كيفية العثور على جوانب المثلث بزوايا محددة: الطرق والأمثلة

المثلث هو شكل هندسي يتكون من ثلاثة جوانب وثلاث زوايا. في بعض الحالات ، هناك حالات لا تعرف فيها سوى قيم زوايا المثلث ، وليس جوانبها. في مثل هذه الحالات ، من الضروري إيجاد أطوال جميع جوانب المثلث. هناك طرق مختلفة لحل هذه المشكلة. سيتم مناقشة بعضها في هذه المقالة.

تعتمد الطريقة الأولى على استخدام الدوال المثلثية. بمعرفة قيم زوايا المثلث ، يمكنك استخدام نظرية الجيب أو نظرية جيب التمام للتعبير عن أطوال الأضلاع من خلال هذه القيم. هذه الطريقة دقيقة للغاية وتستخدم على نطاق واسع في حل المشكلات العملية.

تعتمد الطريقة الثانية على استخدام التحولات الهندسية. يرتبط ببناء مثلثات متساوية الحجم ومتساوية البعد باستخدام قيم معروفة للزوايا ، ثم حل المعادلات التي تم الحصول عليها للعثور على الجوانب. تستغرق هذه الطريقة وقتا طويلا ، ولكنها قد تكون مفيدة في بعض الحالات ، خاصة إذا لم تكن هناك قيم دقيقة للدوال المثلثية.

مثال: اسمحوا قيم الزوايا في المثلث تكون معروفة: α = 30 درجة مئوية ، β = 45 درجة مئوية ، γ = 105 درجة مئوية. يمكن استخدام نظرية الجيب للتعبير عن قيم الأضلاع أ ، ب ، ج:

الخطيئة / / أ = الخطيئة / / ب = الخطيئة / / ج

استبدال قيم الزوايا وحل المعادلات الناتجة ، يمكنك العثور على قيم جميع جوانب المثلث.

1. المفهوم والأساليب الأساسية لتحديد جوانب المثلث
2. 1. نظرية الجيب
3. 2. نظرية جيب التمام
4. 3. باستخدام مثلثات فيثاغورس
5. طريقة استخدام الجيوب الأنفية
6. طريقة باستخدام الظلال
7. كيفية حساب قيم جوانب المثلث في زوايا محددة
8. مثال على حساب جوانب المثلث باستخدام طريقة الجيب
9. مثال على حساب أضلاع المثلث باستخدام طريقة الظل
10. سؤال وجواب
11. كيف يمكنني العثور على جانبي المثلث في زوايا معينة?
12. كيفية تطبيق قوانين الجيب وجيب التمام للعثور على جوانب المثلث?
13. هل هناك أي طرق أخرى للعثور على جوانب المثلث في زوايا معينة?
14. هل هناك أي ميزات خاصة عند العثور على جوانب المثلث باستخدام علم المثلثات?
15. هل يمكنك إعطاء مثال على مشكلة إيجاد جوانب المثلث بزوايا معينة?

المفهوم والأساليب الأساسية لتحديد جوانب المثلث

المثلث هو شكل هندسي يتكون من ثلاثة جوانب وثلاث زوايا. لتحديد جوانب المثلث ، تحتاج إلى معرفة واحدة على الأقل من القيم التالية: طول جانب واحد وزاويتين ، وطول الجانبين والزاوية بينهما ، أو طول الجوانب الثلاثة. يعرض هذا القسم الطرق الأساسية لتحديد جوانب المثلث.

1. نظرية الجيب

إحدى الطرق الرئيسية لتحديد جوانب المثلث هي استخدام نظرية الجيب. تسمح لك هذه النظرية بإيجاد أطوال أضلاع المثلث إذا كانت أطوال الضلعين والزاوية بينهما معروفة. صيغة نظرية الجيب هي كما يلي:

2. نظرية جيب التمام

طريقة أخرى لتحديد جوانب المثلث هي استخدام نظرية جيب التمام. تسمح لك هذه النظرية بإيجاد أطوال أضلاع المثلث إذا كنت تعرف أطوال الأضلاع الثلاثة أو أطوال الضلعين والزاوية بينهما. تبدو صيغة نظرية جيب التمام كما يلي:

3. باستخدام مثلثات فيثاغورس

إذا كان المثلث مستطيلا ، فيمكن استخدام نظرية فيثاغورس لإيجاد طول أحد أضلاعه. بالنسبة للمثلث القائم الزاوية ذي الأرجل أ و ب والوتر ج ، تبدو صيغة نظرية فيثاغورس كما يلي:

أ^2 + ب^2 = ج^2

باستخدام هذه الطرق ، من الممكن تحديد أطوال أضلاع المثلث وحل المشكلات الهندسية المختلفة.

طريقة استخدام الجيوب الأنفية

تسمح لك طريقة الجيب بالعثور على جوانب المثلث إذا كانت قيم زواياه معروفة.

لتطبيق هذه الطريقة ، من الضروري معرفة قانون الجيب ، الذي ينص على:

نسبة طول جانب المثلث إلى جيب الزاوية المعاكسة تساوي نصف قطر الدائرة المنقوشة.

باستخدام هذا القانون ، يمكنك إنشاء نظام من المعادلات ، وحلها يمكنك العثور على جميع جوانب المثلث.

دعونا ننظر إلى مثال:

1. لدينا مثلث اي بي سي التي تعرف الزوايا: أ = 30° ، ب = 60° ، ج = 90°.
2. وفقا لقانون الجيب ، يمكننا كتابة المساواة التالية:

\\فارك{أ}{\الخطيئة أ} = \فارك{ب}{\الخطيئة ب}= \فارك {ج} {\الخطيئة ج} $ $

1. استبدل القيم المعروفة للزوايا وأعد كتابة المعادلة:

sin\فارك{أ} {\الخطيئة 30}} = \فارك{ب} {\الخطيئة 60}}= \فارك {ج} {\الخطيئة 90}}}

1. احسب قيم زوايا الجيب:

sin\الخطيئة 30 sin = \فارك {1} {2}، \رباعية\الخطيئة 60= = \فارك {\الجذر التربيعي {3}} {2}، \رباعية \الخطيئة 90 = = 1 1

1. دعونا نستبدل قيم الجيب في المعادلة ونحلها:

$ $\فارك {أ} {\فارك {1} {2}}= \فارك {ب} {\فارك {\الجذر التربيعي{3}}{2}} = \فارك{ج}{1}}

2 2 أ = ب \ الجذر التربيعي {3} = ج c

1. يمكنك تحديد أحد الجوانب على أنه غير معروف ، على سبيل المثال أ = 1:

2 2 \سدوت 1 = ب \ سدوت \سكروت{3} = ج {

1. لنحل المعادلات الناتجة:

b ب = \ فارك {2} {\الجذر التربيعي {3}} \تقريبا 1.155 $ $

c ج = 2 2

1. وبالتالي ، فإن جوانب المثلث هي أ 1 1, ب 1 1.155 و ج = 2.

باستخدام طريقة الجيب ، نجحنا في العثور على جميع جوانب المثلث بناء على الزوايا المعطاة.

طريقة باستخدام الظلال

هناك طريقة تسمح لك بالعثور على جوانب المثلث إذا كانت زواياه معروفة. تعتمد هذه الطريقة على استخدام ظلال زوايا المثلث.

لتطبيق هذه الطريقة ، تحتاج إلى:

1. احسب ظل كل زاوية من الزوايا المعروفة للمثلث باستخدام الصيغة تي جي (أ) = أ / ب ، حيث أ هي الزاوية ، أ و ب هي الأضلاع التي تقع بينها الزاوية.
2. يجب وضع القيم التي تم الحصول عليها من ظلال زوايا المثلث في الجدول.
3. احسب أضلاع المثلث باستخدام الصيغة أ = ب * تغ (أ) لكل زاوية ، حيث أ هو الضلع المقابل للزاوية ، ب هو الضلع الآخر ، المعروف باسم نسبة ظل الزاوية إلى قيمة ظل هذه الزاوية.

مثال الحساب:

بناء على هذا الجدول ، يمكنك حساب جوانب المثلث بزوايا محددة. معرفة قيم الظلال من الزوايا واحدة من الجانبين من المثلث ، يمكنك حساب الجانبين الأخرى.

كيفية حساب قيم جوانب المثلث في زوايا محددة

زوايا المثلث وجوانبه مترابطة بشكل وثيق. إذا عرفنا الزوايا الثلاث للمثلث ، يمكننا حساب قيم أضلاعه. هناك عدة طرق لهذا.

1. باستخدام نظرية الجيب. إذا كانت زوايا المثلث أ و ب و ج معروفة ، وكانت الأضلاع المقابلة أ و ب و ج معروفة ، فيمكننا حساب الأضلاع باستخدام الصيغ التالية:
2. باستخدام نظرية جيب التمام. إذا كنت تعرف زوايا المثلث أ ، ب ، ج ، وجوانبها المقابلة أ ، ب ، ج ، يمكننا حساب الأطراف على النحو التالي:

باستخدام هذه الصيغ ، يمكننا حساب قيم أضلاع المثلث إذا كنت تعرف الزوايا. من المهم أن تتذكر أن قيم الأضلاع ستعتمد على وحدات القياس التي يتم فيها قياس الزوايا (الدرجات أو الراديان) وأطوال الأضلاع (على سبيل المثال ، السنتيمترات أو البوصات).

مثال على حساب جوانب المثلث باستخدام طريقة الجيب

تسمح لك طريقة الجيب بحساب أطوال أضلاع المثلث إذا كانت زواياه وأحد أضلاعه معروفة. يتم استخدام النسبة لهذا:

\\فارك{أ}{\الخطيئة(\ألفا)} = \فارك{ب}{\الخطيئة (\بيتا)}= \فارك {ج} {\الخطيئة (\غاما)}}

حيث\ (أ\) ، \ (ب\) ، \ (ج\) هي جوانب المثلث ، \(\ألفا\) ، \(\بيتا\) ، \ (\غاما\) هي الزوايا المقابلة.

دعونا ننظر إلى مثال: نظرا لمثلث مع الجانبين \(ب = 5\) و \(ج = 8\) ، فضلا عن زاوية \(\غاما = 60^\سيرك\).

1. لنجد قيمة الزاوية \(\ألفا\).

منذ مجموع زوايا المثلث هو \(180^ \ سيرك\) ، ثم زاوية \(\ألفا= 180^\سيرك — 60^\سيرك — \بيتا\). لذلك ، \(\ألفا = 120^ \ سيرك - \ بيتا\).

2. لنجد قيمة الزاوية \(\بيتا\).

دعونا نستخدم نظرية الجيب:\(\فارك{أ} {\الخطيئة (\ألفا)} = \فارك{ب} {\الخطيئة (\بيتا)}\).

استبدل القيم المعروفة: \(\frac{a}{\sin(120^\circ — \beta)} = \frac{5}{\sin(\beta)}\).

Упростим выражение: \(5\sin(\beta) = a\sin(120^\circ — \beta)\).

Теперь воспользуемся формулой синуса суммы углов: \(\sin(120^\circ — \beta) = \sin(120^\circ)\cos(\beta) — \cos(120^\circ)\sin(\beta)\).

Так как \(\sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\) и \(\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}\), получаем:

\(5\sin(\beta) = a\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos(\beta) — \frac{1}{2}\sin(\beta)

ight)\).

قسم كلا الجزأين من المعادلة على \ (\الخطيئة (\بيتا)\):

\ (5 = أ \ فارك {\الجذر التربيعي{3}} {2} \ كوس (\بيتا) - أ \ فارك{1}{2}\).

دعونا نعبر عن\ (أ\) من حيث القيم المعروفة:

\(أ=\فارك{5 +\فارك{أ}{2}} {\فارك {\الجذر التربيعي{3}}{2}\كوس (\بيتا)}\).

3. دعونا نجد قيمة الجانب \(أ\).

نحن نستخدم عملية جبرية بسيطة:

\(أ\فارك {\الجذر التربيعي{3}}{2}\كوس (\بيتا) = 5 + \فارك{أ}{2}\).

تقسيم كلا الجزأين من المعادلة من قبل \(\فارك {\الجذر التربيعي{3}} {2} \ كوس (\بيتا)\):

\(أ = \فارك{5 + \فارك{أ}{2}} {\فارك {\الجذر التربيعي{3}}{2}\كوس (\بيتا)}\).

الآن استبدال القيم \(ب\) ، \(ج\) و \(\غاما\) في المعادلة وحل المعادلة الناتجة عن \(أ\).

وبالتالي ، يمكننا حساب أطوال أضلاع المثلث باستخدام طريقة الجيب والقيم المعروفة لزواياه وأحد الأضلاع.

مثال على حساب أضلاع المثلث باستخدام طريقة الظل

يمكن استخدام طريقة الظل لحساب أضلاع المثلث بزوايا محددة. تعتمد هذه الطريقة على خصائص الدوال المثلثية وتسمح لك بإيجاد أطوال أضلاع المثلث إذا كانت قيم الزوايا معروفة.

على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك مثلثا بقيم معروفة لزاويتين: = = 30° و = = 60°. المهمة هي حساب أطوال أضلاع المثلث.

أولا ، نحسب الزاوية الثالثة للمثلث using ، باستخدام خاصية أن مجموع زوايا المثلث هو 180°:

γ = 180° — α — β = 180° — 30° — 60° = 90°

أنت الآن بحاجة إلى تحديد أحد جوانب المثلث كقاعدة ، على سبيل المثال ، الجانب أ:

ملاحظة: اختيار الجانب الأساسي تعسفي ، بناء على راحة الحسابات. في هذا المثال ، اخترنا الجانب أ.

ثم يمكنك استخدام دالات الظل المقابلة لحساب أطوال الضلعين الآخرين للمثلث. على سبيل المثال ، بالنسبة للجانب ب ، يمكن استخدام نظرية الجيب:

ب = أ * تان(tan) = أ * تان (60°)

وبالمثل بالنسبة للجانب ج:

ج = أ * تان(tan) = أ * تان(90°)

وبالتالي ، بعد إجراء العمليات الحسابية ، سنحصل على قيم أطوال أضلاع المثلث.

لهذا المثال:

• α = 30°
• β = 60°
• γ = 90°

لنختار ضلع القاعدة أ. لنحسب أطوال الأضلاع ب و ج:

وبالتالي ، بالنسبة لمثلث بزوايا = = 30° و = = 60° ، ستكون أطوال الأضلاع:

• أ = 1
• ب 1 1.732
• ج = ∞

لاحظ أن الجانب مع طول ج هو لانهائي ، ويرجع ذلك إلى حقيقة أن الظل من زاوية 90° غير محدد.

سؤال وجواب

كيف يمكنني العثور على جانبي المثلث في زوايا معينة?

يمكنك استخدام الدوال المثلثية للقيام بذلك. أولا ، ابحث عن أحد أضلاع المثلث ، ثم استخدم قوانين الجيب وجيب التمام لإيجاد الأضلاع الأخرى.

كيفية تطبيق قوانين الجيب وجيب التمام للعثور على جوانب المثلث?

يقول قانون الجيوب: نسبة أطوال أضلاع المثلث إلى الجيوب الأنفية لزواياها المعاكسة هي نفسها لجميع الجوانب. يربط قانون جيب التمام مربع جانب واحد من المثلث بمجموع مربعات الجانبين الآخرين وجيب التمام للزاوية المعاكسة.

هل هناك أي طرق أخرى للعثور على جوانب المثلث في زوايا معينة?

نعم ، بالإضافة إلى الطرق المثلثية ، هناك طرق أخرى لإيجاد أضلاع المثلث. على سبيل المثال ، يمكنك استخدام الإنشاءات الهندسية أو تطبيق نظريات حول المثلثات.

هل هناك أي ميزات خاصة عند العثور على جوانب المثلث باستخدام علم المثلثات?

نعم ، من أجل تطبيق الدوال المثلثية ، تحتاج إلى معرفة قيم زوايا المثلث. إذا تم إعطاؤك زاويتين فقط من المثلث ، فسيكون مجموع الزاوية المتبقية 180 درجة.

هل يمكنك إعطاء مثال على مشكلة إيجاد جوانب المثلث بزوايا معينة?

لنفترض أن لديك مثلثا تعرف فيه زاويتان: إحداهما 45 درجة والثانية 60 درجة. سيكون مجموع الزاوية المتبقية 180 — 45 — 60 = 75 درجة. ثم يمكنك تطبيق الدوال المثلثية وقوانين الجيب وجيب التمام لإيجاد أضلاع المثلث.