إلى البؤرتين يساوي دائما القيمة المحددة ، في هذه الحالة 8.
2. المحاور الرئيسية والثانوية: يمثل المحور شبه الرئيسي أ المسافة من مركز القطع الناقص إلى حافة القطع الناقص على طول المحور الرئيسي. يمثل المحور شبه الرئيسي الصغير ب المسافة من مركز القطع الناقص إلى حافة القطع الناقص على طول المحور الجانبي.
3. الانحراف: يتم الإشارة إلى الانحراف اللامركزي للقطع الناقص بالحرف هـ ويتم تعريفه على أنه النسبة بين المحور شبه الرئيسي والمحور شبه الثانوي ، أي. ه = ج / أ ، أين ج هي المسافة من مركز القطع الناقص إلى البؤرة.
4. المعلمة البؤرية: المعلمة البؤرية ص من القطع الناقص يتم تعريفه على أنه المسافة من مركز القطع الناقص إلى التركيز مضروبا في الانحراف ، أي ص = ه * أ.

تسمح لنا معادلة القطع الناقص الأساسية بتحديد هذه الخصائص واستخدامها بسهولة لتحليل وحل المشكلات المتعلقة بالعلامات الناقصة.

تعريف معادلة القطع الناقص الكنسي

القطع الناقص هو شكل هندسي يحده منحنى مغلق يتكون من جميع النقاط في المستوى التي يكون مجموع المسافات إلى نقطتين محددتين في البؤر ثابتا.

المعادلة الأساسية للقطع الناقص لها الشكل التالي:

(س-ح) 2 / أ2 + (ص-ك) 2 / ب2 = 1

أين:

• (ح ، ك) هي إحداثيات مركز القطع الناقص
• أ هو نصف المحور أفقيا ، المسافة من مركز القطع الناقص إلى الحدود
• ب هو نصف المحور عموديا ، المسافة من مركز القطع الناقص إلى الحدود

لتحديد المعادلة الأساسية للقطع الناقص بمسافة معينة بين البؤر ، يمكن استخدام الصيغة التالية:

2 أ = 8

أين أ هو نصف المحور و هـ هو الانحراف اللامركزي للقطع الناقص ، المحدد على النحو التالي:

ه = √(1 - (ب2 / أ2))

باستبدال قيمة ه في الصيغة ، يمكننا إيجاد قيمة أ. معرفة أ وقيمة ه ، يمكننا تحديد المعادلة الأساسية للقطع الناقص.

خصائص القطع الناقص مع البعد البؤري من 8

القطع الناقص هو شكل هندسي يحدده بؤرتان ومجموع المسافات من أي نقطة من القطع الناقص إلى كل بؤرة.

معادلة القطع الناقص في الشكل الكنسي لها الشكل التالي:

(س / أ)^2 + (ص / ب)^2 = 1

في هذه الحالة ، تكون المسافة بين البؤر 8 ، والتي يمكن التعبير عنها بـ 2 أ.

وبالتالي ، أ = 4.

خصائص أخرى للقطع الناقص مع المسافة المحددة بين البؤر:

• البعد البؤري: البعد البؤري يساوي نصف المحور الرئيسي للقطع الناقص ، أي أ = 4.
• المحاور الرئيسية والثانوية: المحور الرئيسي للقطع الناقص هو 2 أ ، أي 8 ، والمحور الثانوي هو 2 ب.
• مركز القطع الناقص: مركز القطع الناقص عند (0 ، 0).
• الوضع الرأسي: هذا الشكل البيضاوي له وضع عمودي ، لأن معادلة القطع الناقص تعتمد على ص / ب.

من هذه الخصائص ، يمكن استخلاص استنتاجات حول شكل وموضع القطع الناقص بمسافة بين بؤر 8.

وهكذا ، فإن القطع الناقص مع البعد البؤري من 8 لديه المعادلة الكنسي (س / 4)^2 + (ص/ب)^2 = 1 ولها موقف عمودي.

أمثلة على تطبيق معادلة القطع الناقص الكنسي

معادلة القطع الناقص الكنسي بشكل عام لها الشكل التالي:

س^2 / أ^2 + ص^2 / ب^2 = 1

أين أ و ب هي نصف محاور القطع الناقص. المسافة بين بؤر القطع الناقص هي 2ج ، أين ج هو البعد البؤري.

مثال 1:

النظر في القطع الناقص مع المعادلة الكنسي:

س^2/4 + ص^2/9 = 1

تصف هذه المعادلة القطع الناقص بنصف محاور أ = 2 و ب = 3. البعد البؤري ج يمكن العثور عليها بواسطة الصيغة:

ج = الجذر التربيعي (أ^2-ب^2)

استبدل القيمتين أ = 2 و ب = 3 في صيغة ج:

ج = الجذر التربيعي(2^2 — 3^2) = الجذر التربيعي (4 — 9) = الجذر التربيعي (-5)

في هذا المثال ، ج هو رقم مركب. وبالتالي ، فإن القطع الناقص لهذه المعادلة هو قطع ناقص وهمي ، مما يعني أنه لا يحتوي على نقاط تقاطع مع المحور السيني والمحور الصادي.

المثال 2:

النظر في القطع الناقص مع المعادلة الكنسي:

س^2/16 + ص^2/25 = 1

تصف هذه المعادلة القطع الناقص بنصف محاور أ = 4 و ب = 5. البعد البؤري ج يمكن العثور عليها بواسطة الصيغة:

ج = الجذر التربيعي (أ^2-ب^2)

استبدل القيمتين أ = 4 و ب = 5 في صيغة ج:

ج = الجذر التربيعي(4^2 — 5^2) = الجذر التربيعي (16-25) = الجذر التربيعي (-9)

في هذا المثال ، ج هو أيضا رقم مركب والقطع الناقص هو قطع ناقص وهمي.

المثال 3:

النظر في القطع الناقص مع المعادلة الكنسي:

س^2/9 + ص^2/4 = 1

تصف هذه المعادلة القطع الناقص بنصف محاور أ = 3 و ب = 2. البعد البؤري ج يمكن العثور عليها بواسطة الصيغة:

ج = الجذر التربيعي (أ^2-ب^2)

استبدل القيمتين أ = 3 و ب = 2 في صيغة ج:

ج = الجذر التربيعي(3^2 — 2^2) = الجذر التربيعي (9-4) = الجذر التربيعي (5)

في هذا المثال ، البعد البؤري ج هو رقم حقيقي ، والقطع الناقص هو قطع ناقص حقيقي له نقاط تقاطع مع المحور السيني والمحور الصادي.

يمكن العثور على أمثلة لتطبيق معادلة القطع الناقص الكنسي في الهندسة والبصريات وعلم الفلك وغيرها من مجالات الفيزياء والرياضيات. تم العثور على الحذف في مختلف المشاكل المادية والتطبيقية ، ودراستها ذات أهمية كبيرة لفهم العديد من الظواهر والعمليات.

سؤال وجواب

ما هي المعادلة الأساسية للقطع الناقص إذا كانت المسافة بين البؤر 8?

المعادلة الكنسية للقطع الناقص بمسافة بين بؤر 8 لها الشكل: \(\فارك{س^2} {أ^2} + \ فارك{ص^2}{ب^2}=1\) ، حيث \(2 أ\) هي المسافة بين رؤوس القطع الناقص.

ما المعادلة يصف القطع الناقص مع بؤر, المسافة التي هي 8?

يمكن كتابة معادلة القطع الناقص بمسافة بين بؤر 8 في شكل قانوني: \(\فارك{س^2} {أ^2} + \ فارك{ص^2}{ب^2}=1\) ، حيث \(2 أ\) هي المسافة بين رؤوس القطع الناقص.

كيف يمكنني كتابة معادلة القطع الناقص في شكل قانوني إذا كانت المسافة بين البؤر 8?

إذا كانت المسافة بين بؤر القطع الناقص هي 8 ، فإن معادلة هذا القطع الناقص في الشكل الكنسي ستبدو كما يلي: \(\فارك{س^2}{أ^2}+\فارك{ص^2}{ب^2}=1\) ، حيث \(2 أ\) هي المسافة بين رؤوس القطع الناقص.