أوجد كل قيم أ التي للمعادلة جذران مختلفان

المعادلة هي كائن رياضي له قيم غير معروفة تسمى المتغيرات. في أبسط أشكالها ، تبدو المعادلة وكأنها مساواة بين تعبيرين متصلين بعمليات حسابية معينة.

واحدة من أكثر أنواع المعادلات شيوعا هي المعادلات التربيعية. المعادلة التربيعية لها الشكل التالي: فأس^2 + ب + ج = 0 ، حيث أ ، ب ، ج هي معاملات المعادلة ، و س هو متغير غير معروف لنا.

يمكن أن يكون للمعادلات التربيعية عدد مختلف من الجذور اعتمادا على قيم المعاملات. عندما يكون تمييز المعادلة أكبر من الصفر ، فإن المعادلة لها جذران مختلفان ، بينما كلا الجذرين هما أعداد حقيقية. عندما يكون التمييز صفرا ، فإن المعادلة لها جذر واحد – رقم حقيقي. وعندما يكون التمييز أقل من الصفر ، فإن المعادلة ليس لها جذور حقيقية ، ولكن لها جذور معقدة.

1. المعادلة وجذورها
2. حالة المهمة
3. طرق الحل
4. 1. التمييز
5. 2. الطريقة الرسومية
6. 3. صيغة الجذور
7. المعادلة التربيعية
8. معادلة الدرجة الثالثة
9. معادلة الدرجة الرابعة
10. معادلة الدرجة الخامسة
11. معادلة الدرجة السادسة
12. الاستنتاجات
13. سؤال وجواب
14. كيف أجد كل القيم ل?
15. كيفية العثور على التمييز من المعادلة?
16. القيم التي من تلبية شرط المعادلة أن يكون اثنين من جذور مختلفة?
17. ماذا يحدث إذا كان التمييز هو صفر?
18. كيف يمكنني التحقق من أن المعادلة لها جذران مختلفان?
19. كيف يمكنني حل المعادلة للعثور على قيم?

المعادلة وجذورها

المعادلة هي تعبير جبري يحتوي على عدد غير معروف (أو متغير) وعمليات حسابية. حل المعادلة هو القيمة (أو القيم) التي تتحقق بها المعادلة.

أحد المفاهيم المهمة في حل المعادلات هو مفهوم الجذر. جذر المعادلة هو القيمة (أو القيم) التي تفي بمعادلة معينة. إذا كانت المعادلة لها جذران مختلفان ، فإنها تسمى المعادلة التربيعية.

المعادلة التربيعية لها الشكل التالي:

الفأس 2 + بكس + ج = 0

حيث أ ، ب ، ج هي معاملات ، والمعامل أ ليس صفرا.

لإيجاد جذور المعادلة التربيعية ، توجد صيغة:

س = (- ب ± √ (ب 2-4 أ)) / 2 أ

لكي يكون للمعادلة جذران مختلفان ، يجب أن يكون التعبير الموجود أسفل الجذر موجبا، أي:

ب2-4ا > 0

يمكن تفسير هذا الشرط على أنه شرط أن يكون المميز إيجابيا.

وبالتالي ، لكي يكون للمعادلة جذران مختلفان ، من الضروري والكافي تحقيق الشرط:

التمييز أكبر من الصفر: ب2-4ا > 0

ستكون قيم المتغير أ الذي يتم استيفاء هذا الشرط عنده هي القيم التي يكون للمعادلة التربيعية جذران مختلفان.

حالة المهمة

من الضروري العثور على جميع قيم أ التي تحتوي المعادلة على جذرين مختلفين.

طرق الحل

للعثور على جميع قيم أ التي للمعادلة جذران مختلفان ، يمكن استخدام عدة طرق:

1. التمييز

بالنسبة للمعادلة التربيعية للشكل فأس^2 + ب + ج = 0 ، المميز د = ب^2-4 أ يعتبر. إذا د > 0 ، فإن المعادلة لها جذران مختلفان.

للعثور على قيم أ ، تحتاج إلى النظر في جميع القيم الممكنة لمعامل أ والتحقق مما إذا كان الشرط د تم الوفاء به > 0:

• إذا أ > 0 ، ثم د > 0 ، والمعادلة لها جذران مختلفان;
• إذا أ = 0 ، ثم تتحول المعادلة إلى خطي بكس + ج = 0 ، والتي لها جذر واحد;
• إذا كان أ هو 0 ، والمعادلة لها أيضا جذران مختلفان.

2. الطريقة الرسومية

هناك طريقة أخرى لحل المشكلة وهي تحليل الرسم البياني لمعادلة تربيعية على مستوى. إذا تقاطع الرسم البياني مع محور الثور عند نقطتين مختلفتين ، فإن المعادلة لها جذران مختلفان.

يسمح لك تحليل الرسم البياني بتحديد الفواصل الزمنية للقيم التي يتقاطع عندها الرسم البياني مع محور الثور عند نقطتين.

3. صيغة الجذور

يمكنك أيضا استخدام صيغة الجذر للمعادلة التربيعية فأس^2 + بكس + ج = 0:

س = (- ب± √ (ب ^ 2-4 ج)) / (2 أ)

إذا كان التمييز د > 0 ، فإن المعادلة لها جذران مختلفان. للعثور على قيم أ ، تحتاج إلى استبدال القيم المختلفة لمعامل أ في الصيغة والتحقق من الشرط د > 0.

لذلك ، باستخدام تمييز أو طريقة رسومية أو صيغة جذر ، يمكنك العثور على جميع قيم أ التي للمعادلة جذران مختلفان.

المعادلة التربيعية

المعادلة التربيعية هي معادلة الشكل:

الفأس 2 + بكس + ج = 0,

حيث أ ، ب ، ج هي معاملات ، والمعامل أ ليس صفرا.

يمكن أن يكون لحل المعادلة التربيعية عدد مختلف من الجذور ، اعتمادا على قيمة المميز. يتم حساب المميز باستخدام الصيغة:

د = ب 2-4 أ.

عندما يكون التمييز أكبر من الصفر ، فإن المعادلة لها جذران مختلفان:

• يتم حساب الجذر الأول باستخدام الصيغة:

س1 = (- ب + D د) / (2 أ).

• يتم حساب الجذر الثاني باستخدام الصيغة:

س2 = (—ب-D د) / (2 أ).

عندما يكون التمييز صفرا ، فإن المعادلة لها جذر واحد:

• يتم حساب الجذر باستخدام الصيغة:

س = - ب / (2 أ).

عندما يكون التمييز أقل من الصفر ، فإن المعادلة ليس لها جذور حقيقية ، ولكن هناك جذران معقدان ، يتم حسابهما على النحو التالي:

• الجذر الأول:

س1 = (- ب + ط i / د|) / (2 أ).

• الجذر الثاني:

س2 = (- ب-ط√ / د|) / (2 أ).

وبالتالي ، بالنسبة لمعادلة ذات جذرين مختلفين ، فإن قيمة التمييز د يجب أن تكون أكبر من الصفر.

معادلة الدرجة الثالثة

معادلة الدرجة الثالثة هي معادلة جبرية للشكل الفأس3 + ب س2 + س + د = 0 ، حيث أ ، ب ، ج و د هي معاملات ، و أ 0 0.

لحل معادلة الدرجة الثالثة ، هناك طرق مختلفة ، واحدة منها هي طريقة كاردانو. باستخدام هذه الطريقة ، يمكنك العثور على جميع قيم أ التي للمعادلة جذران مختلفان.

تسمح لنا طريقة كاردانو بتقليل معادلة الدرجة الثالثة إلى معادلة النموذج ش3 + بو + س = 0 ، حيث ش هو متغير جديد ، و ص و ف هي بعض التعبيرات للمعاملات أ ، ب ، ج و د.

لكي يكون للمعادلة جذران مختلفان ، من الضروري والكافي ذلك ص2 / 4 + ف3 / 27 > 0. من الضروري أيضا الانتباه إلى الشروط الإضافية المتعلقة بصحة الجذور.

وبالتالي ، فإن القيم التي تم العثور عليها من أ ، والتي معادلة الدرجة الثالثة لها جذران مختلفان ، يجب أن تستوفي الشرط المحدد.

عند حل معادلة الدرجة الثالثة ، يجب استخدام خوارزمية طريقة كاردانو ويجب التحقق من القيم الموجودة في حالة وجود جذرين مختلفين.

معادلة الدرجة الرابعة

معادلة الدرجة الرابعة لها الشكل:

أ4س4 + أ3س3 + أ2س2 + أ1س + أ0 = 0 ، أين أ4, أ3, أ2, أ1 و أ0 هي معاملات المعادلة.

للعثور على جميع قيم أ التي للمعادلة جذران مختلفان ، يمكنك استخدام نظرية فيتا لمعادلات الدرجة الرابعة. وفقا لهذه النظرية ، للمعادلة

هناك مساواة:

1. س1 + س2 + س3 + س4 = - أ3 / أ4
2. س1 س2 + س1 س3 + س1 س4 + س2 س3 + س2 س4 + س3 س4 = أ2/أ4
3. * 1 * 2 * 3 + 1 * 2 * 4 + 1 * 3 * 4 + 2 * 3 * 4 = - أ1 / أ4
4. س1 س2 س3 س4 = أ0 / أ4

بالنسبة لمعادلة الدرجة الرابعة ، لدينا 4 مجاهيل ، مما يعني أننا بحاجة إلى 4 معادلات لإيجاد قيم المتغيرات وحل نظام المعادلات.

عند تحليل نظام المعادلات ، يمكن تطبيق طرق حل مختلفة ، مثل طريقة الاستبدال أو طريقة غاوس أو طريقة كرامر.

بعد حل نظام المعادلات ، يمكنك العثور على جميع قيم أ التي معادلة الدرجة الرابعة لها جذران مختلفان.

مثال:

يمكن أن نرى من المثال أنه بالنسبة لـ أ3 / أ4 = 6 ، سيتم العثور على القيم س1, س2, س3 و س4 ، والتي معادلة الدرجة الرابعة لها جذران مختلفان.

معادلة الدرجة الخامسة

معادلة الدرجة الخامسة هي أحد أنواع المعادلات الجبرية ولها الشكل العام:

أ5 س5 + أ4 س4 + أ3 س3 + أ2 س2 + أ1 س + أ0 = 0,

أين أ5, أ4, أ3, أ2, أ1 و أ0 هي معاملات المعادلة ، و س هو متغير غير معروف.

يمكن أن تحتوي معادلة الدرجة الخامسة على مجموعات مختلفة من قيم المعامل ، مما يؤثر على عدد وطبيعة جذور هذه المعادلة. بشكل عام ، كل معادلة من الدرجة الخامسة لها خمسة جذور ، والتي يمكن أن تكون أعدادا حقيقية أو معقدة.

من أجل العثور على جميع قيم أ التي معادلة الدرجة الخامسة لها جذران مختلفان ، من الضروري استخدام نظرية فيتا. وفقا لهذه النظرية ، فإن مجموع جذور معادلة الدرجة الخامسة هو صفر ، ومنتجها يساوي نسبة معامل المصطلح الحر إلى المعامل عند أعلى درجة.

وبالتالي ، من أجل إيجاد قيم أ التي معادلة الدرجة الخامسة لها جذران مختلفان ، من الضروري حل نظام المعادلات التالي:

{ أ1 + أ3 + أ5 = 0,