في الرياضيات ، يعني تكافؤ مجموعتين أنه يمكن إنشاء مراسلات لا لبس فيها بين هذه المجموعات. في هذه المقالة ، سننظر في إثبات تكافؤ الفواصل أ ب و ج د على خط مستقيم.
الفواصل الزمنية أ ب و ج د على خط مستقيم هي مجموعات فرعية من الأعداد الحقيقية تتكون من جميع الأرقام الموجودة بين أ و ب (ج و د ، على التوالي). يمكن أن تكون الفواصل الزمنية محدودة أو غير محدودة. ومع ذلك ، لإثبات التكافؤ ، لا يهمنا ما إذا كانت الفواصل الزمنية محدودة أم لا ، لأننا سنعمل حصريا مع حدودها.
لإثبات تكافؤ الفواصل أ ب و ج د على خط مستقيم ، سوف نستخدم طريقة بناء انحياز. التحيز هو رسم الخرائط التي هي على حد سواء حقن و سورجكتيون. أي أن كل عنصر في مجموعة واحدة يتوافق مع عنصر محدد بشكل لا لبس فيه لمجموعة أخرى.
أولا ، دعنا نحدد دالة تحدد النقطة أ إلى النقطة ج والنقطة ب إلى النقطة د. للقيام بذلك ، يمكننا استخدام الصيغة: و (س) = ج + (س-أ) * ((د-ج) / (ب — أ)).
نظهر أن هذه الوظيفة هي انحياز. للقيام بذلك ، نثبت أنه على حد سواء عن طريق الحقن والتخمين. تعني الحقن أنه سيتم تعيين عناصر مختلفة من المجموعة أ ب لعناصر مختلفة من المجموعة ج د. التخمينات تعني أن كل عنصر من عناصر المجموعة ج د سيكون له نموذج أولي خاص به في المجموعة أ ب.
وهكذا ، أثبتنا تكافؤ الفواصل أ ب و ج د على خط مستقيم باستخدام طريقة بناء انحياز. هذا يعني أنه يمكن إنشاء مراسلات فردية بين هذه الفواصل الزمنية ، وتحتوي على نفس العدد من العناصر. مثل هذا الدليل هو أداة مهمة لحل المشكلات المختلفة في الرياضيات والمجالات الأخرى المتعلقة بتحليل المساحات والوظائف.
- معادلة الفواصل الزمنية وطولها
- هناك انحرافات بين الفواصل الزمنية
- مثال على انحياز لإثبات تكافؤ الفواصل الزمنية
- سؤال وجواب
- كيف يمكننا إثبات تكافؤ الفواصل الزمنية على خط مستقيم?
- ما هي الفواصل الزمنية على خط مستقيم وكيف يتم تعيينها?
- كيف يمكننا إثبات تكافؤ الفواصل أ ب و ج د?
- كيف يمكنني تعيين انحياز بين فترات على خط مستقيم?
- إذا فترتين على خط رقمي لها أطوال مختلفة, يمكن أن تكون قوية على قدم المساواة?
معادلة الفواصل الزمنية وطولها
يمكن إجراء إثبات تكافؤ الفواصل الزمنية أ ب و ج د على خط مستقيم من خلال إنشاء انحياز بين هذه الفواصل الزمنية. و انحياز هو رسم الخرائط بين مجموعتين التي هي على حد سواء الحقن و سورجكتيون.
في هذه الحالة ، يمكننا إنشاء انحياز بين الفصلين أ ب و ج د على النحو التالي:
- دعونا نختار النقاط التعسفية أ و ج ينتمون إلى الفواصل أ ب و ج د ، على التوالي.
- لنرسم خطا مستقيما عبر النقطتين أ و ج.
- لنجد نقطة د على هذا الخط بحيث يكون المقطع ج د له نفس طول المقطع أ ب.
الآن أنشأنا انحيازا بين الفصلين أ ب و ج د ، مما يعني مكافأتهما. بمعنى آخر ، هناك تطابق واحد لواحد بين هذه الفواصل الزمنية ، حيث تتوافق كل نقطة من الفاصل الزمني أ ب مع نقطة واحدة من الفاصل الزمني ج د والعكس صحيح.
يمكن حساب طول الفاصل الزمني على أنه الفرق بين قيم نقاط النهاية الخاصة به. في هذه الحالة ، طول الفاصل الزمني أ ب هو |ب — أ| ، وطول الفاصل الزمني ج د هو |د — ج|. وبما أننا أنشأنا تكافؤ الفواصل الزمنية ، فإن أطوالها متساوية أيضا.
وبالتالي ، فإن فترات الطاقة المتساوية على خط مستقيم لها نفس الطول. يمكن استخدام هذه الخاصية لحل المشكلات المتعلقة بالنقاط المتساوية ، ومقارنة أطوال الفواصل الزمنية المختلفة ، والمشاكل الهندسية الأخرى.
هناك انحرافات بين الفواصل الزمنية
لإثبات تكافؤ الفواصل الزمنية [[أ ، ب] and و c[ج ، د]] على خط مستقيم ، من الضروري بناء انحياز بينهما. الانحراف هو مراسلات يتوافق فيها كل عنصر من عناصر مجموعة واحدة مع عنصر واحد بالضبط من مجموعة أخرى ، والعكس صحيح.
لإنشاء انحياز بين الفواصل الزمنية ، يمكننا استخدام الخوارزمية التالية:
- العثور على الفرق d د-ج difference والفرق b ب-أ a.
- دعونا نقسم كلا الاختلافين إلى أصغر منهما.
- نحصل على معاملات التحويل:
| الفاصل الزمني | الفرق | النسبة |
|---|---|---|
| c [ج ، د]] | d دي-سي$ | k ك_1 = \ فارك{د-ج} {\دقيقة (د-ج ، ب-أ)}} |
| a [أ ، ب]] | b ب-أ$ | k ك_2 = \ فارك{ب-أ} {\دقيقة (د-ج ، ب-أ)}} |
الآن يمكننا بناء انحياز:
- لكل عنصر $x$ من الفاصل $[c, d]$ مقارنة بين عنصر $y$ من الفاصل $[a, b]$ على النحو التالي:
- أوجد الفرق-س-ج - واضربه في المعامل-ك_2$.
- أضف القيمة الناتجة إلى a أ$.
- وهكذا نحصل على العنصر y ص = أ + ك_2 \ سدوت (س — ج)$.
- لكل عنصر $y$ من الفاصل $[a, b]$ مقارنة بين عنصر $x$ من الفاصل $[c, d]$ على النحو التالي:
- أوجد الفرق y ص-أ and واضربه في المعامل k ك_1$.
- أضف القيمة الناتجة إلى c ج c.
- وهكذا نحصل على العنصر x س = ج + ك_1 \ سدوت (ص-أ)$.
وهكذا ، قمنا ببناء تطابق واحد لواحد بين عناصر الفاصل الزمني c [ج ، د] elements وعناصر الفاصل الزمني [[أ ، ب]] ، مما يعني أن هذه الفترات متساوية في القوة.
مثال على انحياز لإثبات تكافؤ الفواصل الزمنية
لإثبات تكافؤ الفواصل الزمنية [أ ، ب] و [ج ، د] على خط مستقيم ، من الضروري بناء انحياز ، أي إنشاء تطابق واحد لواحد بين عناصر الفترتين.
قد يكون أحد الأمثلة على التحيز لإثبات تكافؤ الفواصل الزمنية كما يلي:
- لنفترض أن الفواصل الزمنية [أ ، ب] و [ج ، د] لها طول محدود.
- ضع في اعتبارك الوظيفة و (س) ، التي تحدد عناصر الفاصل الزمني [أ ، ب] لعناصر الفاصل الزمني [ج ، د].
- وظيفة و (خ) يمكن تعريفها على النحو التالي:
| عنصر الفاصل الزمني [أ ، ب] | عنصر الفاصل الزمني [ج ، د] |
|---|---|
| a | c |
| b | d |
| أي قيمة س في الفاصل الزمني (أ ، ب) | نفس قيمة ص في الفاصل الزمني (ج ، د) ، والتي تقع على الخط الفاصل بين ج و د |
وهكذا ، فإن وظيفة و(س) ينشئ توافقا فرديا بين عناصر الفواصل الزمنية [أ ، ب] و [ج ، د] ، مما يسمح لنا باستنتاج أنها قوية بنفس القدر.
لتعميم هذا المثال على الحالة التي يكون فيها الفواصل الزمنية [أ ، ب] و [ج ، د] لها طول لا نهائي ، يمكن استخدام فكرة مماثلة ، باستخدام ، على سبيل المثال ، انحياز بين الفاصل الزمني [0 ، 1] والفاصل الزمني [أ ، ب].
سؤال وجواب
كيف يمكننا إثبات تكافؤ الفواصل الزمنية على خط مستقيم?
يمكن إجراء إثبات تكافؤ الفواصل الزمنية على خط مستقيم من خلال إنشاء انحياز بينهما. أي أنه من الضروري إظهار أنه من الممكن إنشاء مثل هذه المراسلات الفردية بين عناصر كل فاصل زمني ، حيث يتوافق عنصر واحد فقط من الفاصل الزمني الآخر مع كل عنصر في فاصل زمني واحد.
ما هي الفواصل الزمنية على خط مستقيم وكيف يتم تعيينها?
الفواصل الزمنية على خط مستقيم هي أجزاء من خط رقمي بين نقطتين. يتم تعيينها باستخدام رقمين-بداية ونهاية الفاصل الزمني ، ويشار إليها باسم أ و ب. يمكن تمثيل الفواصل الزمنية كقطاعات على سطر رقمي.
كيف يمكننا إثبات تكافؤ الفواصل أ ب و ج د?
لإثبات تكافؤ الفواصل الزمنية أ ب و ج د ، من الضروري بناء انحياز بينهما. هذا يعني أنك بحاجة إلى إنشاء مراسلات فردية بين عناصر كل فاصل زمني ، بحيث يتوافق عنصر واحد فقط من الفاصل الزمني الآخر مع كل عنصر في فاصل زمني واحد. باستخدام مثل هذا التحيز ، يمكن إثبات أن كلا الفصلين لهما نفس العدد من العناصر ، وبالتالي ، لهما نفس القوة.
كيف يمكنني تعيين انحياز بين فترات على خط مستقيم?
لإنشاء انحياز بين الفواصل الزمنية على خط مستقيم ، من الضروري العثور على وظيفة تترجم عناصر فاصل زمني واحد إلى عناصر فاصل زمني آخر. على سبيل المثال ، يمكنك استخدام تحويل خطي لتحويل الفاصل الزمني أ ب إلى الفاصل الزمني ج د. إذا أ و ج هي بدايات الفواصل الزمنية ، و ب و د هي نهاياتها ، ثم يمكنك استخدام الوظيفة و (س) = ج + (س — أ) * (د — ج) / (ب — أ) ، والتي ستترجم كل عنصر س من الفاصل الزمني أ ب إلى العنصر المقابل و (س) في النطاق ج د.
إذا فترتين على خط رقمي لها أطوال مختلفة, يمكن أن تكون قوية على قدم المساواة?
لا ، لا يمكن أن تكون فترتان على خط رقمي بأطوال مختلفة بنفس القوة. التكافؤ يعني أن مجموعتين لهما نفس عدد العناصر. نظرا لأن طول الفاصل الزمني يحدد عدد العناصر ، فلا يمكن أن تكون قوية بنفس القدر إلا إذا كان لها نفس الطول.