غالبا ما تنشأ التعبيرات الرياضية عند حل المشكلات ، وقد تكون إحدى المهام هي تحديد أصغر قيمة معلمة يكون فيها التعبير ضئيلا. في هذه المشكلة ، من الضروري العثور على القيمة أ التي يكون فيها التعبير س^2-4 س + 2 أ سيكون لها قيمة دنيا.
بادئ ذي بدء ، ضع في اعتبارك التعبير س^2-4 س + 2 أ كدالة للمتغير س. تحتوي هذه الوظيفة على نقاط قصوى حيث تكون قيمتها ضئيلة أو قصوى. في هذه الحالة ، تتمثل المهمة في العثور على أصغر قيمة ، لذلك سنبحث عن الحد الأدنى.
لإيجاد أقصى الدالة ، نستخدم المشتق. دعونا العثور على مشتق من وظيفة فيما يتعلق المتغير س: و'(س) = 2س — 4.
لنجد الآن النقاط التي يكون فيها المشتق صفرا: 2 س — 4 = 0. حل هذه المعادلة ، نحصل على س = 2.
الآن استبدال القيمة التي تم العثور عليها من س في التعبير الأصلي: و(2) = 2^2 — 4*2 + 2 أ = 4 — 8 + 2 أ = 2 أ-4.
وبالتالي ، يتم تقليل المهمة إلى تحديد أصغر قيمة للمتغير معلمة ، حيث يكون التعبير 2 أ - 4 ضئيلا. من الواضح ، يتم الوصول إلى هذه القيمة عندما = 2 ، ثم التعبير سيكون 0.
- ما هي أصغر قيمة من حيث التعبير س^2-4س + 2أ هو الحد الأدنى?
- تعريف وصيغة التعبير
- الرسم البياني والتحليل
- العثور على أصغر قيمة ل
- أمثلة على الحلول
- تحسين التعبير
- التطبيق العملي
- سؤال وجواب
- لماذا هو ضروري للعثور على أصغر قيمة ل?
- كيف يمكنني العثور على أصغر قيمة ل?
- كيف يمكنني تطبيق طريقة إكمال مربع للعثور على أصغر قيمة ل?
- كيفية استخدام حساب التفاضل لإيجاد أصغر قيمة ل?
- هل من الممكن العثور على أصغر قيمة بيانيا?
ما هي أصغر قيمة من حيث التعبير س^2-4س + 2أ هو الحد الأدنى?
أصغر قيمة أ هي قيمة المتغير الذي عنده التعبير س^2-4 س + 2 أ يأخذ الحد الأدنى لقيمته. لتحديد أصغر قيمة ، نحتاج إلى إيجاد رأس القطع المكافئ المعطى بواسطة هذا التعبير.
التعبير س^2-4 س + 2 أ هو مربع ثلاثي الحدود. للعثور على رأس القطع المكافئ ، من الضروري إيجاد إحداثيات النقطة التي يصل عندها القطع المكافئ إلى الحد الأدنى أو الأقصى.
صيغة رأس القطع المكافئ لها الشكل:
- س = - ب/(2 أ)
- ص = و (خ) = - د / (4 أ)
أين (س ، ص) هي إحداثيات رأس القطع المكافئ ، أ ، ب ، ج هي معاملات ثلاثي الحدود المربع ، د هو المميز.
في هذه الحالة ، المعادلة س^2-4 س + 2 أ يمكن كتابتها كـ و (س) = س^2-4 س + 2 أ. وفقا لذلك ، لدينا أ = 2 أ ، ب = -4 و ج = 0.
من أجل العثور على رأس القطع المكافئ ، من الضروري إيجاد قيمة المتغير س باستخدام الصيغة س = -ب/(2 أ). استبدال القيم في الصيغة ، نحصل على:
| الصيغة | القيمة |
|---|---|
| من العاشر = -(-4)/(2*2) | س = 1 |
| واو (خ) = 1^2 — 4*1 + 2 ألف | و (خ) = 1 - 4 + 2 أ = -3 + 2 أ |
وبالتالي ، فإن أصغر قيمة أ ستكون من النوع الذي و (س) يأخذ الحد الأدنى للقيمة. للقيام بذلك ، من الضروري أن يكون -3 + 2 أ في حده الأدنى. ومع ذلك ، نظرا لأن 2 أ موجب ، فإن قيمة و(س) ستكون الأصغر عندما تكون قيمة -3 + 2 أ صفرا.
وبالتالي ، فإن أصغر قيمة أ ، حيث يكون التعبير س^2-4 س + 2 أ هو الحد الأدنى ، يساوي أ = 3/2.
تعريف وصيغة التعبير
التعبير س^2-4 س + 2 أ يصف مربع ثلاثي الحدود مع المتغير س و المعلمة أ. في هذا السياق ، يتم استخدام التعبير لتحديد أصغر قيمة للمعلمة أ ، حيث يكون التعبير ضئيلا.
الصيغة التي يمكن من خلالها العثور على هذه القيمة الأصغر لـ أ تسمى صيغة إيجاد رأس القطع المكافئ.
بشكل عام ، بالنسبة لمربع ثلاثي الحدود من النموذج فأس^2 + ب + ج ، يمكن العثور على رأس القطع المكافئ باستخدام الصيغة:
| x | = | - \فارك {ب}{2 أ} |
| y | = | و (خ) = فأس^2 + بكس + ج |
دعونا نطبق هذه الصيغة على تعبيرنا س^2-4 س + 2 أ. هنا أ = 2 و ب = -4. استبدل هذه القيم في الصيغة:
| x | = | - \فارك{-4}{2 \ مرات 1} |
| x | = | 2 |
وبالتالي ، فإن رأس القطع المكافئ سيكون له إحداثيات(2 ، و (2)). لإيجاد الحد الأدنى لقيمة التعبير عند رأس معين ، استبدل س = 2 في التعبير الأولي:
| واو (2) | = | 2^2-4 \ مرات 2 + 2 أ |
| واو (2) | = | 4 - 8 + 2 أ |
| واو (2) | = | -4 + 2 أ |
الآن ، لإيجاد أصغر قيمة للتعبير ، تحتاج إلى إيجاد الحد الأدنى لقيمة أ. للقيام بذلك ، نساوي -4 + 2 أ إلى الصفر ونحل المعادلة:
| -4 + 2 أ | = | 0 |
| 2 ألف | = | 4 |
| a | = | 2 |
وبالتالي ، فإن أصغر قيمة للمعلمة أ ، حيث يكون التعبير س^2-4 س + 2 أ هو الحد الأدنى ، هو 2.
الرسم البياني والتحليل
لحل المشكلة والعثور على أصغر قيمة أ ، حيث يصل التعبير س^2-4 س + 2 أ إلى الحد الأدنى ، دعنا نحلل الرسم البياني الخاص به.
الرسم البياني لهذا التعبير هو القطع المكافئ ، لأن معامل لأعلى مصطلح (س^2) هو إيجابي. ويترتب على ذلك أن القطع المكافئ يفتح.
لتحديد أصغر قيمة ، تحتاج إلى العثور على قمة القطع المكافئ. يقع رأس القطع المكافئ عند النقطة ذات الإحداثيات (ص, ف) ، أين ص هو خراج الرأس و ف هو تنسيق الرأس.
في حالتنا ، لإيجاد رأس القطع المكافئ ، نستخدم الصيغة:
ع = - ب / 2 أ
أين أ, ب و ج هي معاملات هذا التعبير. في حالتنا ، أ = 1 ، ب = -4.
استبدل قيم المعاملات في الصيغة:
ع = - (-4) / 2*1
ع = 4/2
ع = 2
وبالتالي ، فإن الخراج من قمة الرأس من القطع المكافئ هو 2.
لتحديد تنسيق الرأس ، استبدل قيمة الإحداثي السيني في التعبير الأصلي:
ذ = (2)^2 — 4*(2) + 2 ألف
ص = 4 - 8 + 2 أ
تنسيق الرأس هو قيمة التعبير عند الإحداثي السيني للرأس. نظرا لأننا نريد أن يكون التعبير ضئيلا ، فنحن بحاجة إلى أن يكون مساويا للقيمة الدنيا.
وبالتالي ، فإن الحد الأدنى لقيمة التعبير هو:
ص = 4-8 + 2 دقيقة
لإيجاد أصغر قيمة لـ أ ، اضبط قيمة التعبير على 0 وحل المعادلة:
0 = 4-8 + 2 دقيقة
2 دقيقة = 8-4
2 دقيقة = 4
دقيقة = 2
وبالتالي ، فإن أصغر قيمة أ ، حيث يكون التعبير س^2-4 س + 2 أ هو الحد الأدنى ، هو 2.
العثور على أصغر قيمة ل
للعثور على أصغر قيمة أ في التعبير س^2-4 س + 2 أ ، حيث سيكون التعبير ضئيلا ، من الضروري استخدام نهج من التحليل الرياضي ، أي العثور على الحد الأدنى من الوظيفة.
التعبير س^2-4 س + 2 أ هو قطع مكافئ يمكن كتابته على شكل مربع ثلاثي الحدود.
للعثور على الحد الأدنى من الوظيفة ، يمكنك استخدام المشتق. أوجد مشتق التعبير س^2-4 س + 2 أ:
و ' (س) = 2 س-4
للعثور على الحد الأقصى (الحد الأقصى أو الحد الأدنى) للدالة ، من الضروري إيجاد النقاط التي يكون فيها المشتق صفرا.
مساواة المشتق إلى الصفر وحل المعادلة:
2 س - 4 = 0
من هذه المعادلة نحصل على:
س = 2
الآن ، للعثور على قيمة أ ، استبدل القيمة التي تم العثور عليها س في الوظيفة الأصلية:
واو(2) = 2^2 — 4*2 + 2 ألف
للعثور على أصغر قيمة أ ، من الضروري إيجاد الحد الأدنى لقيمة الوظيفة و(2). يتم الوصول إلى الحد الأدنى للدالة و(س) عند رأس القطع المكافئ ، لذلك نحتاج إلى إيجاد قيمة رأس القطع المكافئ. للقيام بذلك ، استخدم الصيغة:
س = - ب / (2 أ)
في حالتنا ، يساوي س إلى 2:
2 = -(-4) / (2*1)
بعد حساب هذا التعبير ، نحصل على:
أ = 2
وبالتالي ، فإن أصغر قيمة أ ، حيث يكون التعبير س^2-4 س + 2 أ هو الحد الأدنى ، هو 2.
أمثلة على الحلول
دعونا ننظر في بعض الأمثلة على حل مشكلة العثور على أصغر قيمة من أ ، حيث التعبير س^2-4 س + 2 أ سيكون الحد الأدنى.
دع أ = 0.
ثم يأخذ التعبير شكل س^2-4 س + 0.
فتح الأقواس والحصول على: س^2-4 س.
هذا التعبير المربع له شكل القطع المكافئ ، الذي يكون رأسه عند النقطة س = 2 والقيمة هي -4.
وبالتالي ، بالنسبة إلى أ = 0 ، ستكون قيمة التعبير ضئيلة وتساوي -4.
دع أ = 1.
ثم يأخذ التعبير شكل س^2-4 س + 2.
فتح الأقواس والحصول على: س^2-4 س + 2.
هذا التعبير المربع له شكل القطع المكافئ ، الذي يكون رأسه عند النقطة س = 2 والقيمة هي -2.
وبالتالي ، مع = 1 ، ستكون قيمة التعبير ضئيلة وتساوي -2.
دع أ = -1.
ثم يأخذ التعبير شكل س^2-4 س-2.
فتح الأقواس والحصول على: س^2-4 س-2.
هذا التعبير المربع له شكل القطع المكافئ ، الذي يكون رأسه عند النقطة س = 2 والقيمة هي -6.
وبالتالي ، مع أ = -1 ، ستكون قيمة التعبير ضئيلة وتساوي -6.
يمكن أن نرى من الأمثلة أن قيمة التعبير س^2-4 س + 2 أ سيكون الحد الأدنى للقيم المختلفة للمعلمة أ. هذا يعني أن أصغر قيمة لـ أ يعتمد على التعبير المربع الأصلي.
تحسين التعبير
لنفكر في التعبير س^2-4 س + 2 أ ونرى كيف يمكننا إيجاد أصغر قيمة لـ أ ، حيث سيكون التعبير ضئيلا.
بادئ ذي بدء ، لاحظ أن هذا التعبير هو القطع المكافئ ، لأن أعلى مصطلح له معامل في س^2 بخلاف الصفر. سوف يتفرع القطع المكافئ لأعلى ، لأن المعامل عند س^2 موجب.
من المعروف أن القطع المكافئ له رأس ، وهو نقطة الحد الأدنى أو الأقصى للدالة التي يمثلها. للعثور على إحداثيات هذا الرأس ، لاحظ أنه إذا كتبنا التعبير الأصلي في النموذج س^2-4 س + 2 أ = (س-2)^2 — 4 + 2 أ ، عندها يمكننا عزل المربع ثلاثي الحدود (س — 2)^2. ثم نحصل على أن التعبير الأصلي هو (س-2)^2-4 + 2 أ.
وبالتالي ، يمكن ملاحظة أن قمة القطع المكافئ ستكون مساوية لـ (2 ، -4 + 2 أ). إذا أردنا أن يكون التعبير س^2-4 س + 2 أ ضئيلا ، فنحن بحاجة إلى أن يكون مساويا لرأس القطع المكافئ.
بما أن المعامل قبل س^2 موجب ، فإن قمة القطع المكافئ ستكون النقطة الدنيا. لذلك ، يجب أن يتم اختياره بحيث يكون رأس القطع المكافئ أعلى من جميع النقاط الأخرى للقطع المكافئ.
أي أننا بحاجة إلى إيجاد أصغر قيمة لـ أ ، حيث يكون التعبير 2 أ أكبر من أو يساوي -4.
لنستبعد أن التعبير يمكن أن يأخذ قيما سالبة. في هذه الحالة ، سيكون رقم سالب. ولكن نظرا لضربها في رقم موجب 2 ، فإن النتيجة ستكون دائما سالبة ولا يمكن أبدا أن تكون أكبر من أو تساوي -4.
نظرا لأن 2 أ يجب أن يكون أكبر من أو يساوي -4 ، نحصل على أن أ يجب أن يكون أكبر من أو يساوي -2.
وبالتالي ، فإن أصغر قيمة أ ، حيث يكون التعبير س^2-4 س + 2 أ هو الحد الأدنى ، هو -2.
التطبيق العملي
تصغير التعبير س^2-4 س + 2 أ يمكن أن يكون لها تطبيقات عملية في مختلف المجالات ، على سبيل المثال:
- الرياضيات والفيزياء: عند حل مشاكل العثور على التطرف (الحد الأدنى أو الحد الأقصى) للوظائف ، التعبير س^2-4 س + 2 أ يمكن استخدامها لتحديد أصغر قيمة للمعلمة أ التي تصل عندها الوظيفة إلى الحد الأدنى.
- الاقتصاد: بالنسبة لعمليات النمذجة في الاقتصاد أو تقييم العوامل الاقتصادية ، يمكن تقليل التعبير س^2-4 س +2 أ لتحديد أدنى قيمة للمعلمة أ ، حيث يتم تحقيق الحالة المثلى أو أقل التكاليف.
- الهندسة: في المهام الهندسية المختلفة ، مثل تصميم النظام وتحسينه ، تقليل التعبير س^2-4 س+2 أ يمكن استخدامها لتحديد المعلمات المثلى للنظام أو المكونات التي تحقق الحد الأدنى من التكلفة أو أقصى أداء.
بشكل عام ، يمكن أن يكون تقليل التعبير س^2-4 س+ 2 أ مفيدا في العديد من المواقف المختلفة حيث يكون من الضروري تحديد أصغر قيمة للمعلمة أ من أجل تحقيق النتيجة المثلى أو تحديد المعلمات المثلى للنظام.
سؤال وجواب
لماذا هو ضروري للعثور على أصغر قيمة ل?
أصغر قيمة من أ يسمح لك بتحديد الحد الأدنى لقيمة التعبير س^2-4 س + 2 أ والعثور على الحد الأدنى للنقطة على الرسم البياني للدالة.
كيف يمكنني العثور على أصغر قيمة ل?
للعثور على أصغر قيمة أ ، من الضروري تطبيق طريقة إكمال المربعات أو حساب التفاضل والتكامل ، مما سيسمح لك بإيجاد معامل عند س يكون فيه التعبير س^2-4 س + 2 أ سيكون ضئيلا.
كيف يمكنني تطبيق طريقة إكمال مربع للعثور على أصغر قيمة ل?
لتطبيق طريقة إكمال المربع ، من الضروري إعادة كتابة التعبير س^2-4 س + 2 أ كمجموع مربعات تعبيرين وإيجاد المعامل أ الذي سيكون فيه التعبير الناتج له قيمة دنيا.
كيفية استخدام حساب التفاضل لإيجاد أصغر قيمة ل?
لاستخدام حساب التفاضل والتكامل ، من الضروري أخذ مشتق التعبير س^2-4 س + 2 أ ومساواته بالصفر. ثم استبدل القيمة التي تم العثور عليها س في التعبير الأصلي وحساب قيمة أ ، حيث سيكون التعبير ضئيلا.
هل من الممكن العثور على أصغر قيمة بيانيا?
نعم ، للعثور على أصغر قيمة أ ، يمكنك استخدام الطريقة الرسومية عن طريق رسم رسم بياني للوظيفة ص = س^2-4 س + 2 أ وتحديد الحد الأدنى للنقطة. سيكون تنسيق هذه النقطة هو أصغر قيمة لـ أ.