في الهندسة ، تتمثل إحدى المهام الرئيسية في تحديد ما إذا كان خطان مستقيمان يقعان في نفس المستوى أم لا. إذا كانت الخطوط تقع في نفس المستوى ، فيمكن وصفها باستخدام معادلة هذا المستوى.
لإثبات أن الخطوط تقع في نفس المستوى ، يجب تنفيذ الخطوات التالية. أولا ، حدد ثلاث نقاط على كل سطر. يجب أن تكون هذه النقاط الثلاث مختلفة ولا تقع على نفس الخط المستقيم.
ثم قم بتكوين المتجهات التي تربط هذه النقاط الثلاث في كل سطر. إذا كانت هذه المتجهات تقع في نفس المستوى (منتجها المختلط هو صفر) ، فهذا يعني أن الخطوط تقع في نفس المستوى. إذا لم يكن المنتج المختلط صفرا ، فإن الخطوط لا تقع في نفس المستوى.
عندما يثبت أن الخطوط تقع في نفس المستوى ، يمكنك إنشاء معادلة لهذا المستوى. للقيام بذلك ، حدد إحدى النقاط على أحد السطور واكتب معادلة المستوى في النموذج فأس + بواسطة + تشيكوسلوفاكيا + د = 0 ، حيث أ ، ب ، ج ، د هي المعاملات التي يمكن العثور عليها باستخدام منتج المتجه وإحداثيات النقطة المحددة. وبالتالي ، فإن معادلة المستوى ستصف جميع النقاط التي تنتمي إلى هذا المستوى.
- كيفية إثبات الطائرة من خطوط مستقيمة?
- استخدم العلاقات أحادية الاتجاه بين العلاقات المباشرة
- تأكد من أن الخطوط لها نقطة مشتركة
- استخدم معيار الحفاظ على النسبة الزاوية
- سؤال وجواب
- كيفية إثبات أن الخطوط تكمن في نفس الطائرة?
- كيفية جعل معادلة طائرة إذا كانت خطوط الكذب في ذلك معروفة?
- إذا كانت خطوط تتقاطع أو متوازية, أنها لا تكمن بالضبط في نفس الطائرة?
- ما هي الطرق التي يمكن استخدامها لإثبات أن الخطوط المستقيمة تكمن في نفس المستوى?
كيفية إثبات الطائرة من خطوط مستقيمة?
لإثبات أن خطين مستقيمين يقعان في نفس المستوى ، من الضروري التحقق من استيفاء أحد الشروط التالية:
- تتقاطع الخطوط المستقيمة;
- الخطوط متوازية;
- تطابق الخطوط.
إذا تقاطعت الخطوط ، فإنها تشكل زاوية ، وتقع نواقلها التوجيهية في نفس المستوى. وهكذا ، تقع الخطوط في نفس المستوى.
إذا كانت الخطوط متوازية ، فإن نواقلها التوجيهية تكون خطية متداخلة ، أي أنها تقع على نفس الخط. لذلك ، تقع الخطوط في نفس المستوى.
إذا تزامنت الخطوط ، فهي نفس الخط المستقيم ، وبالتالي تقع في نفس المستوى.
لإنشاء معادلة لمستوى يحتوي على خطين مستقيمين ، حدد النقطة التي تمر من خلالها الخطوط المستقيمة ، وكذلك المتجهات التي تتوافق مع اتجاهات الخطوط المستقيمة.
- حدد النقطة أ التي تمر من خلالها الخطوط ، وابحث عن إحداثياتها.
- نجد متجهين الخامس 1 و الخامس 2 ، وهي أدلة للخطوط المستقيمة.
- نحن نصنع معادلة المستوى باستخدام النقطة التي تم العثور عليها والمتجهات التوجيهية.
معادلة المستوى لها الشكل فأس + بواسطة + تشيكوسلوفاكيا + د = 0 ، حيث أ ، ب ، ج هي المعاملات التي تحدد المتجهات التوجيهية للخطوط ، و د هو المصطلح الحر الموجود باستخدام إحداثيات النقطة أ.
وبالتالي ، باتباع الخطوات المقترحة ، يمكننا إثبات أن الخطوط تقع في نفس المستوى وتشكل معادلة هذا المستوى.
استخدم العلاقات أحادية الاتجاه بين العلاقات المباشرة
يمكن استخدام العلاقات أحادية الجانب بين الخطوط المستقيمة لإثبات أنها تقع في نفس المستوى. للقيام بذلك ، من الضروري إظهار أن هناك نقطة مشتركة في الفضاء تمر من خلالها جميع الخطوط. لنفترض أن لديك خطين مستقيمين وتريد إثبات أنهما يقعان في نفس المستوى.
- احصل على إحداثيات النقاط التي تمر من خلالها الخطوط. دعونا نشير إليها على أنها أ ، ب ، ج ، د.
- لكل سطر ، تشكل ناقلات أب و أس. خذ إحداثيات النقطة أ كأصل المتجه واطرحها من إحداثيات النقطتين ب و ج ، على التوالي. سيتم الإشارة إلى المتجهات الناتجة على أنها متجه أب ومتجه أس.
- حساب المنتج ناقلات ناقلات أب و أس. إذا كان المنتج المتجه صفرا ، فإن الخطوط تقع في نفس المستوى.
ومع ذلك ، إذا كان المنتج المتجه من أب و أس ليس صفرا ، فهذا يعني أن الخطوط لا تقع في نفس الطائرة.
يمكن حساب المنتج المتجه من أب و أس عن طريق حساب محدد مصفوفة تتكون من إحداثيات المتجهات:
| | | i | j | k |
|---|---|---|---|
| أب | إكس بي-إكس إيه | يب-يا | زي بي-زا |
| أس | شك-شا | يك-يا | زك-زا |
إذا كان محدد المصفوفة صفرا ، فإن منتج المتجه يكون صفرا وتقع الخطوط في نفس المستوى. إذا لم يكن محدد المصفوفة صفرا ، فإن الخطوط لا تقع في نفس المستوى.
إن استخدام العلاقات أحادية الجانب بين الخطوط المستقيمة يجعل من السهل إثبات أنها تقع في نفس المستوى أم لا.
تأكد من أن الخطوط لها نقطة مشتركة
للتحقق مما إذا كان سطرين لهما نقطة مشتركة ، من الضروري حل نظام معادلات يتكون من معادلات هذه الخطوط. إذا كان النظام يحتوي على حل ، فإن الخطوط تتقاطع ولها نقطة مشتركة ، وإلا فإن الخطوط لا تتقاطع ولا تحتوي على نقطة مشتركة.
لتبسيط المهمة ، يمكنك كتابة معادلات الخطوط في شكل حدودي:
السطر 1: س = س 1 + ر1أ1 ، ص = ص1 + ر1ب1 ، ض = ض1 + ر1ج1
السطر 2: س = س 2 + ر2أ2 ، ص = ص2 + ر2ب2 ، ض = ض2 + ر2ج2
أين س1, ص1, ض1 و س2, ص2, ض2 هي إحداثيات النقاط التي تمر من خلالها الخطوط ، و أ1, ب1, ج1 و أ2, ب2, ج2 هي المتجهات التوجيهية للخطوط.
لنأخذ قيمتين تعسفيتين للمعلمات تي1 و تي2 واستبدلها في معادلات الخطوط. إذا تزامنت النقاط التي تم الحصول عليها ، فهذا يعني أن الخطوط لها نقطة مشتركة.
إذا كانت الخطوط تحتوي على نقطة مشتركة ، فيمكنك أيضا التحقق مما إذا كانت تقع في نفس المستوى. للقيام بذلك ، تحتاج إلى العثور على المنتج المتجه للمتجهات التوجيهية للخطوط. إذا كان منتج المتجه يساوي متجه الصفر ، فإن الخطوط تقع في نفس المستوى.
استخدم معيار الحفاظ على النسبة الزاوية
من أجل إثبات أن خطين مستقيمين يقعان في نفس المستوى ولإجراء معادلة لهذا المستوى ، يمكنك استخدام معيار الحفاظ على النسبة الزاوية. يسمح لك هذا المعيار بتحديد ما إذا كانت الخطوط المتقاطعة ستقع في نفس المستوى أم لا.
لتطبيق هذا المعيار ، اتبع الخطوات التالية:
- حدد خطين مستقيمين يفترض أنهما يقعان في نفس المستوى.
- العثور على نقطة مشتركة من تقاطع هذه الخطوط.
- بناء طائرتين: طائرة واحدة تمر عبر نقطة مشتركة وموازية لأحد هذه الخطوط ، وطائرة ثانية تمر عبر نقطة مشتركة وموازية لخط آخر.
- إذا تم الجمع بين هاتين الطائرتين ، فيمكننا أن نستنتج أن الخطوط تقع في نفس المستوى وتشكل معادلة هذا المستوى.
إذا لم تتم محاذاة الطائرات ، فإن الخطوط لا تقع في نفس المستوى.
يتم تنفيذ معادلة المستوى الذي تقع عليه هذه الخطوط على النحو التالي:
- أوجد المتجه التوجيهي لهذا الخط.
- تعيين إحداثيات النقطة التي من خلالها يجب أن تمر الطائرة.
- تشكل معادلة المستوى في النموذج فأس + بواسطة + تشيكوسلوفاكيا + د = 0 باستخدام متجه التوجيه الموجود وإحداثيات النقطة.
وبالتالي ، فإن تطبيق معيار الحفاظ على النسبة الزاوية يجعل من الممكن تحديد ما إذا كان خطان مستقيمان يقعان في نفس المستوى ، وإنشاء معادلة لهذا المستوى إذا لزم الأمر.
سؤال وجواب
كيفية إثبات أن الخطوط تكمن في نفس الطائرة?
لإثبات أن الخطوط تقع في نفس المستوى ، تحتاج إلى التحقق من أنها لا تتقاطع أو ليست متوازية. إذا تقاطعت الخطوط ، فإنها تقع في نفس المستوى. إذا كانت متوازية ، فيمكنك تحديد أي نقطة على أحد الخطوط وبناء عمودي على الخط الآخر عليها. إذا كان هذا العمودي يقع على خط مستقيم ، فإن الخطوط تقع في نفس المستوى.
كيفية جعل معادلة طائرة إذا كانت خطوط الكذب في ذلك معروفة?
إذا كان هناك خطان مستقيمان في المستوى معروفان ، فيمكن استخدام نواقلهما التوجيهية للعثور على المتجه الطبيعي للمستوى. للقيام بذلك ، تحتاج إلى العثور على المنتج المتجه للمتجهات التوجيهية لخطين مستقيمين. بعد ذلك ، من خلال تحديد أي نقطة ملقاة على أحد السطور ، يمكنك تكوين معادلة المستوى في النموذج فأس + بواسطة + تشيكوسلوفاكيا + د = 0 ، حيث (أ ، ب ، ج) هي إحداثيات المتجه الطبيعي ، و (س ، ص ، ض) هي إحداثيات النقطة.
إذا كانت خطوط تتقاطع أو متوازية, أنها لا تكمن بالضبط في نفس الطائرة?
لا ، ليس دائما. إذا تقاطعت الخطوط أو كانت متوازية ، فقد يكون هذا مؤشرا على أنها تقع في نفس المستوى ، لكن الحل لن يكون دائما صحيحا. على سبيل المثال ، في الفضاء ثلاثي الأبعاد ، يمكن أن تقع الخطوط المستقيمة في مستويات مختلفة ، حتى لو كانت تتقاطع أو متوازية للوهلة الأولى. لذلك ، من الضروري استخدام فحوصات وحسابات إضافية لإثبات أن الخطوط تكمن حقا في نفس المستوى.
ما هي الطرق التي يمكن استخدامها لإثبات أن الخطوط المستقيمة تكمن في نفس المستوى?
هناك عدة طرق لإثبات أن الخطوط المستقيمة تقع في نفس المستوى. واحد منهم هو استخدام ناقلات توجيه الخطوط المستقيمة. إذا كان ناتج المتجه لمتجهات التوجيه صفرا ، فإن الخطوط تقع في نفس المستوى. طريقة أخرى هي تحديد نقطة على أحد الخطوط وبناء عمودي على الخط الآخر عند تلك النقطة. إذا كان العمودي يقع على خط مستقيم ، فإن الخطوط تقع في نفس المستوى.