الوسيط عبارة عن مقطع خط مستقيم يربط رأس المثلث بمنتصف الجانب المقابل. في الهندسة ، تتمتع المتوسطات بالعديد من الخصائص المثيرة للاهتمام وهي أهداف لدراسة العديد من النظريات. في هذه المقالة ، سننظر في إحدى هذه النظريات ونثبت ذلك.
النظرية: الخط المستقيم الذي يمر عبر منتصف ضلعي المثلث مواز للجانب الثالث وهو الوسيط.
لإثبات هذه النظرية ، والنظر في مثلث التعسفي أبك ووضع علامة على نقاط المنتصف من الجانبين أب و أس. دع نقاط نقاط المنتصف للجانبين أب و أس يتم الإشارة إليها على أنها د و ه ، على التوالي.
بادئ ذي بدء ، لاحظ أنه بحكم التعريف ، فإن نقاط المنتصف من الجانبين تقسمها إلى قسمين متساويين. وبالتالي ، فإن شرائح الإعلان والقرص المضغوط متساوية مع بعضها البعض ، وشرائح إ و سي متساوية أيضا. ويترتب على ذلك أن المثلث هو متساوي الساقين.
- الصيغة المتوسطة وخصائصها
- ما هو الوسيط?
- دليل هندسي
- دليل جبري
- سؤال وجواب
- كيف يمكنني إثبات أن الخط المستقيم الذي يمر عبر نقاط المنتصف هو الوسيط?
- أحتاج إلى إثبات أن الخط المستقيم الذي يمر عبر نقاط المنتصف في جوانب المثلث هو الوسيط. هل يمكنك المساعدة?
الصيغة المتوسطة وخصائصها
الوسيط هو الجزء الذي يربط رأس المثلث إلى منتصف الجانب الآخر. تحتوي صيغة حساب الوسيط على الشكل التالي:
|
|
|
خصائص متوسطات المثلث:
- تتقاطع جميع متوسطات المثلث عند نقطة واحدة تسمى مركز ثقل المثلث.
- يقسم كل وسيط الجانب المقابل للمثلث إلى نصفين.
- الوسيط هو ارتفاع المثلث وهو عمودي على الجانب المقابل.
- الجزء الذي يربط رأس المثلث بمنتصف الجانب المقابل يساوي نصف قطري متوازي الأضلاع المبني على هذا الجانب.
- تقسم المتوسطات المثلث إلى ستة مثلثات متساوية.
- المتوسطات هي محور تناظر المثلث.
باستخدام خصائص المتوسطات ، يمكن إثبات أن الخط المستقيم الذي يمر عبر نقاط المنتصف في جوانب المثلث هو متوسط المثلث.
ما هو الوسيط?
الوسيط هو خط خاص متصل بمثلث. يربط واحدة من رؤوس المثلث مع منتصف الجانب الآخر. في المثلث القائم الزاوية ، الوسيط هو أيضا الارتفاع والوسيط فوق الوتر.
بالنسبة للموضوع قيد النظر ، يمر الوسيط عبر نقاط المنتصف للأضلاع الثلاثة للمثلث ، والمعروف أيضا باسم متوسط المثلث الوحدوي. إنها حالة خاصة من الوسيط ويتم تنفيذها لأي مثلث.
بمعنى آخر ، الوسيط هو خط يقسم ضلع المثلث إلى نصفين ، يبدأ من أحد الرؤوس وينتهي في منتصف الضلع المقابل. وهكذا ، يقسم الوسيط الجانب إلى قسمين متساويين.
المتوسطات مثيرة للاهتمام لأنها تتقاطع عند نقطة واحدة تسمى مركز كتلة المثلث أو نقطة تقاطع المتوسطات. هذا يعني أن المتوسطات الثلاثة تتقاطع عند نقطة واحدة ، وهي نقطة توازن المثلث.
تحتوي المتوسطات أيضا على عدد من الخصائص المثيرة للاهتمام ، بما في ذلك أنها تقسم المثلث إلى ستة مثلثات متساوية بنفس المنطقة.
وبالتالي ، فإن الوسيط هو عنصر مهم في المثلث ، والذي يحتوي على عدد من الخصائص الفريدة ويوجد في كل مثلث.
دليل هندسي
لإثبات أن الخط المستقيم الذي يمر عبر نقاط المنتصف لأضلاع المثلث هو الوسيط ، ضع في اعتبارك المخطط التالي.
- لنفترض أن لدينا مثلث أبك ، مع نقاط المنتصف من الجانبين م ، ن و ص على التوالي.
- دعونا رسم خط مستقيم يربط بين نقاط المنتصف من الجانبين أب و قبل الميلاد ، ودلالة على نقطة تقاطعها كما س.
دعونا نثبت أن الخط شم هو متوسط المثلث أبك.
- دليل على عكس ذلك: افترض أن خط شم ليس الوسيط. نظرا لأن الوسيط يقسم الضلع إلى جزأين متساويين ، فهذا يعني أن النقطة س ليست منتصف التيار المتردد الجانبي.
- لاحظ أن مثلثات زاب و زبك متشابهة. للقيام بذلك ، يمكنك استخدام اثنين من خصائص مثلثات مماثلة:
- زاوية زاب تساوي زاوية زبك ، لأنها زوايا عمودية.
- زاوية أبكس يساوي زاوية بسكس ، لأنها هي الزوايا المقابلة عندما زوايا أبك و باك متساوية.
- وهكذا ، فإن مثلثات زاب و زبك متشابهة في زاويتين ، مما يعني أن الجانبين متناسبة.
- نظرا لأن النقطة س ليست منتصف جانب التيار المتردد ، فإن الخطوط أماه و تجربة العملاء ليست متناسبة.
- ومع ذلك ، منذ م هو منتصف الجانب أب و ص هو منتصف الجانب أس ، النائب على التوالي يقسم مثلث أبك في النصف. هذا يعني أن خط النائب هو متوسط مثلث أبك.
- ولكن بما أنه ، وفقا للافتراض ، فإن خط شم ليس الوسيط ، فقد تبين أنه تناقض.
- وهكذا ، كان افتراضنا غير صحيح ، وخط شم هو متوسط مثلث أبك.
إذن ، لقد أثبتنا أن الخط المستقيم الذي يمر عبر نقطتي منتصف ضلعي المثلث هو الوسيط. يسمح لنا هذا الدليل الهندسي برؤية أن الوسيط يقسم ضلع المثلث إلى جزأين متساويين.
دليل جبري
لإثبات أن الخط المستقيم الذي يمر عبر نقاط المنتصف لأضلاع المثلث هو الوسيط ، ضع في اعتبارك الخط المستقيم وعلاقته بجوانب المثلث.
دعونا نعطي مثلث أبك ، مستقيم دي الوسيط الذي يمر عبر نقاط المنتصف من الجانبين أب و أس. دعونا نشير إلى نقطة تقاطع الوسيط مع الجانب أب كما و ، ونقطة تقاطع الوسيط مع الجانب أس كما جي.
بما أن النقطة د هي منتصف الجانب أب ، يمكننا القول ذلك:
- م = دينار بحريني (حسب تعريف الوسط)
- دف = إف (حسب تعريف الوسيط)
وبالمثل ، نظرا لأن النقطة هـ هي منتصف جانب التيار المتردد ، إذن:
- عبد اللطيف = م (حسب تعريف الوسط)
- على سبيل المثال = فغ (حسب تعريف الوسيط)
النظر في علاقات الجانبين من مثلث أبك. بحكم تعريف الوسيط ، يقسم الوسيط ضلع المثلث إلى جزأين متساويين. وبالتالي ، يمكن كتابة المساواة التالية:
| م = دينار بحريني | (1) |
| عبد اللطيف = م | (2) |
| دف = إف | (3) |
| على سبيل المثال = فغ | (4) |
الآن دعونا ننظر في خط مستقيم دي والتعبير عن العلاقات بين جانبي المثلث من خلال هذه المساواة. للقيام بذلك ، رسم خط مستقيم دغ والنظر في مثلثات أدف و كدغ:
- في المثلث أدف لدينا:
- م = دف (بواسطة (1) و (3))
- عبد اللطيف = م (بواسطة (2))
- في المثلث سدغ لدينا:
- مدافع = على سبيل المثال (بواسطة (3) و (4))
- م = عبد اللطيف (بواسطة (2))
من هاتين المساواتين ، يمكن استنتاج أن المثلث أدف يساوي المثلث كدغ في الجانب الجانب الجانب (وفقا لنظرية المساواة من المثلثات).
وهكذا ، فإن قطاعات أف و سغ متساوية مع بعضها البعض ، لأنها هي الجانبين المقابلة من مثلثات متساوية.
هذا يعني أن الخط المستقيم دي يمر عبر نقاط المنتصف للجانبين أب و أس يمر أيضا عبر نقطة تقاطع المتوسطين صباحا و بن من المثلث اي بي سي ، أين م و ن هي نقاط المنتصف للجانبين أس و قبل الميلاد ، على التوالي.
وبالتالي ، فإن الدليل الجبري على أن الخط المستقيم الذي يمر عبر نقاط المنتصف لأضلاع المثلث هو وسيط هو دليل على المساواة في نسب أطوال أضلاع المثلث ، بناء على تعريفات الوسط والوسيط.
سؤال وجواب
كيف يمكننا إثبات أن الخط المستقيم الذي يمر عبر الوسط هو الوسيط?
لإثبات هذه الحقيقة ، يمكنك استخدام طريقة تقسيم المثلث إلى مثلثين فرعيين متساويين. دعونا نعطي مثلث اي بي سي ، الخط المستقيم م يمر عبر نقاط المنتصف للجانبين أب و أس ويتقاطع قبل الميلاد عند النقطة د. دعونا نثبت أن مد هو متوسط المثلث أبك. لنأخذ النقطة ه-منتصف جانب قبل الميلاد. منذ م يقسم الجانب أب في النصف ، ثم أنا = ميغابايت . وبالمثل ، منذ م يقسم جانب التيار المتردد إلى النصف ، ثم صباحا = مولودية. من هذين المساواة يتبع ذلك أنا = ميغابايت = مولودية. أيضا ، منذ ه هو منتصف الجانب قبل الميلاد ، ثم يكون = المفوضية الأوروبية . دعونا الجمع بين هذه المساواة: آم = ميغابايت = مولودية و يكون = إيك. باستخدام اثنين من مثلثات متساوي الساقين أمب و سم ، يمكن إثبات أن مثلثات أمد و كمد متساوية على جانب مد والزاوية المشتركة أدم = آلية التنمية النظيفة ، وهو ما يعني زاوية مدك = مدا. منذ زاوية مدك = مدا والجانب مولودية = صباحا ، ثم من خلال خاصية متوسط المثلث مد هو متوسط المثلث أبك.
أحتاج إلى إثبات أن الخط المستقيم الذي يمر عبر نقاط المنتصف في جوانب المثلث هو الوسيط. هل يمكنك أن تساعدني؟
بالطبع! لإثبات أن الخط المستقيم الذي يمر عبر نقاط منتصف جوانب المثلث هو الوسيط ، خذ المثلث أبك والخط المستقيم الذي يمر عبر نقاط منتصف الجانبين أب و أس. دعنا نشير إلى منتصف جانب أب على أنه م1 ووسط جانب التيار المتردد على أنه م2. الآن رسم خط مستقيم م1م2 والسماح لها تتقاطع الجانب قبل الميلاد في النقطة د. تحتاج إلى إثبات أن مد هو متوسط المثلث أبك. للقيام بذلك ، استخدم خصائص عمودي نقطة الوسط والمثلثات التي تم الحصول عليها عن طريق تقسيم مثلث أبك إلى اثنين من المثلثات الفرعية متساوية. مقارنة الجانبين المقابلة وزوايا المثلثات وتبين أن مد يقسم الجانب قبل الميلاد في النصف ، وزاوية مدا = مدك. وبالتالي ، فإن الخط المستقيم الذي يمر عبر نقاط المنتصف في جوانب المثلث هو الوسيط.