قد يبدو احتمال أن يكون لشخصين في مجتمع مكون من 500 شخص نفس عيد الميلاد أمرا لا يصدق. ومع ذلك ، وفقا للتحليل الرياضي ، فهو مرتفع جدا.
من أجل حساب الاحتمال ، من الضروري استخدام ما يسمى "مفارقة عيد الميلاد" ، والتي تعمل كأساس لهذا الحساب. تثبت مفارقة عيد الميلاد أن احتمال حصول شخصين في مجموعة على نفس عيد الميلاد يصبح مهما مع وجود عدد كبير بما فيه الكفاية من الأشخاص.
للوهلة الأولى ، قد يبدو أن احتمال هذا الحدث يجب أن يكون منخفضا ، لأن عدد الأيام في السنة هو 365 ، ويبدو أن فرص ولادة شخصين في نفس اليوم غير محتملة. ومع ذلك ، فإن الاحتمال مرتفع للغاية.
لنفترض أن لدينا مجموعة من 500 شخص. احتمال أن يكون لدى الشخص الأول عيد ميلاد معين هو 1. بالنسبة للشخص الثاني ، هذا الاحتمال هو 1/365 (لأنه يحتاج إلى أن يولد في أي يوم آخر باستثناء عيد ميلاد الشخص الأول).
وهكذا ، بالنسبة للشخص الثالث ، فإن الاحتمال هو بالفعل 1/365^2 ، للرابع — 1/365^3 ، وهكذا. من الواضح أنه مع زيادة عدد الأشخاص في المجموعة ، يزداد احتمال حصول شخصين على نفس عيد الميلاد. باستخدام التوافقية والصيغ الاحتمالية ، من الممكن حساب القيمة المحددة لهذا الاحتمال.
- تحديد احتمال وجود مباراة عيد ميلاد بين شخصين في مجموعة من 500 شخص
- كم عدد التوليفات الممكنة لأعياد الميلاد الموجودة في مجتمع 500 اشخاص?
- ما هو احتمال أن شخصين في مجموعة من 500 الناس سوف يكون نفس عيد ميلاد?
- كيف تؤثر عوامل مثل عدد الأشخاص في مجموعة أو عدد أعياد الميلاد المحتملة على الاحتمال?
- سؤال وجواب
- ما هو احتمال أن شخصين في مجتمع 500 الناس سوف يكون نفس عيد ميلاد?
- ما هي الصيغة التي ينبغي استخدامها لحساب احتمال أن شخصين في مجتمع 500 الناس سوف يكون نفس عيد ميلاد?
- ما هي العوامل التي تؤثر على احتمال أن شخصين في مجتمع 500 الناس سوف يكون نفس عيد ميلاد?
تحديد احتمال وجود مباراة عيد ميلاد بين شخصين في مجموعة من 500 شخص
احتمال وجود شخصين لهما نفس عيد الميلاد في مجموعة من 500 شخص هو أحد الأمثلة على مشكلة احتمالية مثيرة للاهتمام تسمى" مشكلة عيد الميلاد "أو"مشكلة عيد الميلاد المتناقضة". توضح هذه المهمة خاصية غير متوقعة لتوزيع أعياد الميلاد في مجموعات كبيرة من الناس.
لتحديد احتمال وجود مباراة عيد ميلاد بين شخصين في مجموعة من 500 شخص ، يمكننا استخدام مبدأ ديريتشليت ، فإنه ينطبق على أي مجموعة من 500 أو أكثر من العناصر ، بما في ذلك أعياد الميلاد.
تتمثل عملية حل المشكلة في حساب احتمال عدم مصادفة أعياد الميلاد بين شخصين ثم طرح هذا الاحتمال من 1. للوهلة الأولى ، قد نعتقد أن هذا الاحتمال هو 364/365 ، لكن هذا ليس صحيحا تماما. للتحليل ، من الضروري النظر في جميع أزواج الأشخاص الممكنة من المجموعة.
في مجتمع من 500 شخص ، يمكنك أن تشكل ما مجموعه ج(500, 2) = 500 * 499 / 2 = 124750 بخار.
باستخدام هذا الرقم ، يمكننا حساب احتمال تطابق عيد ميلاد لزوج واحد من الأشخاص على أنه 1/365 (احتمال أن يكون لشخصين نفس تاريخ الميلاد) ، ثم حساب احتمال عدم تطابق زوج واحد على أنه 1 — 1/365.
لذا ، فإن احتمال عدم مصادفة أعياد الميلاد لجميع أزواج 124750 من 500 شخص سيكون:
ص = (1 — 1/365)^124750
وأخيرا ، سيكون احتمال مباراة واحدة على الأقل:
ص (مباراة) = 1-ص
وبالتالي ، يمكننا حساب احتمال مصادفة عيد ميلاد شخصين في مجموعة من 500 شخص.
كم عدد التوليفات الممكنة لأعياد الميلاد الموجودة في مجتمع 500 اشخاص?
للإجابة على سؤال حول عدد التوليفات الممكنة لأعياد الميلاد في مجتمع يضم 500 شخص ، يمكننا استخدام مبدأ التوافقية.
في هذه المهمة ، نحتاج إلى العثور على عدد مجموعات أعياد الميلاد التي يمكن أن تتطابق مع شخصين من أصل 500. في الوقت نفسه ، لكل شخص 365 عيد ميلاد محتمل (حيث يوجد 365 يوما في السنة).
نستخدم الصيغة لحساب عدد المجموعات (مع مراعاة الترتيب) من المجموعة مع التكرار:
تقرير وطني
أين ن هو عدد عناصر المجموعة (في هذه الحالة ، عدد أعياد الميلاد المحتملة) ، و ص هو عدد العناصر المحددة.
في هذه المشكلة ، يحتاج كل من الشخصين إلى اختيار عيد ميلاد ، لذلك ص = 2. لذا ، استبدل القيم في الصيغة:
3652
هذا يعني أن عدد المجموعات الممكنة لأعياد الميلاد لشخصين من أصل 500 هو 133225.
ما هو احتمال أن شخصين في مجموعة من 500 الناس سوف يكون نفس عيد ميلاد?
يمكن حساب احتمال أن يكون لشخصين في مجموعة مكونة من 500 شخص نفس تاريخ الميلاد باستخدام نظرية الاحتمالات ومبدأ ديريتشليت (مبدأ صندوق ديريتشليت).
بادئ ذي بدء ، ضع في اعتبارك احتمال أن يكون لشخصين نفس عيد الميلاد في الحالة العامة ، دون قيود على عدد الأشخاص. للقيام بذلك ، استخدم صيغة الاحتمال:
ص (أ) = 1-ص (وليس أ)
أين ص (أ) هو احتمال حدوث الحدث أ ، و ص(ليس أ) هو احتمال عدم حدوث الحدث أ.
الآن ضع في اعتبارك الاحتمال الإجمالي بأن يكون لشخصين نفس عيد الميلاد في مجموعة من 500 شخص. للقيام بذلك ، من الضروري النظر في جميع التوليفات الممكنة لأعياد الميلاد لشخصين من أصل 365 شخصا ممكنا.
بالنسبة للشخص الأول ، يمكننا اختيار أي عيد ميلاد من بين 365 عيد ميلاد ممكن. بالنسبة للشخص الثاني ، فإن احتمال اختيار نفس عيد الميلاد هو 1/365 ، لأن لدينا بالفعل شخص واحد مع عيد ميلاد معين.
وبالتالي ، يمكن حساب الاحتمال الإجمالي بأن يكون لشخصين نفس عيد الميلاد في مجموعة من 500 شخص على النحو التالي:
ص (نفس عيد الميلاد) = 1-ص (أعياد ميلاد مختلفة)
أين ص (أعياد ميلاد مختلفة) هو احتمال أن يكون لشخصين عيد ميلاد مختلف.
يمكن حساب احتمال أن يكون لشخصين عيد ميلاد مختلف على النحو التالي:
ص (أعياد ميلاد مختلفة) = 1-ص (زوجان لهما نفس عيد الميلاد)
أين ص (زوج من الناس لديهم نفس عيد الميلاد) هو احتمال أن يكون لزوج واحد من شخصين نفس عيد الميلاد.
نظرا لأننا نفكر في الاحتمال الإجمالي في مجموعة مكونة من 500 شخص، فإن عدد المجموعات الممكنة من الأزواج هو:
ج (500، 2) = 500! / (2! * (500 — 2)!)
الآن يمكننا حساب الاحتمال الكلي:
ص (نفس عيد الميلاد) = 1-ص (أعياد ميلاد مختلفة)
ص (أعياد ميلاد مختلفة) = 1-ص (زوجان لهما نفس عيد الميلاد)
أين ص (زوجان لهما نفس عيد الميلاد) = ج (365 ، 2) / ج (365 ، 2)
باستبدال القيم في الصيغة ، يمكننا حساب احتمال أن يكون لشخصين في مجموعة مكونة من 500 شخص نفس تاريخ الميلاد.
كيف تؤثر عوامل مثل عدد الأشخاص في مجموعة أو عدد أعياد الميلاد المحتملة على الاحتمال?
يمكن أن يختلف احتمال حصول شخصين على نفس عيد الميلاد اعتمادا على عوامل مختلفة ، بما في ذلك عدد الأشخاص في المجموعة وعدد أعياد الميلاد المحتملة.
كلما زاد عدد الأشخاص في المجموعة ، زاد احتمال أن يكون لشخصين نفس عيد الميلاد. هذا يرجع إلى ما يسمى بمفارقة عيد الميلاد. تكمن المفارقة في حقيقة أن حوالي 23 شخصا فقط يكفيون لضمان احتمال بنسبة 50 ٪ أنه سيكون هناك شخصان لهما نفس عيد الميلاد في مجموعة من الأشخاص.
يعتمد الاحتمال أيضا على عدد أعياد الميلاد المحتملة. إذا افترضنا أن جميع أيام السنة البالغ عددها 365 يوما من المرجح أن تولد بنفس القدر ، فإن احتمال أن يكون لشخصين نفس عيد الميلاد سيزداد مع عدد الأشخاص في المجموعة ويصل إلى قيمة قصوى تبلغ 1 (أو 100٪) عندما يكون عدد الأشخاص في المجموعة مساويا لعدد أعياد الميلاد المحتملة.
لفهم كيفية تأثير عدد الأشخاص وعدد أعياد الميلاد المحتملة على احتمال نفس عيد الميلاد ، يمكنك استخدام الجدول:
| عدد الأشخاص | احتمال نفس عيد الميلاد |
|---|---|
| هو 2 | 0.27% |
| 10 | 11.7% |
| 20 | 41.1% |
| 23 | 50.7% |
| 30 | 70.6% |
| 50 | 97.0% |
| 100 | 99.9% |
| 365 | 100% |
من الجدول ، يمكنك أن ترى أن احتمال نفس عيد الميلاد يزداد بشكل كبير مع زيادة عدد الأشخاص في المجموعة. يمكن أيضا ملاحظة أنه حتى مع وجود 23 شخصا ، فإن الاحتمال يتجاوز 50 ٪ ، وهي نتيجة غير متوقعة لكثير من الناس.
وبالتالي ، فإن عدد الأشخاص في المجموعة وعدد أعياد الميلاد المحتملة يؤثران بشكل كبير على احتمال نفس عيد الميلاد. والمزيد من الناس وأعياد الميلاد هناك ، وارتفاع احتمال مثل هذه المصادفة.
سؤال وجواب
ما هو احتمال أن شخصين في مجتمع 500 الناس سوف يكون نفس عيد ميلاد?
يمكن حساب احتمال أن يكون لشخصين في مجتمع مكون من 500 شخص نفس عيد الميلاد باستخدام صيغة الاحتمال. للقيام بذلك ، تحتاج إلى معرفة عدد المجموعات الممكنة من أعياد الميلاد التي يمتلكها شخصان. في هذه الحالة ، يمكن أن يكون لكل شخص واحد من 365 عيد ميلاد (لا نأخذ في الاعتبار سنوات كبيسة). وبالتالي ، سيكون عدد المجموعات الممكنة 365 * 365 = 133.225. الآن نحن بحاجة إلى تقسيم هذا الرقم على العدد الإجمالي للمجموعات الممكنة من أعياد الميلاد ، وهو 365^ 500. ستكون القيمة الناتجة هي احتمال أن يكون لشخصين في مجتمع مكون من 500 شخص نفس عيد الميلاد.
ما هي الصيغة التي ينبغي استخدامها لحساب احتمال أن شخصين في مجتمع 500 الناس سوف يكون نفس عيد ميلاد?
لحساب احتمال أن يكون لشخصين في مجتمع مكون من 500 شخص نفس عيد الميلاد ، يتم استخدام الصيغة: ص = 1 — (365/365) * (364/365) * (363/365) * ... * (365-ن + 1) / 365 ، حيث ن هو عدد الأشخاص في المجتمع. في هذه الحالة ، ن = 500. وبالتالي ، من خلال استبدال القيم في الصيغة ، يمكنك الحصول على الاحتمال المطلوب.
ما هي العوامل التي تؤثر على احتمال أن شخصين في مجتمع 500 الناس سوف يكون نفس عيد ميلاد?
يتأثر احتمال أن يكون لشخصين في مجتمع مكون من 500 شخص نفس عيد الميلاد بعدة عوامل. أولا ، هو عدد الأشخاص في المجتمع: كلما زاد عدد الأشخاص، زاد احتمال حدوثه. في هذه الحالة ، مع زيادة عدد الأشخاص من 500 إلى 1000 ، يزداد الاحتمال إلى حوالي 71٪. ثانيا ، هو عدد أعياد الميلاد المحتملة: كلما قل عدد أعياد الميلاد (على سبيل المثال ، عند حساب السنوات الكبيسة) ، زاد الاحتمال. وأخيرا ، تؤثر العشوائية-يمكن أن تحدث مجموعات نادرة وأكثر تواترا من أعياد الميلاد.