يعد إثبات انخفاض دالة على فاصل زمني مهمة مهمة في التحليل الرياضي ، لأنه يسمح لك بالعثور على أقصى درجات الوظيفة وتحديد سلوكها في مناطق مختلفة من قيمة الوسيطة. في هذه المقالة ، سوف نثبت انخفاض الوظيفة ص = كوس3س-4س في الفاصل الزمني ص ، مما سيساعدنا على فهم خصائصه بشكل أفضل واستخدامه في تطبيقات مختلفة.
بادئ ذي بدء ، ضع في اعتبارك الوظيفة ص = كوس3س — 4س على الفاصل الزمني ص. الدالة كوس3س — 4س هي مزيج من الدوال المثلثية والخطية ، مما يجعل دراستها صعبة للغاية. ولكن بمساعدة الأساليب الرياضية مثل التمايز وتحليل التطرف ، سنكون قادرين على إثبات انخفاضه في الفاصل الزمني ص.
يستخدم التحليل المشتق لإثبات انخفاض الوظيفة في الفاصل الزمني. إذا كان مشتق الدالة أقل من الصفر في هذا الفاصل الزمني ، فإن الدالة تنخفض. لإيجاد مشتق الدالة ص = كوس3س-4س ، نستخدم قاعدة التمايز في تكوين الوظائف.
بعد العثور على مشتق الوظيفة ص = كوس3س-4س ، نفحص علامته على الفاصل الزمني ص. إذا كان المشتق سالبا على الفاصل الزمني ، فإن الوظيفة تنخفض عليه. وبالمثل ، إذا كان المشتق موجبا ، فإن الوظيفة تزداد خلال هذا الفاصل الزمني. في حالتنا ، بعد تحليل المشتق ، نثبت انخفاض الوظيفة ص = كوس3س-4س في الفاصل الزمني ص.
- دليل على انخفاض وظيفة كوس3-4س على الفاصل الزمني
- طريقة الحث الرياضي
- سؤال وجواب
- كيفية إثبات انخفاض الوظيفة ص = كوس3س-4س على الفاصل الزمني ص?
- ما هو الشرط الذي يجب الوفاء به لتقليل الوظيفة ص = كوس3س-4س في الفاصل الزمني ص?
دليل على انخفاض وظيفة كوس3-4س على الفاصل الزمني
من أجل إثبات انخفاض الوظيفة ص = كوس3س — 4س في الفاصل الزمني ص ، سنحتاج إلى بعض الحسابات الرياضية وخصائص جيب التمام والوظائف.
1. مشتق من وظيفة:
أولا ، لنجد مشتق الدالة ص = كوس3س-4س. سيساعدنا المشتق في تحديد النقاط التي تنخفض فيها الدالة أو تزيد أو لها حدود قصوى.
- أوجد مشتق كل مصطلح:
- حساب قيم الدالة:
- دعونا نحل المعادلة:
| واو (خ) = كوس 3 اكس-4 اكس | ||
| و '(س) = (كوس3 س) ' — (4 س)' | ||
| و ' (س) = - 3سن3س-4 | (مشتق جيب التمام: (كوس س) ' = - الخطيئة س) |
| و ' (س) = - 3سن3س-4 | ||
| و ' (خ) = 0 | (أوجد النقاط القصوى) | |
| - 3 سين 3 س-4 = 0 | ||
| الخطيئة 3 س = -4 / 3 |
| الخطيئة 3 س = -4 / 3 | ||
| من جدول القيم الجيبية نجد ذلك | ||
| 3 س = أركسين (-4/3) + 2 ن ، ن Z ض | ||
| أو | ||
| 3 س = arc-أركسين(4/3) + 2 ن ، ن Z ض |
2. علامة على مشتق من وظيفة:
الآن دعنا نحدد متى يكون مشتق الدالة أقل من الصفر ، أي عندما تنخفض الدالة.
- نقوم بتحليل الفترات الفاصلة بين النقاط القصوى التي تم العثور عليها:
- دعنا نحسب علامة المشتق في كل فاصل زمني:
| الفاصل الأول: | 3س < φ 1; |
| الفاصل الثاني: | 11 < 3س <22; |
| الفاصل الثالث: | 22 < 3س < < ; |
| الفاصل الأول: | و ' (س) = - 3سن3س-4 | |
| و ' (خ) = - 3في (1 1) - 4 | (الخطيئة 3 س دائما سلبية في هذه الفترة) | |
| و ' (خ) = - 3في (1 1) - 4 < 0 | ||
| الفاصل الثاني: | و ' (س) = - 3سن3س-4 | |
| و ' (خ) = - 3في (كن — - 4 | (كيلو نيوتن ∈ (11 ,22)) | |
| و ' (خ) = - 3في (كن) — 4 > 0 | (الخطيئة (كن) دائما إيجابية) | |
| الفاصل الثالث: | و ' (س) = - 3سن3س-4 | |
| و ' (خ) = - 3في (π — - 4 | ||
| و ' (خ) = - 3في (π) - 4 < 0 |
3. الانسحاب:
بناء على علامة المشتق ، تنخفض الوظيفة في الفاصل الأول ، وتزداد الوظيفة في الفاصل الثاني ، وتنخفض الوظيفة مرة أخرى في الفاصل الثالث.
وبالتالي ، يمكن استنتاج أن الوظيفة ص = كوس3س-4س يتناقص في الفاصل الزمني ص.
طريقة الحث الرياضي
طريقة الحث الرياضي هي واحدة من الطرق الرئيسية لإثبات البيانات الرياضية. يعتمد على مبدأ الاستقراء الرياضي ، والذي يسمح لك بإثبات بيان لجميع الأعداد الطبيعية باستخدام مرحلتين: الخطوة الأساسية وخطوة الاستقراء.
الخطوة الأساسية هي التحقق من بيان القيمة الأولية ، عادة لأصغر عدد طبيعي. إذا كانت العبارة صحيحة لهذه القيمة ، فانتقل إلى الخطوة التالية.
خطوة الاستقراء هي افتراض أن العبارة صحيحة بالنسبة لبعض الأرقام الطبيعية ك. ثم من الضروري إثبات أن البيان صحيح أيضا بالنسبة للرقم ك+1. إذا تم إثبات ذلك ، فوفقا لمبدأ الاستقراء الرياضي ، يكون البيان صحيحا لجميع الأعداد الطبيعية التي تزيد عن أو تساوي القيمة الأولية.
يتكون تطبيق طريقة الحث الرياضي عادة من ثلاث مراحل:
- صياغة البيان-من الضروري صياغة البيان الذي يجب إثباته بدقة.
- إثبات الخطوة الأساسية-يجب إثبات البيان للقيمة الأولى.
- دليل على خطوة الاستقراء-من المفترض أن البيان صحيح بالنسبة لبعض القيمة ، وثبت صلاحيته للقيمة التالية.
تعتبر طريقة الحث الرياضي مفيدة بشكل خاص عندما يكون البيان مرتبطا بالأعداد الطبيعية ويستخدم لإثبات خصائص التسلسلات أو الوظائف ، بما في ذلك تنازلها أو زيادتها. في مثل هذه الحالات ، يسمح لك بتعيين الخصائص المطلوبة لجميع الأرقام الطبيعية باستخدام الخطوة الأساسية وخطوة الحث فقط.
يتيح لك استخدام طريقة الحث الرياضي في إثبات انخفاض الوظيفة التحقق باستمرار من البيان لجميع القيم خلال فترة زمنية معينة وإثبات صلاحيتها.
سؤال وجواب
كيفية إثبات انخفاض الوظيفة ص = كوس3س-4س على الفاصل الزمني ص?
لإثبات انخفاض الوظيفة ص = كوس3س-4س في الفاصل الزمني ص ، من الضروري تحليل مشتقه وعلامة المشتق. عند التمييز بين هذه الوظيفة ، نحصل على ذ' = -12في3س -4. تظهر قيمة المشتق ميل الرسم البياني للدالة: إذا كان المشتق موجبا ، تزداد الوظيفة; إذا كان المشتق سالبا ، تنخفض الوظيفة. من أجل تحديد علامة المشتق ، وبالتالي ، انخفاض الوظيفة ، يكفي فحص علامة المضاعفات 12 والخطيئة3س + 1. إذا س تقع على الفاصل الزمني ص ، ثم الخطيئة 3س + 1 > 0 ، منذ الخطيئة 3س يأخذ القيم من -1 إلى 1. وبالتالي ، فإن انخفاض الوظيفة ص = كوس3س-4س في الفاصل الزمني ص ثبت.
ما هو الشرط الذي يجب الوفاء به لتقليل الوظيفة ص = كوس3س-4س في الفاصل الزمني ص?
لتقليل الوظيفة ص = كوس3س-4س على الفاصل الزمني ص ، من الضروري أن يكون مشتق هذه الوظيفة سالبا على الفاصل الزمني ص. عند تمييز الدالة بواسطة س ، نحصل على ص' = -12في3س -4. من أجل تحديد علامة المشتق ، نحتاج إلى فحص علامة المضاعفات -12 والخطيئة3س + 1. إذا س ينتمي إلى الفاصل الزمني ص ، ثم الخطيئة 3 س يأخذ القيم من -1 إلى 1 ويكون دائما موجبا. وبالتالي ، فمن الضروري أن -12 تكون سلبية ، والتي تتم تحت شرط أن س ينتمي إلى فترات (بي / 3 ، 2بي/3) و (5بي/3 ، 4بي/3) ، منذ الخطيئة(بي/3) والخطيئة(5بي/3) تساوي 1. بناء على ذلك ، نحصل على أن شرط تقليل الوظيفة هو أن س ينتمي إلى إحدى الفواصل الزمنية (بي/3 ، 2 بي/3) أو (5 بي/3 ، 4 بي/3).