يعد بناء المثلثات على جوانب وزوايا معينة أحد المهام الرئيسية للهندسة. في هذه المقالة ، سوف ننظر في كيفية بناء مثلث إذا كنت تعرف الجانبين والزاوية بينهما ، وكذلك اثنين المتاخمة لهذه الزاوية. وتسمى هذه الطريقة "قمة الرأس الزاوي".
لبناء مثلث ، سنحتاج إلى أدوات هندسية مثل المسطرة والمربع. إذا لم يكن لديك هذه الأدوات ، فيمكنك دائما استخدام الموارد عبر الإنترنت أو تطبيقات الهاتف المحمول التي ستساعدك على بناء مثلث بشكل أكثر دقة وأسهل.
ملاحظة: قبل البدء في بناء مثلث ، يوصى بإجراء بعض الفحوصات البسيطة للتأكد من أن المشكلة لها حل وأن البيانات التي تستخدمها موثوقة.
يعتمد وصف خطوات بناء المثلث على القيم المحددة للجوانب والزوايا. بشكل عام ، لبناء مثلث ، تحتاج إلى القيام بما يلي:
- حدد وحدد نقطة على المستوى ، والتي سنعتبرها قمة المثلث.
- ارسم جانبا واحدا من مثلث بطول معين من هذه النقطة باستخدام مسطرة.
- استخدم مربعا لضبط الزاوية بين هذا الضلع والجانب الآخر من المثلث.
- من نقطة تقاطع هذه الجوانب ، ارسم خطا إلى النقطة التي يوجد بها الجانب المتبقي من المثلث.
- قم بتوصيل رؤوس المثلث.
وبالتالي ، وفقا للأضلاع والزاوية المعطاة ، يمكننا بناء مثلث. من المهم أن تتذكر أن الزاوية بين جانبي المثلث يجب أن تكون حادة ، وإلا فلن يتمكن المثلث من البناء أو سيتم بناؤه بشكل غير صحيح.
- تعريف المثلث على الجانبين والزاوية بينهما
- كيفية العثور على الجانب الثالث من المثلث والزوايا الأخرى
- نظرية جيب التمام
- نظرية الجيب
- بناء مثلث على طول الجانب واثنين من الزوايا المجاورة
- كيفية العثور على الجوانب والزوايا الأخرى للمثلث
- 1. قانون الجيب
- 2. نظرية جيب التمام
- 3. بناء زاوية المثلث
- 4. العثور على الزوايا المتبقية
- أمثلة:
- أمثلة على بناء مثلثات وفقا للمعلمات المحددة
- 1. بناء مثلث من أطوال الجانبين
- 2. بناء مثلث على الجانبين والزاوية بينهما
- سؤال وجواب
- هل من الممكن لبناء مثلث على جانب واحد واثنين من الزوايا المجاورة?
تحديد مثلث على الجانبين والزاوية بينهما
يعد تحديد مثلث على جانبين والزاوية بينهما إحدى المهام الرئيسية للهندسة المثلثية. وفقا للبيانات المعطاة ، يمكن تحديد جميع عناصر المثلث:الجانب الثالث ، الزاويتين الأخريين والزوايا الأخرى.
لتحديد مثلث على الجانبين والزاوية بينهما ، يمكنك استخدام قوانين الجيب وجيب التمام.
وبالتالي ، بعد إعطاء بيانات حول الجانبين والزاوية بينهما ، من الممكن تحديد جميع العناصر الأخرى للمثلث وبنائها باستخدام الإنشاءات الهندسية.
على سبيل المثال ، إذا كانت أطوال الجانبين أب و أس معروفة ، وكذلك زاوية باك ، يمكنك استخدام قانون الجيب للعثور على طول الجانب قبل الميلاد. ثم ، وذلك باستخدام قوانين جيب التمام ، يمكنك العثور على زوايا بكا والكابينة. باستخدام هذه البيانات ، يمكنك بناء مثلث أبك.
من المهم أن تتذكر أنه من أجل تحديد مثلث على جانبين والزاوية بينهما ، من الضروري أن تفي القيم المحددة بشرط عدم مساواة المثلث ، أي أن مجموع أي ضلعين للمثلث يجب أن يكون أكبر من الضلع الثالث.
كيفية العثور على الجانب الثالث من المثلث والزوايا الأخرى
للعثور على الضلع الثالث من المثلث والزوايا المتبقية ، عندما تكون أطوال الضلعين والزاوية بينهما معروفة ، يمكنك استخدام نظرية جيب التمام ونظرية الجيب.
نظرية جيب التمام
تنص نظرية جيب التمام:
أ2 = ب2 + ج2-2ب * كوس (أ )
أين أ هو الضلع الثالث للمثلث ، ب و ج هي أضلاع معروفة ، و أ هي الزاوية بين هذين الضلعين.
نظرية الجيب
تنص نظرية الجيب على:
أ / الخطيئة (أ) = ب / الخطيئة (ب) = ج / الخطيئة (ج)
أين أ, ب و ج هي جوانب المثلث ، و أ, ب و ج هي الزوايا المقابلة.
باستخدام نظرية جيب التمام ، يمكن للمرء أن يجد الضلع الثالث للمثلث عن طريق استبدال القيم المعروفة في الصيغة وحلها فيما يتعلق أ.
لإيجاد الزوايا المتبقية للمثلث ، يمكنك استخدام نظرية الجيب. على سبيل المثال ، إذا كنت تعرف طول الضلع أ ، وكذلك الزاويتين ب وج ، يمكنك إيجاد الزوايا المتبقية باستخدام الصيغة:
ب = أركسين (ب * الخطيئة (أ) / أ)
ج = 180° - أ-ب
وبالتالي ، بمعرفة أطوال ضلعي المثلث والزاوية بينهما ، يمكنك إيجاد الضلع الثالث والزوايا المتبقية للمثلث.
بناء مثلث على طول الجانب واثنين من الزوايا المجاورة
إذا عرفنا طول ضلع واحد من المثلث وزاويتين متجاورتين ، فيمكننا بناء مثلث باتباع الخطوات التالية:
- نحتاج إلى رسم مقطع يمثل أحد أضلاع المثلث. هذا الجانب سوف يتوافق مع طول معروف.
- ثم علينا أن نضع إحدى الزوايا المعروفة في أحد طرفي هذا الضلع. يمكننا استخدام منقلة أو شفافية.
- بعد ذلك ، يجب أن نضع الزاوية الثانية المعروفة جانبا من الطرف الآخر لهذا الضلع. يمكننا استخدام منقلة أو شفافية لهذا الغرض.
- من خلال تحديد كلتا الزاويتين المعروفتين ، يمكننا ربط النقطتين حيث حددنا الزاويتين للحصول على الضلع الثالث من المثلث.
لذلك ، باستخدام الجانب المعروف واثنين من الزوايا المجاورة ، يمكننا بناء مثلث فقط مع مساعدة من حاكم ومنقلة أو الشفافية. هذه الطريقة تجعل من السهل بناء مثلث إذا عرفنا جميع المعلمات.
كيفية العثور على الجوانب والزوايا الأخرى للمثلث
عندما يعرف ضلعان وزاوية المثلث بينهما ، فهناك عدة طرق لإيجاد الأضلاع والزوايا الأخرى.
1. قانون الجيب
إذا كانت أطوال ضلعي المثلث أ و ب معروفة ، والزاوية بينهما هي ج ، يمكنك إيجاد الضلع الثالث من ج باستخدام قانون الجيب:
- احسب قيمة الخطيئة (ج) باستخدام الصيغة: الخطيئة (ج) = (أ / ج) = (ب / ج)
- أوجد قيمة الطرف الثالث باستخدام الصيغة: ج = أ / الخطيئة (ج) = ب / الخطيئة (ج)
2. نظرية جيب التمام
إذا كانت أطوال ضلعي المثلث أ و ب معروفة ، والزاوية بينهما هي ج ، يمكنك إيجاد الضلع الثالث من ج باستخدام نظرية جيب التمام:
- احسب مربع الضلع الثالث باستخدام الصيغة: ج^2 = أ^2 + ب^2-2 أب * كوس (ج)
- أوجد قيمة الطرف الثالث بأخذ الجذر التربيعي للقيمة الناتجة: ج = الجذر التربيعي (ج^2)
3. بناء زاوية المثلث
إذا كان طول أحد أضلاع المثلث أ وأطوال الضلعين المتجاورين ب و ج معروفين ، يمكنك إيجاد قيمة الزاوية أ بين هذين الضلعين باستخدام الصيغة:
- احسب قيمة جيب تمام الزاوية أ باستخدام الصيغة: كوس (أ) = (ب^2 + ج^2-أ^2) / (2 * ب * ج)
- أوجد قيمة الزاوية أ بتطبيق دالة جيب التمام العكسي: أ = أرككوس (كوس (أ))
4. إيجاد الزوايا المتبقية
لإيجاد الزوايا المتبقية للمثلث ، إذا كانت أطوال الأضلاع الثلاثة معروفة ، يمكنك استخدام قوانين الجيب أو جيب التمام لحساب قيم الزوايا.
أمثلة:
لنفترض أن المثلث له أضلاع أ = 5 ، ب = 7 وزاوية ج = 60 درجة.
- باستخدام قانون الجيب: الخطيئة(ج) = (أ / ج) = (5 / ج) = > ج = 5 / الخطيئة (ج) = 5 / الخطيئة(60) = 5 / √3/2 = 5 * 2 / √3 = (10√3) / 3
- باستخدام نظرية جيب التمام: ج^2 = أ^2 + ب^2-2 أب * كوس (ج) = 5^2 + 7^2 — 2 * 5 * 7 * كوس(60) = 25 + 49 — 70 * 0.5 = 25 + 49 — 35 = 39 => ج = 39 دولارا
من الممكن أيضا إيجاد الزاوية أ باستخدام صيغة جيب تمام الزاوية أ: كوس (أ) = (ب^2 + ج^2-أ^2) / (2 * ب * ج) = (7^2 + (10√3 / 3)^2 — 5^2) / (2 * 7 * (10√3) / 3) = (49 + (100/3)*3/9 — 25) / (14 * √3) = (49 + 100/3 — 75/3) / (14 √3) = (147 + 100 — 75) / (42√3) = 172 / (42 √3)
أمثلة على بناء مثلثات وفقا للمعلمات المحددة
في هذا القسم ، سنلقي نظرة على عدة أمثلة لبناء مثلثات وفقا لمعايير محددة ، مثل أطوال الأضلاع والزوايا.
1. بناء مثلث بأطوال الأضلاع
لبناء مثلث بناء على أطوال الأضلاع ، تحتاج إلى التأكد من أن مجموع الجانبين الأصغر أكبر من الضلع الثالث. إذا تم استيفاء هذا الشرط ، فيمكن بناء المثلث.
مثال:
- طول الجانب الأول: 5 سم
- طول الجانب الثاني: 7 سم
- طول الجانب الثالث: 9 سم
في هذه الحالة ، يكون مجموع الضلعين الأصغر (5 سم + 7 سم = 12 سم) أكبر من الضلع الثالث (9 سم) ، لذلك يمكن إنشاء مثلث.
2. بناء مثلث على الجانبين والزاوية بينهما
لبناء مثلث على الجانبين والزاوية بينهما ، من الضروري استخدام الدوال المثلثية وقاعدة الجيب.
مثال:
- طول الجانب الأول: 6 سم
- طول الجانب الثاني: 8 سم
- قياس الزاوية بين هذه الجوانب هو 45 درجة
لإنشاء مثلث باستخدام هذه المعلمات ، يمكننا استخدام الصيغة التالية:
| a | الخطيئة (أ) |
| --- | = |
| b | الخطيئة (ب) |
أين:
- أ هو طول الضلع الأول (6 سم)
- ب هو طول الجانب الثاني (8 سم)
- أ هو قياس الزاوية بين هذه الأضلاع (45 درجة)
- ب هي قيمة الزاوية المقابلة للضلع الثاني (تم الحصول عليها من جيب الزاوية أ)
وفقا للمعلمات التي تم أخذها في الاعتبار ، يمكننا إيجاد قيمة الزاوية ب عن طريق استبدال القيم المعروفة في الصيغة وحلها. بعد ذلك ، يمكن بناء المثلث عن طريق قياس الزوايا والجوانب الموجودة.
سؤال وجواب
هل من الممكن لبناء مثلث على جانب واحد واثنين من الزوايا المجاورة?
لا ، لا يمكنك بناء مثلث على جانب واحد وزوايا متجاورة. لبناء مثلث ، تحتاج إلى معرفة إما أطوال الجانبين والزاوية بينهما ، أو أطوال الأضلاع الثلاثة.