العثور على التطرف وإيجاد أصغر قيمة للتعبير هو مشكلة موجودة في الرياضيات والعلوم. يتيح لك اكتشاف الحد الأدنى لقيمة التعبير إيجاد الحل الأمثل للعديد من المشكلات ، ويساعدك فهم النقاط المتطرفة على فهم سلوك الوظيفة بالقرب من هذه النقاط.
تتمثل إحدى طرق العثور على أصغر قيمة للتعبير وأطرافه في استخدام طريقة حساب التفاضل والتكامل. تستخدم هذه الطريقة وظائف مشتقة تسمح لك بالعثور على النقاط التي تصل عندها الوظيفة إلى الحد الأدنى أو الحد الأقصى للقيمة.
لحل هذه المشكلة ، سوف تحتاج إلى العثور على مشتقات المتغيرات س و ص ، ومساواتها إلى الصفر. ثم ، حل نظام المعادلات ، وسوف تجد إحداثيات النقاط القصوى.
مثال:
التعبير معطى: 5 * 4 ص3-2 * 3 ص-2 ص2 + 3 س-2 ص2 + 1
لإيجاد أقصى درجات هذا التعبير ، سنجد مشتقات فيما يتعلق بالمتغيرين س و ص:
دف / دكس = 20 * 3 ي3-6 * 2 ي — 2 ي2 + 3
دف / د = 15 * 4 ي2-2 * 3-2 س
مساواة المشتقات إلى الصفر وحل نظام المعادلات التي تم الحصول عليها ، نجد قيم س و ص المقابلة للنقاط القصوى.
بعد ذلك ، باستبدال القيم الموجودة س و ص في التعبير الأصلي ، سنجد أصغر قيمة.
- طرق العثور على أصغر قيمة للتعبير 5 س^4 ص ^ 3 + 2^3 س — ص + 1^2 ونقيضها
- التفاضل الجزئي
- الطريقة الشرطية
- طريقة الاستبدال لإيجاد أصغر قيمة
- طريقة التمايز لإيجاد التطرف
- أمثلة على حل مشكلة العثور على أصغر قيمة والتطرف
- سؤال وجواب
- كيف أجد أصغر قيمة للتعبير?
- كيف أجد التطرف في التعبير?
- كيف يمكنني العثور على قيم المتغيرات?
طرق العثور على أصغر قيمة للتعبير 5 س^4 ص ^ 3 + 2^3 س — ص + 1^2 ونقيضها
للعثور على أصغر قيمة للتعبير 5 س^4 ص ^ 3 + 2^3 س — ص + 1^2 وأطرافه القصوى ، يمكن استخدام طرق مختلفة، مثل:
- التفاضل الجزئي
- الطريقة الشرطية
طريقة المشتقات الجزئية
لتطبيق الطريقة التفاضلية الجزئية ، اتبع الخطوات التالية:
- أوجد المشتقات الجزئية للمتغيرين س و ص
- حل نظام المعادلات التي تم الحصول عليها من مساواة هذه المشتقات الجزئية إلى الصفر
- استبدال القيم التي تم العثور عليها من س و ص في التعبير الأصلي
- احصل على قيمة التعبير للقيم التي تم العثور عليها س و ص ، والتي ستكون أصغر قيم التعبير
طريقة الشرطية القصوى
تسمح لك طريقة الحد الأقصى الشرطي بالعثور على أقصى دالة ذات قيد. لتطبيقه ، اتبع الخطوات التالية:
- قم بتكوين دالة لاغرانج عن طريق إضافة شرط قيد في شكل معادلة إلى التعبير الأصلي
- أوجد مشتقات المتغيرات س, ص و لامدا (مضاعف لاغرانج)
- حل نظام المعادلات التي تم الحصول عليها من المساواة بين هذه المشتقات إلى الصفر
- استبدال القيم التي تم العثور عليها من س و ص في التعبير الأصلي
- الحصول على قيمة التعبير عن القيم التي تم العثور عليها من س و ص ، والتي ستكون أصغر قيم التعبير مع تقييد
يعتمد اختيار الطريقة على المهمة المحددة وشروطها.
طريقة الاستبدال لإيجاد أصغر قيمة
طريقة الاستبدال هي إحدى طرق العثور على أصغر قيمة للتعبير. للقيام بذلك ، يجب عليك استبدال قيم المتغيرات باستمرار وحساب قيمة التعبير. ثم يتم تحديد أصغر القيم التي تم الحصول عليها.
لحل هذه المشكلة بالتعبير 5 * 4 ص3-23 ص1 / 2 ، من الضروري تحديد قيم المتغيرات س و ص واستبدالها في التعبير لحساب القيمة.
يمكن تقديم عملية حل المشكلة في طريقة الاستبدال في شكل الجدول التالي:
| x | y | قيمة التعبير |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 3 |
| 1 | 2 | -7 |
| 2 | 1 | 243 |
| 2 | 2 | 233 |
يمكن أن نرى من الجدول أن أصغر قيمة للتعبير هي -7 ، ويتم تحقيقها بقيم المتغيرات س = 1 و ص=2.
وبالتالي ، تسمح لك طريقة الاستبدال بالعثور على أصغر قيمة للتعبير عن طريق استبدال قيم المتغيرات والحسابات بالتسلسل.
طريقة التمايز لإيجاد التطرف
طريقة التمايز هي إحدى الطرق الرئيسية للعثور على أقصى درجات الوظائف. يسمح لك التمايز بالعثور على مشتقات دالة تساعد في تحديد سلوك دالة في نقاط مختلفة.
للعثور على أقصى دالة ، من الضروري العثور على مشتقها ومساواته بالصفر. تسمح لنا المعادلة الناتجة بإيجاد النقاط التي يمكن أن يكون للدالة فيها نهايات.
لذلك ، للعثور على أقصى درجات الوظيفة 5 س^4 ص ^ 3-2 س^3 ص + 12 ، يجب تنفيذ الخطوات التالية:
- العثور على مشتقات جزئية من وظيفة فيما يتعلق المتغيرات س و ص.
- مساواة كل مشتق جزئي بالصفر وحل المعادلات الناتجة لتحديد النقاط التي يمكن أن يكون للدالة عندها نهايات.
- احسب قيمة الوظيفة في هذه النقاط لتحديد نوع الطرف الأقصى (الحد الأقصى أو الحد الأدنى).
باستخدام طريقة التمايز ، يمكننا إيجاد أصغر قيمة للتعبير 5س^4ص^3-2س^3ص + 12 وأقصى حدوده من خلال تحديد النقاط التي تصل عندها الدالة إلى الحد الأدنى لقيمتها.
باستخدام طريقة التمايز الجدولي ، نحصل على المشتقات التالية:
| مشتق من س | مشتق من ص |
|---|---|
| 20 مرة^3 سنوات^3-6 مرات^2 سنة | 15 س^4 س^2-2 س^3 |
حل معادلات المشتقات ، نجد النقاط التي تساوي الصفر:
- 20س^3ص^3-6س^2ص = 0
- 15 س^4 ص^2-2 س^3 = 0
يتيح لك حل هذه المعادلات العثور على النقاط التي يمكن أن يكون للدالة فيها أقصى الحدود.
من خلال حساب قيم الوظيفة في النقاط التي تم العثور عليها ، يمكنك تحديد ما إذا كانت الحد الأدنى أو الحد الأقصى.
أمثلة على حل مشكلة العثور على أصغر قيمة والتطرف
في هذه المقالة ، سننظر في عدة أمثلة لحل مشكلة العثور على أصغر قيمة للتعبير وتطرفاته. سنبحث عن أصغر قيمة للدالة و (س ، ص) = 5 س^4 ص ^ 3 + 2 س^3 ص^2 + 3 س^2 ص + 1.
مثال 1:
أوجد النقطة القصوى للدالة و (س, ص) = 5س^4ص^3 + 2س^3ص^2 + 3س^2ص + 1.
1. أوجد مشتقات الدالة في س و ص.
دف / دكس = 20 س^3 س^3 + 6 س^2 س^2 + 6 س,
دف / د = 15 س^4 ص^2 + 4 س^3 ص + 3 س^2.
2. حل نظام المعادلات دف / دكس = 0 و دف / د = 0.
20 س^3 س ^ 3 + 6 س^2 س^2 + 6 س = 0,
15س^4ص^2 + 4س^3ص + 3س^2 = 0.
3. لنجد قيم المتغيرين س و ص التي تفي بنظام المعادلات.
4. ستكون القيم الناتجة س و ص إحداثيات النقطة القصوى للدالة.
المثال 2:
أوجد أصغر قيمة للدالة و (س ، ص) = 5 س^4 ص ^ 3 + 2 س^3 ص^2 + 3 س^2 ص + 1 ، بشرط أن يكون س 0 0 و ص 0 0.
1. النظر في جميع القيم الممكنة للمتغيرات س و ص تلبية الشرط س 0 0 و ص 0 0.
2. دعونا نستبدل كل قيمة مقترنة للمتغيرات س و ص في الوظيفة و (س ، ص).
3. العثور على أصغر قيمة بين القيم التي تم الحصول عليها من وظيفة و(س ، ص).
المثال 3:
أوجد أصغر قيمة للدالة و (س ، ص) = 5 س^4 ص ^ 3 + 2 س^3 ص^2 + 3 س^2 ص + 1 في المنطقة المحددة د.
1. تحديد المجال د باستخدام عدم المساواة ، على سبيل المثال ، س + ص 2 2 و س 0 0.2.
استبدال قيم المتغيرات س و ص تلبية عدم المساواة في وظيفة و (س ، ص).
3. العثور على أصغر قيمة بين القيم التي تم الحصول عليها من وظيفة و(س ، ص).
توضح كل هذه الأمثلة مناهج مختلفة لحل مشكلة العثور على أصغر قيمة للتعبير وتطرفاته. اعتمادا على شروط ومتطلبات المهمة ، يمكن استخدام طرق وأساليب مختلفة لتحديد أقل قيمة للوظيفة والنقاط القصوى.
سؤال وجواب
كيف أجد أصغر قيمة للتعبير?
للعثور على أصغر قيمة للتعبير ، تحتاج إلى إيجاد مشتقه ومساواته بالصفر. بعد ذلك ، بعد العثور على قيم المتغيرات ، استبدلها بالتعبير الأصلي وابحث عن النتيجة.
كيف أجد التطرف في التعبير?
للعثور على أقصى تعبير ، تحتاج إلى العثور على مشتقه والعثور على أصفاره. بعد ذلك ، باستخدام هذه القيم ، سنجد المشتق الثاني ونتحقق من علامته على الفترات الفاصلة بين الأصفار. إذا كان المشتق الثاني موجبا ، فسيكون الحد الأدنى ، وإذا كان سالبا ، فسيكون الحد الأقصى. إذا كان المشتق الثاني صفرا ، فلا توجد حالات متطرفة.
كيف يمكن العثور على قيم المتغيرات?
يمكن العثور على قيم المتغيرات من خلال حل نظام المعادلات. للقيام بذلك ، قم بمساواة كل معادلة في النظام بالصفر وابحث عن قيم المتغيرات ، واستبدلها ، نحصل على أصفار في كل من المعادلات.