الرسم البياني للدالة التربيعية ص = فأس^2 + بكس + ج هو قطع مكافئ. قد يسمح لنا تحديد المعاملات أ ، ب ، ج لهذه الوظيفة من الرسم البياني بفهم خصائصها بشكل أفضل وإجراء المزيد من الحسابات لهذه الوظيفة. يمكن استخدام هذه المعاملات لإيجاد رأس القطع المكافئ ، أو تحديد قيم الدالة ، أو حل المعادلات. في هذه المقالة ، سننظر في كيفية العثور على أ ، ب ، ج على الرسم البياني للدالة ص = فأس^2 + ب + ج.
نظرا لأن الرسم البياني للدالة هو قطع مكافئ ، يمكننا استخدام خصائص معينة للقطع المكافئ لتحديد معاملاته. على وجه الخصوص ، يمكننا استخدام رأس القطع المكافئ ومحور تناظره لتحديد أ و ب.
لإيجاد المعامل أ ، يجب أن نجد قيمة ص في س = 0. للقيام بذلك ، يمكننا إيجاد نقطة على الرسم البياني أعلى محور الثور (المحور السيني) وتتقاطع مع هذا المحور. سيكون لهذه النقطة إحداثيات (0 ، ج) ، حيث ج هي قيمة ص في س = 0.
لإيجاد المعامل ب ، يجب أن نجد نقطة رأس القطع المكافئ. سيكون لهذه النقطة أصغر أو أكبر إحداثي ص على الرسم البياني ، اعتمادا على علامة المعامل أ. إذا أ > 0 ، فسيتم فتح القطع المكافئ وسيكون رأسه فوق محور الثور. إذا كان < 0 ، فسيتم فتح القطع المكافئ لأسفل وسيكون رأسه أسفل محور الثور. سيتم تحديد إحداثيات رأس القطع المكافئ (ح ، ك) على النحو التالي: ح = -ب / (2 أ) و ك = ج - ب^2 / (4 أ).
- ما هو الرسم البياني للدالة?
- المفاهيم الأساسية
- كيفية العثور على الجزء العلوي من القطع المكافئ
- كيفية العثور على محور التماثل
- إيجاد المعاملات
- الطريقة 1: تحليل الجزء العلوي من الرسم البياني
- الطريقة 2: استخدام النقاط على الرسم البياني
- إيجاد المعامل أ
- إيجاد المعامل ب
- سؤال وجواب
- كيف يمكنني العثور على معاملات أ, ب و ج على الرسم البياني للدالة?
- ما هي البيانات المطلوبة للعثور على معاملات الدالة?
- كيفية إنشاء وحل نظام المعادلات لإيجاد معاملات وظيفة?
- هل هناك أي طرق أخرى للعثور على معاملات وظيفة دون استخدام الرسم البياني أو القياسات?
ما هو الرسم البياني للدالة?
الرسم البياني للدالة هو تمثيل رسومي للعلاقة بين قيم الإدخال والإخراج للدالة. يسمح لك بتصور كيفية تغيير قيمة الوظيفة عند تغيير وسيطتها.
عادة ما يستخدم الرسم البياني للدالة نظام إحداثيات ثنائي الأبعاد ، حيث يمثل المحور الأفقي (المحور السيني) قيم وسيطة الوظيفة ، ويمثل المحور الرأسي (المحور الصادي) قيم الوظيفة نفسها.
يمكن أن يكون للرسم البياني للدالة أشكال مختلفة ، من الخطوط المستقيمة والقطع المكافئ إلى المنحنيات المعقدة. يمكن أن يرتبط شكل الرسم البياني بسلوك الوظيفة اعتمادا على معلماتها.
يمكن أن يحتوي الرسم البياني للدالة أيضا على نقاط أو نقاط اهتمام خاصة ، مثل أصفار الوظيفة ، والتطرف ، ونقاط الانعطاف ، وغيرها. يمكن أن تكون هذه النقاط واللحظات مفيدة لتحليل خصائص الوظيفة وحل المشكلات المختلفة.
العناصر الرئيسية للرسم البياني للوظيفة هي النقاط (التي تحدد إحداثياتها قيمة الوظيفة لوسيطة معينة) والخطوط التي تربط هذه النقاط وتعرض الانتقال من قيمة دالة إلى أخرى.
المفاهيم الأساسية
الدالة التربيعية هي دالة النموذج ص = فأس^2 + ب + ج ، حيث أ ، ب ، ج معاملات ، و أ 0 0.
الرسم البياني للدالة التربيعية هو تمثيل هندسي للعلاقة بين المتغيرات س و ص ، موصوفة بمعادلة دالة تربيعية. كل دالة تربيعية لها رسم بياني فريد خاص بها.
رأس الرسم البياني هو النقطة التي يكون فيها الرسم البياني للدالة التربيعية أعلى أو أدنى ارتفاع.
القطع المكافئ هو رسم بياني لدالة تربيعية ، والتي يمكن أن تأخذ شكل قطع مكافئ مقعر أو منحني ، اعتمادا على قيمة المعامل أ.
نقاط التقاطع مع محاور الإحداثيات هي النقاط التي يتقاطع فيها الرسم البياني للدالة التربيعية مع محوري س و ص. يمكن استخدام إحداثياتها لإيجاد المعاملات أ ، ب ، ج.
المعاملات أ ، ب ، ج هي أرقام تحدد شكل وموضع الرسم البياني للدالة التربيعية. يؤثر المعامل أ على فتح القطع المكافئ ، ويؤثر المعامل ب على إزاحة الرسم البياني إلى اليسار أو اليمين ، ويؤثر المعامل ج على إزاحة الرسم البياني لأعلى أو لأسفل.
طرق إيجاد المعامل-يمكن استخدام طرق مختلفة ، بما في ذلك الحسابات التحليلية والتحليل الرسومي ، لإيجاد المعاملات أ ، ب ، ج على الرسم البياني للدالة التربيعية.
كيفية العثور على الجزء العلوي من القطع المكافئ
قمة الرأس من القطع المكافئ هي واحدة من أهم خصائص هذه الوظيفة. يسمح لك بتحديد موضع القطع المكافئ على الرسم البياني واتجاهه.
- الخطوة 1: ارسم الدالة ص = فأس^2 + ب + ج باستخدام القيم المعطاة أ, ب و ج.
- الخطوة 2: ابحث عن الخط العمودي لتماثل القطع المكافئ. يمر عبر الجزء العلوي من القطع المكافئ.
- الخطوة 3: تحديد إحداثيات قمة الرأس من القطع المكافئ. الرأس له الشكل (ح, ك) ، أين ح هو الإحداثي السيني للرأس و ك هو تنسيق الرأس.
للعثور على إحداثيات الرأس ، يمكنك استخدام الصيغ:
| ح = - ب/(2 أ) | ك = و (ح) = آه^2 + ب + ج |
أين أ, ب و ج هي معاملات القطع المكافئ المحددة من الرسم البياني للدالة.
بعد الحصول على إحداثيات الرأس (ح ، ك) ، ستتمكن من تحديد شكل القطع المكافئ بشكل أكثر دقة وموقعه على مستوى الإحداثيات واتجاه الفتح.
كيفية العثور على محور التماثل
محور التناظر هو خط عمودي يقسم الرسم البياني للدالة التربيعية إلى جزأين متماثلين. للعثور على محور التناظر ، يمكنك استخدام عدة طرق:
- الطريقة الرسومية: ارسم رسما بيانيا للدالة على مستوى إحداثي وابحث عن خط عمودي يقسم الرسم البياني إلى جزأين متطابقين. سيمر محور التناظر عبر هذا الخط.
- طريقة نصف الانقسام: هذه طريقة عددية تسمح لك بالعثور على القيمة الدقيقة لمحور التناظر. يتمثل جوهر الطريقة في تقسيم الجزء الذي يقع عليه رأس الرسم البياني بالتتابع إلى النصف ، حتى يتم العثور على القيمة الدقيقة لمحور التناظر.
- الصيغة: هناك صيغة لإيجاد محور التناظر للدالة التربيعية ، والتي يمكن كتابتها كـ س = -ب / (2 أ) ، حيث أ ، ب ، ج هي معاملات الدالة التربيعية ص=فأس^2+ب+ج. لاحظ أن هذه الصيغة تحدد تماما موضع محور التناظر.
يمكن أن تكون معرفة محور التناظر مفيدة لتحليل الرسم البياني للدالة التربيعية وتحديد خصائصها ، على سبيل المثال ، الرؤوس واتجاهات الفتح.
من المهم أن نتذكر أن محور التناظر هو خط عمودي ، لذلك سيتم تمثيل قيمته فقط على طول المحور س.
إيجاد المعاملات
لإيجاد قيم المعاملات أ ، ب ، ج في المعادلة التربيعية ص = فأس^2 + ب + ج ، عندما يكون الرسم البياني للدالة معروفا ، يمكن استخدام عدة طرق.
الطريقة 1: تحليل الجزء العلوي من الرسم البياني
- من الرسم البياني ، نحدد إحداثيات رأس الدالة (الخامس عشر ، يف).
- استبدال إحداثيات الرأس في المعادلة: يف = أ (الخامس عشر)^2 + ب (الخامس عشر) + ج.
- باستخدام قيمة وجدت يف واحدة من القيم المعروفة الخامس عشر ، يمكنك إنشاء نظام المعادلات:
- نحل نظام المعادلات. الحلول التي تم الحصول عليها هي قيم المعاملات أ ، ب ، ج.
| نظام المعادلات: |
| - أ (الخامس عشر)^2 + ب (الخامس عشر) + ج = يف |
| أ (الخامس عشر)^2 + ب (الخامس عشر) + ج = يف |
الطريقة 2: استخدام النقاط على الرسم البياني
- نختار عدة نقاط على الرسم البياني ملائمة للاستخدام للاستبدال في المعادلة.
- نستبدل إحداثيات النقاط المحددة في المعادلة وننشئ نظاما من المعادلات:
- نحل نظام المعادلات. الحلول التي تم الحصول عليها هي قيم المعاملات أ ، ب ، ج.
| نظام المعادلات: |
| أ (س1)^2 + ب (س1) + ج = ص1 |
| أ (س2)^2 + ب (س2) + ج = ص2 |
| … |
هذان مجرد مثالان على الطرق التي يمكن استخدامها لإيجاد معاملات المعادلة التربيعية من الرسم البياني للدالة. في الواقع ، هناك العديد من الطرق والخوارزميات الأخرى التي تسمح لك بحل هذه المشكلة. يعتمد اختيار الطريقة على البيانات المتاحة وتفضيلات الحساب.
إيجاد المعامل أ
المعامل أ هو معامل س^2 في المعادلة ص = فأس^2 + بكس + ج. للعثور على قيمتها من الرسم البياني للدالة ، يمكنك تنفيذ الخطوات التالية:
- حدد نقطة على الرسم البياني حيث تختلف القيمة س عن الصفر. يمكن أن يكون أي نقطة خارج قمة الرأس من القطع المكافئ (إذا كان موجودا).
- ثم ابحث عن القيمة ص المقابلة في النقطة المحددة.
- باستخدام هذه القيمة ص والقيمة س من النقطة المحددة ، استبدلهما في معادلة القطع المكافئ وحلها فيما يتعلق أ.
بعد حل المعادلة ، ستحصل على المعامل أ. يرجى ملاحظة أنه للحصول على نتيجة أكثر دقة ، ينصح باستخدام عدة نقاط مختلفة على الرسم البياني.
مثال:
| x | y |
|---|---|
| 1 | 3 |
| 2 | 8 |
| 3 | 15 |
استبدل القيم س = 1 و ص = 3 في المعادلة ص = فأس^2 + بكس + ج:
3 = أ * 1^2 + ب * 1 + ج
وبالمثل ، باستخدام قيم أخرى من س و ص من الجدول ، يمكننا إنشاء نظام المعادلات وحلها فيما يتعلق أ.
إيجاد المعامل ب
لإيجاد المعامل ب في معادلة دالة القطع المكافئ التربيعية ص = فأس^2 + ب + ج ، يمكنك استخدام الرسم البياني للدالة.
1. من الضروري أخذ نقطتين مختلفتين على الرسم البياني للوظيفة. للعثور على المعامل ب ، من الملائم تحديد النقاط التي تقع على مسافة معينة من قمة القطع المكافئ.
2. بعد اختيار نقطتين ، تحتاج إلى تحديد إحداثياتها (س1 ، ص1) و (س2 ، ص2).
3. استبدل إحداثيات هذه النقاط في معادلة الوظيفة واحصل على معادلتين بأقواس:
ذ1 = الفأس1^2 + بكس1 + ج
ذ2 = الفأس2^2 + بكس2 + ج
4. اطرح المعادلة الأولى من الثانية للتخلص من المتغير ج:
| ذ2-ذ1 = (الفأس2^2 + بكس2 + ج) - (الفأس1^2 + بكس1 + ج) |
| ص2-ص1 = فأس 2^2 + بكس 2-فأس 1^2-بكس 1 |
تبسيط ، نحصل على:
| ص2-ص1 = أ (س2^2-س1^2) + ب (س2-س1) |
5. بما أننا نعرف القيم (س1 ، ص1) و (س2 ، ص2) ، ووجدنا المعامل أ في القسم السابق ، عندها فقط المتغير ب الذي نريد إيجاده يبقى في المعادلة.
6. استبدال القيم المعروفة ، يمكنك حل المعادلة فيما يتعلق ب والعثور على قيمتها:
| ص2-ص1 = أ (س2^2-س1^2) + ب (س2-س1) |
| ص2-ص1-أ (س2^2-س1^2) = ب (س2-س1) |
| ب = (ص2-ص1-أ (س2^2-س1^2)) / (س2-س1) |
لذلك ، وجدنا المعامل ب وفقا للرسم البياني لدالة القطع المكافئ التربيعية ص = فأس^2 + ب + ج.
سؤال وجواب
كيف يمكنني العثور على معاملات أ, ب و ج على الرسم البياني للدالة?
لإيجاد المعاملات أ ، ب ، ج على الرسم البياني للدالة ص = فأس^2 + ب + ج ، تحتاج إلى معرفة ثلاث نقاط من الرسم البياني للدالة. بعد ذلك ، باستخدام هذه النقاط ، يمكنك إنشاء نظام معادلات تكون فيه المعاملات أ ، ب ، ج غير معروفة. حل هذا النظام ، يمكنك العثور على قيم المعاملات.
ما هي البيانات المطلوبة للعثور على معاملات الدالة?
للعثور على معاملات الوظيفة ص=فأس^2+بكس+ج ، من الضروري معرفة ثلاث نقاط تنتمي إلى الرسم البياني لهذه الوظيفة. يمكن الحصول على هذه النقاط من خلال مراقبة رسم بياني على تمثيل رسومي لدالة أو عن طريق قياس قيم الوظيفة في نقاط محددة.
كيفية إنشاء وحل نظام المعادلات لإيجاد معاملات وظيفة?
لتجميع نظام معادلات لإيجاد معاملات الوظيفة ص = فأس^2 + بكس + ج ، من الضروري استخدام ثلاث نقاط تنتمي إلى الرسم البياني لهذه الوظيفة. من خلال حل نظام المعادلات هذا ، يمكنك إيجاد قيم المعاملات. لحل نظام المعادلات ، يمكنك استخدام طرق الجبر مثل طريقة الاستبدال أو طريقة الاستبعاد أو طريقة كرامر ، اعتمادا على مدى تعقيد النظام والأدوات المتاحة.
هل هناك أي طرق أخرى للعثور على معاملات وظيفة دون استخدام الرسم البياني أو القياسات?
نعم ، هناك طرق أخرى لإيجاد معاملات الدالة ص=فأس^2+بكس+ج بدون استخدام رسم بياني أو قياسات. على سبيل المثال ، يمكنك استخدام طريقة المربعات الصغرى ، والتي تسمح لك بتقريب الرسم البياني للدالة من البيانات المتاحة والعثور على قيم المعاملات. يمكنك أيضا استخدام طرق التحسين أو التحليل العددي للعثور على معاملات لوظيفة معينة. ومع ذلك ، تتطلب هذه الأساليب مهارات حسابية ورياضية أكثر تعقيدا.