لأي طبيعي ن ، قيمة التعبير 17^ن - 1 هو مضاعف 16

نثبت ذلك لأي طبيعي ن ، قيمة التعبير 17^ن - 1 هو مضاعف 16.

بادئ ذي بدء ، لاحظ أنه يمكن تمثيل الرقم 17 على أنه 16 + 1.

ثم التعبير 17^ن - 1 يمكن إعادة كتابتها على النحو التالي:

17^ن-1 = (16 + 1)^ن — 1 = ج(ن ، 0) * 16^ن * 1^0 + ج (ن ، 1) * 16^(ن-1) * 1^1 + ... + جيم (نون ، نون-1) * 16^1 * 1^(ن-1) + ج (ن ، ن) * 16^0 * 1^ن-1.

ستكون معظم المصطلحات في هذا المجموع من مضاعفات 16 ، حيث يتم رفع 16 إلى قوة واحدة على الأقل.

وبالتالي ، يبقى التحقق فقط من المصطلح الأخير ج (ن ، ن) * 16^0 * 1^ن-1.

لاحظ أن ج (ن ، ن) = 1 و 16^0 = 1.

وبالتالي ، يبقى إثبات أن 1^ن - 1 هو مضاعف 16 لأي طبيعي ن.

من الواضح أن 1^ن - 1 هو 0 ، و 0 هو مضاعف 16.

وهكذا ، أثبتنا أنه بالنسبة لأي طبيعي ن ، قيمة التعبير 17^ن - 1 هو مضاعف 16.

1. حقيقة رياضية مثيرة للاهتمام
2. إذا ن هو عدد طبيعي ، ثم ن^17 هو 1 من مضاعفات 16
3. سؤال وجواب
4. لماذا من الضروري إثبات أن قيمة التعبير 17^ن-1 هو مضاعف 16?
5. كيف يمكننا أن نثبت أن قيمة التعبير 17^ن-1 هو من مضاعفات 16?
6. هل من الممكن إثبات هذا البيان لأي عدد طبيعي ن?

حقيقة رياضية مثيرة للاهتمام

هناك العديد من الحقائق المثيرة للاهتمام وغير العادية في الرياضيات. ترتبط إحدى هذه الحقائق بالتعبير 17^ن-1 ، أين ن هو رقم طبيعي.

هذا التعبير دائما من مضاعفات 16 ، أي أنه يقبل القسمة على 16 بدون الباقي لأي قيمة ن.

لفهم سبب هذه الحالة ، ضع في اعتبارك قيمة التعبير لعدة قيم ن:

• ل ن = 1: 17^1 — 1 = 17 — 1 = 16. من الواضح أن 16 يقبل القسمة على 16 بدون الباقي.

• في ن = 2: 17^2 — 1 = 289 — 1 = 288. 288 كما أنها قابلة للقسمة على 16 بدون الباقي.

• في ن = 3: 17^3 — 1 = 4913 — 1 = 4912. ومرة أخرى نحصل على عدد من مضاعفات 16.

يمكنك الاستمرار في التحقق من قيم التعبير للأرقام الطبيعية الأخرى ومعرفة أنها ستكون جميعها مضاعفات 16. يمكن إثبات هذه الحقيقة رياضيا باستخدام الجبر والحساب ، ولكن من أجل بساطة التفسير سنقتصر على الأمثلة فقط.

هذه الحقيقة هي مثال على نمط عددي مثير للاهتمام يمكن العثور عليه في الرياضيات. يمكن استخدامه أيضا في حل المشكلات والبراهين في المجالات الأخرى التي تتطلب معرفة وفهم ميزات التعبيرات العددية هذه.

إذا ن هو عدد طبيعي ، ثم ن^17 هو 1 من مضاعفات 16

لإثبات هذا البيان ، ضع في اعتبارك التعبير ن^17 - 1 وتقسيمها على 16.

لاحظ أنه عند قسمة أي رقم على 16 ، يمكن أن يكون الباقي واحدا فقط من أربع قيم محتملة: 0 أو 1 أو 2 أو 3.

ضع في اعتبارك جميع المخلفات الممكنة عند القسمة ن على 16:

1. الباقي هو 0: إذا ن يقبل القسمة على 16 بدون الباقي ، إذن ن^17 سيكون أيضا قابلا للقسمة على 16 بدون الباقي. يمكن ملاحظة ذلك من حقيقة أن مضاعف 16 الذي يتم رفعه إلى أي قوة سيكون أيضا مضاعفا لـ 16.
2. الباقي 1: عند القسمة ن على 16 مع الباقي 1 ، لدينا ن = 16ك + 1 لبعض الأعداد الصحيحة ك. دعونا نرفع هذا التعبير إلى القوة 17: (16ك + 1)^17. وفقا لنيوتن ذي الحدين ، سيعطينا هذا التعبير مجموع الحدود ، كل منها قابل للقسمة على 16 لأي طبيعي ك. سيكون أحد أعضاء هذا المجموع -1. وبالتالي ، لدينا (16 ك + 1)^17-1 = ... + (-1) + ... ، وهي دائما قابلة للقسمة على 16.
3. 2 المتبقية: على غرار النقطة السابقة ، في حالة قسمة ن على 16 مع باقي 2 ، لدينا ن = 16 ك + 2 لبعض الأعداد الصحيحة ك. استبدال هذا التعبير في ن^17 - 1 وتطبيق نيوتن ذي الحدين ، نحصل على (16 ك + 2)^17 — 1 = ... — 1 + ... ، وهي دائما قابلة للقسمة على 16.
4. الباقي 3: في حالة قسمة ن على 16 مع الباقي 3 ، لدينا ن = 16 ك + 3 لبعض الأعداد الصحيحة ك. استبدال هذا التعبير في ن^17 - 1 وتطبيق نيوتن ذي الحدين ، نحصل على (16ك + 3)^17 — 1 = ... + 1 + ... ، وهي أيضا قابلة للقسمة دائما على 16.

لذلك ، أخذنا في الاعتبار جميع المخلفات الممكنة عند القسمة ن على 16 ، وفي كل حالة حصلنا على ذلك ن^17 — 1 يقبل القسمة على 16 بدون الباقي. هذا يعني أنه بالنسبة لأي طبيعي ن ، قيمة التعبير ن^17 هو مضاعف 16.

سؤال وجواب

لماذا من الضروري إثبات أن قيمة التعبير 17^ن-1 هو مضاعف 16?

والدليل على أن قيمة التعبير 17^ن — 1 هو مضاعف 16 له قيمة عملية في مختلف مجالات الرياضيات وعلوم الكمبيوتر. على سبيل المثال ، يمكن استخدام هذه العبارة عند تطوير خوارزميات لحساب ما تبقى من قسمة الأعداد الكبيرة على 16 أو عند العمل مع عمليات البت. يمكن أن تكون هذه الخاصية مفيدة أيضا في إثبات العبارات الرياضية الأخرى.

كيف يمكننا أن نثبت أن قيمة التعبير 17^ن-1 هو من مضاعفات 16?

هناك عدة طرق لإثبات هذا البيان. يعتمد أحدها على استخدام ما تبقى من نظرية القسمة. لإثبات ذلك ، يمكننا فحص التعبير 17^ن-1 في الوحدة 16. نلاحظ أن 17^ن-1 1 1^ن-1 1 1 — 1 0 0 (وزارة الدفاع 16). هذا يعني أن التعبير 17^ن - 1 يقبل القسمة على 16 بدون باقي ، وبالتالي فهو مضاعف 16.

هل من الممكن إثبات هذا البيان لأي عدد طبيعي ن?

نعم ، هذه العبارة صحيحة لأي عدد طبيعي ن. يمكننا استخدام طريقة الحث الرياضي لإثبات هذه العبارة. يتم تنفيذ خطوة الحث الأساسية ل ن = 1: 17^1 — 1 = 16, وهو مضاعف 16. تفترض خطوة الاستقراء أن البيان صحيح بالنسبة للبعض ن. علينا أن نظهر أنه صحيح بالنسبة لـ ن + 1. نلاحظ أن 17^(ن + 1) -1 = 17^ن * 17 - 1 = (16ك + 1) *17 - 1 = 16ك * 17 + 17 — 1 = 16ك * 17 + 16. هذا التعبير قابل للقسمة على 16 بدون الباقي وبالتالي فهو من مضاعفات 16. وبالتالي ، فإن البيان صحيح لأي عدد طبيعي ن.