يثبت أنه من بين الأعداد الطبيعية هناك نوعان من الفرق الذي يقبل القسمة على ن

دعنا نثبت العبارة التالية: من بين أي ن + 1 الأعداد الطبيعية ، سيكون هناك اثنان يمكن قسمة اختلافهما على ن. بادئ ذي بدء ، ضع في اعتبارك الأرقام من 1 إلى ن + 1.

إذا قسمنا هذه الأرقام إلى بقايا عند القسمة على ن ، نحصل على ن بقايا مختلفة. ولكن لدينا ن + 1 أرقام. لذلك ، وفقا لمبدأ ديريتشليت ، يجب أن يكون لرقمين على الأقل نفس الباقي عند القسمة على ن.

دع هذين الرقمين يكون س و ص (س > ص). ثم الفرق بينهما هو س ص وقابل للقسمة على ن بدون الباقي. بمعنى آخر ، الفرق بين رقمين طبيعيين محددين من المجموعة من 1 إلى ن + 1 سيكون دائما قابلا للقسمة على ن.

1. نظرية الأعداد: تقسيم الأعداد الطبيعية
2. وجود زوج من الأرقام التي يكون اختلافها قابلا للقسمة على رقم معين
3. سؤال وجواب
4. هل هناك أي عدد معين ن الذي لا يحمل هذا البيان?
5. هل من الممكن استخدام طريقة أخرى لإثبات هذا البيان, بخلاف الحث الرياضي?

نظرية الأعداد: تقسيم الأعداد الطبيعية

يعد تقسيم الأعداد الطبيعية من أهم العمليات في نظرية الأعداد. يسمح لك بتحديد ما إذا كان أحد الأرقام قابلا للقسمة تماما على آخر ، وكذلك للعثور على ما تبقى من القسمة.

يسمى تقسيم الأعداد الطبيعية "تيسينجي" إذا كان الفرق بين رقمين مقسوما على رقم معين ن. بمعنى آخر ، إذا كان هناك رقمان أ و ب بحيث أ — ب يقبل القسمة على ن ، ثم الرقم ب يسمى رقم "ثيسينجي" بالنسبة للرقم أ و ن.

لإثبات أنه من بين الأعداد الطبيعية هناك نوعان من الفرق الذي يقبل القسمة على ن ، يمكنك استخدام طريقة الحث الرياضي. من المفترض أن العبارة صحيحة بالنسبة لبعض الأرقام ك ، ثم يتم إثبات صحتها للرقم ك + 1.

دع الرقم ن تعطى. النظر في الأرقام ن الأولى: 0, 1, 2,...، ن-1. اقسم كل رقم من هذه الأرقام على ن واكتب باقي القسمة. نحصل على الأرقام: 0, 1, 2,...، ن-1.

لاحظ أنه من بين هذه الأرقام هناك رقمان متطابقان: 0 و ن-1. الفرق بين هذه الأرقام هو (ن-1)-0 = ن-1 ، وهو قابل للقسمة على ن. لذلك ، من بين الأرقام الأولى ن سيكون هناك اثنان يمكن تقسيم اختلافهما على ن.

وهكذا ، ثبت أنه من بين الأعداد الطبيعية هناك نوعان من الفرق الذي يقبل القسمة على ن.

وجود زوج من الأرقام التي يكون اختلافها قابلا للقسمة على رقم معين

نريد أن نثبت أنه من بين الأعداد الطبيعية هناك نوعان من الفرق الذي يقبل القسمة على رقم معين ن.

بادئ ذي بدء ، ضع في اعتبارك رقمين: أ و ب ، أين أ > ب. إذا أخذنا الفرق بين هذه الأرقام ، نحصل على تسلسل رقمي: أ-ب ، أ-2 ب ، أ-3 ب, …

اعتمادا على قيمة الفرق أ-ب ، يمكن أن تأخذ قيما مختلفة:

• إذا أ-ب = ن ، فإن الفرق قابل للقسمة بالفعل على ن.
• إذا أ-ب > ن ، ثم يمكن تمثيل الفرق على النحو التالي: أ-ب = كيلو نيوتن + ص ، أين ك هو عدد طبيعي ، ص هو ما تبقى من القسمة.

لوجود زوج من الأرقام التي يكون اختلافها قابلا للقسمة على ن ، يلزم أن تكون بقايا ص لجميع القيم الممكنة لـ ك تلبية الشرط: 0 < ص < ن.

إذا كان هناك مثل هذه القيمة من ص ، ثم يمكننا أن نجد أ و ب على النحو التالي:

1. دعونا نختار قيمة تعسفية من ك.
2. دعونا حساب ص = أ-كيلوبايت.
3. إذا 0 < ص < ن ، ثم أ = ص + كيلوبايت و ب = ص.

وبالتالي ، يمكننا العثور على زوج من الأرقام أ و ب ، الفرق الذي يقبل القسمة على رقم معين ن ، إذا كان هناك مثل هذه القيمة ص تلبية الشرط 0 < ص < ن.

أمثلة على أزواج من الأرقام حيث يكون الفرق قابلا للقسمة على رقم معين:

سؤال وجواب

هل هناك أي عدد معين ن الذي لا يحمل هذا البيان?

لا ، لأي عدد طبيعي ن ، هذه العبارة صحيحة. في الواقع ، يمكن كتابة أي رقمين كـ أ و ب ، أين أ > ب. ثم فرقهم أ — ب هو دائما عدد صحيح ، وإذا لم يكن قابلا للقسمة على ن ، ثم (أ — ب) وزارة الدفاع ن سيكون لها قيمة غير صفرية. ولكن الحالة عندما أ < ب يمكن اعتباره بالمثل ، ببساطة عن طريق تبديل قيم أ و ب في الأماكن. وهكذا ، لأي ن من بين الأعداد الطبيعية سيكون هناك رقمان يمكن قسمة اختلافهما على ن.

هل من الممكن استخدام طريقة أخرى لإثبات هذا البيان, بخلاف الحث الرياضي?

نعم ، يمكن تطبيق طريقة الإثبات المباشر. للقيام بذلك ، يكفي النظر في عددين طبيعيين أ و ب ، مثل أ > ب ، والنظر في اختلافهم أ-ب. إذا كان أ يقبل القسمة على ن ، فإن الفرق يقبل القسمة أيضا على ن ، منذ (أ-ب) + ب = أ. إذا أ لا يقبل القسمة على ن ، ثم ل ب يمكنك اختيار رقم يعطي الباقي عند القسمة على ن القيمة المقابلة للباقي عند قسمة أ على ن. ثم الفرق (أ-ب) سيكون قابلا للقسمة على ن ، لأن أ سيكون له نفس الباقي عند القسمة على ن مثل ب. وبالتالي ، من بين الأعداد الطبيعية ، سيكون هناك دائما رقمان يمكن قسمة اختلافهما على ن.