الاحتمال هو أحد المفاهيم الأساسية في الرياضيات التي تسمح لك بتقدير مدى احتمال حدوث حدث معين. مشاكل الاحتمالات هي مشاكل كلاسيكية توجد غالبا في الكتب المدرسية وتختبر فهم هذا المفهوم.
ترتبط إحدى هذه المهام بالجرار. تخيل أن لديك 10 الجرار متطابقة. هناك كرات سوداء وبيضاء في كل من هذه الجرار. هناك 2 أسود و 2 كرات بيضاء في 9 من أصل 10 الجرار. لا يوجد سوى 4 كرات بيضاء في جرة واحدة المتبقية.
لنفترض الآن أننا اخترنا عشوائيا إحدى هذه الجرار. ما هو احتمال أن جرة المحدد يحتوي على كرات بيضاء فقط? للإجابة على هذا السؤال ، من الضروري تطبيق صيغ الاحتمالات ومراعاة عدد الخيارات الممكنة لاختيار جرة.
- مشكلة الاحتمال: توزيع الكرات في الجرار
- حالة المهمة
- احتمال سحب الكرات متعددة الألوان
- احتمال سحب الكرات السوداء
- احتمال سحب الكرات البيضاء
- سؤال وجواب
- ما هو احتمال الحصول على 2 أسود و 2 كرات بيضاء من 9 الجرار?
- ما هو احتمال اختيار واحد من كل الجرار والحصول على 2 أسود و 2 كرات بيضاء?
- هل من الممكن تغيير عدد الكرات السوداء والبيضاء في الجرة?
- ما هو احتمال الحصول فقط 2 كرات سوداء من 9 الجرار?
- ما هو احتمال اختيار جرة والحصول على الأقل 1 الكرة البيضاء?
مشكلة الاحتمال: توزيع الكرات في الجرار
دعونا نتخيل مشكلة حيث يوجد 10 جرار متطابقة. 9 منها تحتوي على 2 كرات سوداء و 2 بيضاء ، وجرة واحدة فارغة. نحن بحاجة إلى اختيار جرة عشوائية ولها كرة عشوائية منه.
بعد أن عرفنا سابقا توزيع الكرات في الجرار وعددها ، يمكننا حساب احتمالات النتائج المختلفة.
السماح ليكون الحدث الذي نختار جرة الأولى. احتمال هذا الحدث هو 1/10 ، لأن الجرار كلها متشابهة.
إذا تم تقديم الحدث ب ، والذي يتكون من حقيقة أن الكرة المختارة ستكون سوداء ، فإن احتمالها يعتمد على الجرة التي نختارها.
بالنسبة للجرة الأولى ، التي تحتوي على 2 كرات سوداء و 2 كرات بيضاء ، فإن احتمال اختيار كرة سوداء هو 2/4 أو 1/2.
وبالتالي ، يمكن حساب احتمال الحدث ب بشرط الحدث أ على النحو التالي: ص (ب|أ) = 1/10 * 1/2 = 1/20.
وبالمثل ، إذا كنت بحاجة إلى حساب احتمال اختيار كرة بيضاء من الجرة الأولى ، فستكون أيضا 1/20.
وبالمثل ، يمكنك حساب الاحتمالات لكل من الجرار المتبقية ، مع الأخذ بعين الاعتبار توزيع الكرات في كل منها.
وبالتالي ، فإن مشكلة احتمال توزيع الكرات في الجرار هي واحدة من العديد من المشاكل التي من الضروري أن تأخذ في الاعتبار الاحتمالات الشرطية وحسابها على أساس المعلومات المقدمة. هذا يسمح لنا أن نأخذ في الاعتبار جميع النتائج الممكنة واتخاذ قرارات مستنيرة.
حالة المهمة
هناك 10 الجرار التي هي نفسها تماما. هناك 4 كرات في كل جرة — 2 أسود و 2 أبيض. اخترت عشوائيا جرة واحدة وتأخذ الكرة منه. ما هو احتمال أن الكرة اخترت سيكون أسود?
احتمال سحب الكرات الملونة
دعونا نتخيل الموقف التالي: لدينا 10 الجرار ، وكلها هي نفسها وفي كل جرة هناك 2 أسود و 2 كرات بيضاء. لدينا الفرصة لاختيار جرة واحدة عشوائيا وسحب اثنين من الكرات للخروج منه. نحن مهتمون باحتمال أن تكون هاتان الكرتان من ألوان مختلفة.
بادئ ذي بدء ، دعونا نحسب العدد الإجمالي للطرق لاختيار اثنين من الكرات من اثنين من الأبيض واثنين من الأسود. يمكن القيام بذلك باستخدام التوافقية. دعنا نشير إلى تخطيط الكرات في الجرة على أنه ب1, ب2, ح1, ح2 (أين ب هي كرة سوداء ، ح هي كرة بيضاء ، وتشير الأرقام إلى ترتيب استخراج الكرات).
وبالتالي ، فإن العدد الإجمالي لطرق اختيار كرتين من أصل أربعة هو ج (4 ، 2) = 6 ، أين ج هو عدد المجموعات. يمكن حساب ذلك باستخدام الصيغة: ج (ن ، ك) = ن! / (ك! * (ن-ك)!) ، أين ن هو العدد الإجمالي للعناصر ، ك هو عدد العناصر المحددة.
الآن دعونا نحسب عدد الطرق لاختيار كرتين من ألوان مختلفة. هناك نوعان من الحالات المحتملة:
- اختيار اثنين من الكرات البيضاء
- اختيار اثنين من الكرات السوداء
إذا اخترت اثنين من الكرات البيضاء ، ثم هناك طريقة واحدة فقط (ب1 ، ب2). إذا اخترت اثنين من الكرات السوداء ، ثم هناك أيضا طريقة واحدة فقط (ح1 ، ح2). وبالتالي ، هناك طريقتان فقط لاختيار كرتين من نفس اللون.
ولذلك ، فإن احتمال اختيار اثنين من الكرات من ألوان مختلفة تكون مساوية ل: ص (لون مختلف) = عدد من الطرق لتحديد اثنين من الكرات من ألوان مختلفة / العدد الإجمالي للطرق لتحديد اثنين من الكرات.
وهكذا ، ص (لون مختلف) = 2 / 6 = 1 / 3 = 33.33%.
لذا ، فإن احتمال سحب اثنين من الكرات الملونة من جرة مع اثنين من الكرات السوداء واثنين من البيض هو 33.33 ٪ أو 1/3.
احتمال سحب الكرات السوداء
تخيل أن هناك 10 الجرار ، كل نفس. هناك 2 كرات سوداء و 2 كرات بيضاء في 9 منهم. مهمتنا هي تحديد احتمال سحب الكرة السوداء.
نظرا لأن لدينا 10 جرار فقط ، فإن احتمال سحب جرة معينة هو 1/10 أو 0.1.
في كل من 9 الجرار ، وعدد من الكرات السوداء والبيضاء هو نفسه ، وبالتالي فإن احتمال سحب الكرة السوداء من كل جرة هو 2/(2+2) أو 1/2 ، وهو 0.5.
وبالتالي ، فإن الاحتمال الإجمالي لسحب كرة سوداء من جرة واحدة هو 0.1 * 0.5 = 0.05 أو 5٪.
لحساب احتمال سحب كرة سوداء من إحدى الجرار الـ 9 ، تحتاج إلى إضافة احتمالات سحب كرة سوداء من كل جرة:
| الجرة | الاحتمال |
|---|---|
| جرة 1 | 0.05 |
| جرة 2 | 0.05 |
| جرة 3 | 0.05 |
| جرة 4 | 0.05 |
| جرة 5 | 0.05 |
| جرة 6 | 0.05 |
| جرة 7 | 0.05 |
| جرة 8 | 0.05 |
| جرة 9 | 0.05 |
وبالتالي ، فإن الاحتمال الإجمالي لسحب كرة سوداء من أي من الجرار 9 هو 9 * 0.05 = 0.45 أو 45٪.
احتمال سحب الكرات البيضاء
تخيل الحالة التي يوجد فيها 10 الجرار ، كل الجرار هي نفسها. هناك 2 كرات سوداء و 2 بيضاء في 9 من هذه الجرار. نحن مهتمون باحتمال سحب الكرات البيضاء من هذه الجرار.
لذلك ، لدينا 9 الجرار مع الكرات البيضاء والسوداء. لتحديد احتمال سحب كرة بيضاء من جرة معينة ، تحتاج إلى قسمة عدد الكرات البيضاء على العدد الإجمالي للكرات في تلك الجرة.
لا يوجد سوى 4 كرات في كل جرة (2 أسود و 2 أبيض). لذلك ، فإن احتمال سحب كرة بيضاء هو 2/4 أو 1/2.
بعد ذلك ، لتحديد احتمال سحب الكرات البيضاء من جميع الجرار ، اضرب احتمالات سحب الكرات البيضاء من كل جرة.
نظرا لأن احتمال سحب كرة بيضاء في كل من الجرار 9 هو 1/2 ، فإن احتمال سحب الكرات البيضاء من جميع الجرار سيكون:
- 1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/2 = 1/512
وبالتالي ، فإن احتمال سحب جميع الكرات البيضاء من جميع الجرار 9 هو 1/512.
سؤال وجواب
ما هو احتمال الحصول على 2 أسود و 2 كرات بيضاء من 9 الجرار?
احتمال الحصول على 2 كرات سوداء و 2 بيضاء من 9 الجرار هو 9/10. والحقيقة هي أن هناك فقط 2 كرات مختلفة في كل جرة ، وبقية الجرار هي نفسها. لذلك ، يمكنك الحصول على التركيبة الصحيحة في أي جرة.
ما هو احتمال اختيار واحد من كل الجرار والحصول على 2 أسود و 2 كرات بيضاء?
احتمال اختيار جرة واحدة من الجميع والحصول على 2 كرات سوداء و 2 كرات بيضاء هو 1. في هذه المشكلة ، جميع الجرار متشابهة ، لذلك لا يهم أي جرة معينة نختارها.
هل من الممكن تغيير عدد الكرات السوداء والبيضاء في الجرة?
في هذه المهمة ، من المستحيل تغيير عدد الكرات السوداء والبيضاء في الجرة. تحتوي كل جرة في البداية على 2 كرات سوداء و 2 كرات بيضاء ، ولا يتغير عددها.
ما هو احتمال الحصول فقط 2 كرات سوداء من 9 الجرار?
يعتمد احتمال الحصول على 2 كرات سوداء فقط من أصل 9 جرار على نموذج اختيار الجرة الاحتمالية. إذا كان الاختيار عشوائيا ومستقلا ، فإن الاحتمال سيكون 9/10 * 1/4 (احتمال اختيار جرة مع 2 كرات سوداء والحصول على 2 كرات سوداء فقط للخروج منه). هذا هو ما يقرب من 0.0225 أو 2.25٪.
ما هو احتمال اختيار جرة والحصول على الأقل 1 الكرة البيضاء?
احتمال اختيار جرة والحصول على 1 كرة بيضاء على الأقل هو 9/10. هناك 2 أسود و 2 كرات بيضاء في كل جرة ، لذلك لا يهم أي جرة معينة نختار ، واحتمال الحصول على ما لا يقل عن 1 الكرة البيضاء ستكون هي نفسها.