التعيين عن طريق الحقن هو تعيين خاص بين المجموعات التي لها خصائص مهمة. إنه أحد المفاهيم في نظرية المجموعات ويترجم من اللاتينية على أنه"رسم خرائط محقون".
يختلف التعيين عن طريق الحقن في أن كل عنصر من عناصر مجموعة واحدة يرتبط بعنصر فريد من مجموعة أخرى. هذا يعني أنه لكل عنصر من مجموعة المصدر ، توجد قيمة مقابلة واحدة فقط في مجموعة الوجهة. بمعنى آخر ، لا يسمح التعيين عن طريق الحقن بالحالات التي يتوافق فيها عنصران مختلفان أو أكثر من مجموعة المصدر مع نفس العنصر من مجموعة الوجهة.
تستخدم التعيينات عن طريق الحقن على نطاق واسع في مختلف مجالات الرياضيات وعلوم الكمبيوتر. يلعبون دورا مهما في نظرية الرسم البياني والجبر الخطي والتشفير والرياضيات المنفصلة والتخصصات الأخرى. يمكن أن تكون أمثلة التعيينات عن طريق الحقن دالة تقوم بتعيين كل شخص إلى معرفه الفريد ، أو تعيين يقوم بتعيين كل حرف من الحروف الأبجدية إلى رقمه الترتيبي.
- تعريف رسم الخرائط عن طريق الحقن
- أمثلة على تعيينات الحقن
- خصائص الخرائط عن طريق الحقن
- رسم الخرائط عن طريق الحقن وقابلية الانعكاس
- رسم الخرائط عن طريق الحقن والعلاقة الأساسية لمجموعة
- رسم الخرائط عن طريق الحقن وعدم الغموض
- سؤال وجواب
- ما هو رسم الخرائط عن طريق الحقن?
- ما هي الأمثلة على تعيينات الحقن التي يمكن إعطاؤها?
- كيف يمكنني التحقق مما إذا كان التعيين عن طريق الحقن?
- يمكن أن يكون رسم الخرائط عن طريق الحقن لا رجعة فيه?
تعريف رسم الخرائط عن طريق الحقن
رسم الخرائط عن طريق الحقن هو أحد المفاهيم الأساسية في الرياضيات ويشير إلى نظرية الوظائف والخرائط. يسمى رسم الخرائط عن طريق الحقن أيضا لا لبس فيه أو الحقن.
يتم تعريف التعيين عن طريق الحقن على النحو التالي:
- يتم إعطاء مجموعتين غير فارغة أ و ب.
- رسم الخرائط و: أ B ب يسمى عن طريق الحقن إذا كان لأي عنصرين مختلفين أ1 و أ2 من أ ، شريطة أن و (أ1) = و (أ2) ، يتبع ذلك أ1=أ2.
بمعنى ، إذا تزامنت صورة عنصرين مختلفين من المجموعة أ في المجموعة ب ، فيجب أن تكون العناصر نفسها متساوية.
بيانيا ، يمكن تمثيل التعيين عن طريق الحقن على النحو التالي:
| A | B |
| أ1 | واو (ألف 1) |
| أ2 | واو (ألف 2) |
| … | … |
يتميز التعيين عن طريق الحقن بحقيقة أن كل عنصر من عناصر المجموعة أ له تعيين فريد في المجموعة ب ، أي أنه لا يمكن لأي عنصر من عناصر المجموعة أ أن يكون له نفس الصورة في المجموعة ب.
للتلخيص ، التعيين عن طريق الحقن هو مثل هذا التعيين الذي يتوافق فيه كل عنصر من المجموعة أ مع عنصر فريد من المجموعة ب ، والعكس صحيح ، لا يمكن أن يكون لعنصرين مختلفين من المجموعة أ نفس التعيين في المجموعة ب.
أمثلة على تعيينات الحقن
يسمح التعيين عن طريق الحقن ، المعروف أيضا باسم التعيين أو الحقن الذي لا لبس فيه ، لكل عنصر من عناصر مجموعة المصدر بالتوافق مع عنصر واحد من مجموعة الوجهة. فيما يلي بعض الأمثلة على التعيينات عن طريق الحقن:
تعيين مجموعة من الأعداد الطبيعية لأنفسهم: السماح لتكون مجموعة من الأعداد الطبيعية. رسم الخرائط و: أ A أ ، يعرف بأنه و (س) = س ، هو عن طريق الحقن. يحتوي كل رقم طبيعي على صورة أولية واحدة فقط ، ولا يوجد رقمان طبيعيان مختلفان لهما نفس الصورة الأولية.
تعيين مجموعة من الأعداد الصحيحة لأرقام زوجية: اسمحوا أ تكون مجموعة من جميع الأعداد الصحيحة ، و ب تكون مجموعة من جميع الأرقام الزوجية. رسم الخرائط ز: أ B ب ، يعرف باسم ز (س) = 2 س ، يكون عن طريق الحقن. لا يمكن أن يحتوي عددان صحيحان مختلفان على نفس الصورة المسبقة ، ولكل رقم زوجي صورة أولية واحدة فقط.
تعيين مجموعة من السلاسل لأطوالها: دع أ تكون مجموعة جميع السلاسل ، و ب تكون مجموعة جميع الأعداد الصحيحة غير السالبة. التعيين ح: أ B ب ، يعرف باسم ح (س) = طول السلسلة س ، يكون عن طريق الحقن. لا يمكن أن تحتوي السلاسل المختلفة على نفس الصورة المسبقة ، ولكل رقم غير سالب صورة مسبقة واحدة فقط.
توضح هذه الأمثلة أنه يمكن العثور على الخرائط عن طريق الحقن في سياقات مختلفة ولها مجموعة واسعة من التطبيقات في الرياضيات والمجالات الأخرى.
خصائص الخرائط عن طريق الحقن
التعيين عن طريق الحقن هو شكل خاص من الدالة يتوافق فيه كل عنصر من مجموعة واحدة مع عنصر فريد من مجموعة أخرى. يسمى التعيين عن طريق الحقن أيضا التضمين أو الحقن. رسم الخرائط و: أ B ب يسمى عن طريق الحقن إذا استوفى الخاصية التالية:
- كل عنصر من المجموعة أ له صورته الفريدة في المجموعة ب.
- لا يمكن أن يكون لعنصرين مختلفين من المجموعة أ نفس الصورة في المجموعة ب.
خصائص الخرائط عن طريق الحقن:
- لا توجد صور مطابقة: لا يمكن أن يحتوي التعيين عن طريق الحقن على عنصرين مختلفين من أ بنفس الصور في ب.
- صورة مجموعة ثانوية: لرسم الخرائط عن طريق الحقن و: أ B ب ، لا يمكن أن تكون صورة المجموعة الثانوية ب أكبر من أو تساوي مجموعتها الأساسية أ.
- التعيين العكسي: التعيين عن طريق الحقن له تعيين عكسي ، وهو دالة عكسية.
- مجموعة أساسية محدودة: إذا كانت المجموعة الأساسية أ محدودة ، فإن قوة صورتها في المجموعة ب لا تتجاوز قوة المجموعة أ.
- ممر فريد: كل عنصر من المجموعة ب له ممر فريد خاص به في المجموعة أ.
تعيينات الحقن لها خصائص تجعلها مفيدة في مختلف مجالات الرياضيات وعلوم الكمبيوتر. غالبا ما يتم استخدامها لحل المشكلات التي تتطلب البحث عن كائنات متطابقة أو طلب البيانات أو قياس الخصائص الفريدة.
رسم الخرائط عن طريق الحقن وقابلية الانعكاس
التعيين عن طريق الحقن هو تعيين يترجم كل عنصر من مجموعة إلى عنصر فريد من مجموعة أخرى. بمعنى آخر ، لا يرسل التعيين عن طريق الحقن عناصر مختلفة إلى نفس القيمة. إذا تم تعيين عنصر فريد من المجموعة أ لكل عنصر من المجموعة ب ، فيقال إن هذا التعيين ينتمي إلى فئة الخرائط عن طريق الحقن.
مثال:
لنفترض أن لدينا مجموعات = {1, 2, 3, 4} و ب = {أ ، ب ، ج ، د}. رسم الخرائط و: أ B ب على النحو التالي: و(1) = أ ، و ( 2) = ب ، و(3) = ج ، و(4) = د. هذا التعيين عن طريق الحقن ، لأن كل عنصر من المجموعة أ يتوافق مع عنصر فريد من المجموعة ب.
قابلية الانعكاس هي خاصية للعرض ، حيث يمكن استعادة القيم الأصلية للعناصر بشكل لا لبس فيه بعد تطبيقها على الشاشة. بمعنى آخر ، يمكن عكس التعيين إذا كان لكل عنصر من عناصر المجموعة ب عنصر واحد من المجموعة أ ، والذي ، بعد تطبيق التعيين ، سيكون مساويا لهذا العنصر من المجموعة ب.
بالنسبة لرسم الخرائط عن طريق الحقن ، يوجد تعيين عكسي يترجم كل عنصر من المجموعة ب إلى عنصر فريد من المجموعة أ. يشار إلى التعيين العكسي على أنه و -1. لرسم الخرائط عكس و ، و-1(و (س)) = س يتم تنفيذ أيضا لأي س من مجموعة أ.
مثال:
لنفترض أن لدينا مجموعات = {1, 2, 3, 4} و ب = {أ ، ب ، ج ، د}. رسم الخرائط و: أ B ب على النحو التالي: و (1) = أ ، و(2) = ب ، و(3) = ج ، و(4) = د. رسم الخرائط العكسي و-1: ب A أ سيبدو كما يلي: و-1(أ) = 1 ، و-1(ب) = 2 ، و-1(ج) = 3 ، و-1(د) = 4. أي عند تطبيق التعيين العكسي على أي عنصر من المجموعة ب ، سنحصل على عنصر واحد من المجموعة أ ، والذي بعد تطبيق التعيين الأصلي د سيعطينا العنصر الأصلي.
رسم الخرائط عن طريق الحقن والعلاقة الأساسية لمجموعة
ان التعيين عن طريق الحقن ، المعروف أيضا باسم التعيين أو الحقن الذي لا لبس فيه ، هو تعيين بين مجموعتين تقوم بتعيين كل عنصر من عناصر المجموعة الأولى إلى عنصر فريد في المجموعة الثانية. بمعنى آخر ، التعيين عن طريق الحقن هو تعيين يتوافق فيه كل عنصر من عناصر مجموعة المصدر مع عنصر واحد على الأكثر من المجموعة المستهدفة.
واحدة من الخصائص الهامة لرسم الخرائط عن طريق الحقن هو تأثيره على أصل المجموعات. أصل المجموعة هو مفهوم يحدد عدد العناصر في مجموعة معينة.
إذا كان هناك تعيين عن طريق الحقن من المجموعة أ إلى المجموعة ب ، فإن أصل المجموعة أ لا يتجاوز أصل المجموعة ب. هذا يعني أن قوة المجموعة أ قد تكون أقل من أو تساوي قوة المجموعة ب ، لكنها لا يمكن أن تكون أكبر.
هناك عدة طرق لإظهار أن قوة المجموعة أ لا تتجاوز قوة المجموعة ب:
- تقديم تعيين واضح عن طريق الحقن من أ إلى ب يعين كل عنصر من عناصر أ عنصر فريد من ب.
- لإنشاء خريطة ذاتية من أ إلى مجموعة فرعية من ب ، توضح أنه يمكن وضع أ في مراسلات فردية مع مجموعة فرعية من ب.
- استخدم نظرية كانتور-برنشتاين ، التي تنص على أنه إذا كانت هناك خريطة عن طريق الحقن من أ إلى ب وخريطة عن طريق الحقن من ب إلى أ ، فإن العناصر الأساسية لـ أ و ب متساوية.
تحتل الخرائط عن طريق الحقن مكانة مهمة في نظرية المجموعات والمنطق الرياضي ، لأنها تسمح لنا بتأسيس اتصال بين قدرات المجموعات وتصنيفها وفقا لدرجة اللانهاية.
رسم الخرائط عن طريق الحقن وعدم الغموض
التعيين عن طريق الحقن هو تعيين لمجموعة لا يتوافق فيها أكثر من عنصر واحد من مجموعة أخرى مع كل عنصر من مجموعة واحدة. إذا تحدثنا عن دالة في سياق المهمة ، فإن التعيين عن طريق الحقن يعني أن كل قيمة للوسيطة تتوافق مع قيمة واحدة للوظيفة.
خرائط الحقن لها خاصية مهمة-الغموض. هذا يعني أن هناك مراسلات فردية بين عناصر المجموعتين. أي أن كل عنصر من مجموعة يتوافق تماما مع عنصر واحد من مجموعة أخرى ، والعكس صحيح.
على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك التعيين و: أ -> ب ، حيث أ هي مجموعة الطلاب و ب هي مجموعة درجات الرياضيات الخاصة بهم. إذا كان هذا التعيين عن طريق الحقن ، فسيتم منح كل طالب درجة واحدة فقط ، ولن يتم منح أي طالب درجتين أو أكثر. وبالتالي ، في حالة التعيين عن طريق الحقن ، سيكون عدد العناصر في أ و ب هو نفسه ، وسيتوافق كل عنصر من أ مع عنصر واحد من ب.
يستخدم الغموض في رسم الخرائط عن طريق الحقن على نطاق واسع في مختلف مجالات العلوم والتكنولوجيا. على سبيل المثال ، في التشفير ، يتم استخدام وظائف الحقن لتشفير البيانات. تلعب الخرائط عن طريق الحقن أيضا دورا مهما في نظرية المجموعات وتحليل البيانات.
سؤال وجواب
ما هو رسم الخرائط عن طريق الحقن?
التعيين عن طريق الحقن هو تعيين لا يتوافق فيه أكثر من عنصر واحد من مجال القيم مع كل عنصر من مجال التعريف. بمعنى آخر ، يتوافق كل عنصر من عناصر منطقة التعريف مع عنصر فريد في منطقة القيمة.
ما هي الأمثلة على تعيينات الحقن التي يمكن إعطاؤها?
تتضمن أمثلة التعيينات عن طريق الحقن الوظيفة ص = س ، أين س و ص هي أرقام حقيقية ، وهي وظيفة تحدد كل شخص بمعرفه الفريد ، ووظيفة تنقل كل نقطة في الفضاء ثلاثي الأبعاد بمسافة ثابتة.
كيف يمكنني التحقق مما إذا كان التعيين عن طريق الحقن?
للتحقق مما إذا كان التعيين عن طريق الحقن ، من الضروري مقارنة صور العناصر المختلفة من منطقة التعريف. إذا كانت العناصر المختلفة لها صور مختلفة ، فإن التعيين يكون عن طريق الحقن. وبعبارة أخرى ، إذا لأي عنصرين مختلفين س1 و س2 من مجال تعريف و(س1) و(س2) هي أيضا مختلفة ، ثم رسم الخرائط عن طريق الحقن.
يمكن أن يكون رسم الخرائط عن طريق الحقن لا رجعة فيه?
نعم ، يمكن أن يكون رسم الخرائط عن طريق الحقن قابلا للعكس ولا رجعة فيه. يعني التعيين عن طريق الحقن القابل للعكس أن كل عنصر في مجال القيمة يتوافق مع عنصر فريد واحد في مجال التعريف. يعني التعيين عن طريق الحقن الذي لا رجعة فيه أن هناك عناصر في مجال التعريف لا تحتوي على صور في مجال القيم.