كم عدد الطرق لتحلل كرات ن في صناديق م: تحليل مفصل وأمثلة

تتحلل ن الكرات في م صناديق هي واحدة من المشاكل الكلاسيكية من التوافقية. يمكن أن يكون عدد طرق تحلل الكرات ضخما ويختلف اعتمادا على ظروف المهمة. في هذه المقالة ، سنلقي نظرة على تحليل مفصل لعملية تحلل الكرات ونقدم بعض الأمثلة لتغطية هذا الموضوع بشكل كامل.

بادئ ذي بدء ، دعنا ننتقل إلى أبسط حالة ، عندما يكون لدينا مربع واحد فقط. في هذه الحالة ، سيكون عدد طرق تحلل الكرات مساويا لعدد التباديل لهذه الكرات ، وهو ن!. على سبيل المثال ، إذا كان لدينا 3 كرات ، فيمكن أن تتحلل في 3! = 6 طرق: أبك ، أكب ، باك ، بكا ، كاب ، سبا.

ومع ذلك ، في معظم الحالات لدينا عدة صناديق ، ونحن بحاجة لترتيب الكرات عليها. في مثل هذه الحالة ، يعتمد عدد طرق التحلل بشدة على ظروف المشكلة. إذا كان كل صندوق لا يحتوي على أكثر من كرة واحدة ويجب أن تتحلل جميع الكرات ، فإن عدد الطرق سيكون مساويا لمجموع الأعداد الأولى من القوى العشرة. على سبيل المثال ، لتحلل 3 كرات في 2 صناديق ، سيكون عدد الطرق 10.

1. المفاهيم والمهام الأساسية
2. الطريقة 1:
3. التحلل وفقا للمبدأ
4. الطريقة 2:
5. باستخدام التوافقية
6. أمثلة على الحلول:
7. سؤال وجواب
8. ما هي الطرق الرئيسية لتحلل الكرات ن في صناديق م?
9. ما هي طريقة الجمع مع التكرار?
10. ما هي طريقة التنسيب مع التكرار?
11. ما هي طريقة التقسيم?
12. يمكنك إعطاء مثال على التحلل من 6 كرات في 3 صناديق?

المفاهيم والمهام الأساسية

في التوافقية ، تتمثل مهمة التنسيب في العثور على عدد الطرق الممكنة للتوزيع ن الكرات في م مربعات. عندما يمكن وضع كل كرة في أي من الصناديق ، تسمى المهمة التنسيب غير المشروط. عندما لا يمكن وضع كل كرة إلا في صندوق معين ، تسمى المهمة التنسيب الشرطي.

تتمثل إحدى المهام الرئيسية للتركيبات في تحديد عدد الطرق لوضع كرات مختلفة دون قيد أو شرط في مربعات مختلفة. يمكن حل هذه المشكلة باستخدام صيغة المواضع المتكررة.

هناك عدة طرق لحل مشكلة التنسيب غير المشروط:

• باستخدام صيغة التنسيب مع التكرار;
• استخدام طريقة مبدأ التضمين والاستبعاد;
• باستخدام العودية مع التراجع.

هناك أيضا عدة طرق لحل التنسيب الشرطي:

• سرد جميع الخيارات الممكنة;
• باستخدام مبدأ الضرب;
• باستخدام صيغة التنسيب دون تكرار.

بشكل عام ، مشاكل التوافقية المتعلقة بوضع الكرات في الصناديق لها العديد من التطبيقات في مجالات مختلفة مثل نظرية الاحتمالات والإحصاء والتشفير والبرمجة وغيرها.

الطريقة 1:

من أجل تحلل الكرات ن في صناديق م ، يمكنك استخدام طريقة الفرز من خلال جميع التوليفات الممكنة لتوزيع الكرات.

بادئ ذي بدء ، دعونا ننظر في الحالة عندما تكون جميع المربعات فارغة. ثم لدينا خيار واحد فقط-لوضع كل الكرات في المربع الأول.

الآن دعونا ننظر في الحالة عندما يحتوي المربع الأول بالفعل على كرة واحدة. يمكننا إما تحلل الكرات المتبقية ن-1 في الصناديق المتبقية م-1 ، أو تحلل الكرات المتبقية ن في الصناديق المتبقية م.

وبالتالي ، لكل مربع ، يمكننا النظر في خيارين: إما أن يحتوي هذا المربع على كرة واحدة على الأقل ، أو أنه فارغ.

استمرار المنطق ، يمكننا الحصول على جميع التوليفات الممكنة وعددهم:

1. مربع 1 يحتوي على كرات ، وصناديق 2 و 3 فارغة. عدد المجموعات: ج (ن ، 1) = ن.
2. مربع 2 يحتوي على كرات ، مربع 1 فارغ ، مربع 3 فارغ. عدد المجموعات: ج (ن ، 1) = ن.
3. مربع 3 يحتوي على كرات ، مربع 1 فارغ ، مربع 2 فارغ. عدد المجموعات: ج (ن ، 1) = ن.
4. مربع 1 يحتوي على 1 الكرة ، مربع 2 يحتوي على 1 الكرة ، مربع 3 فارغ. عدد المجموعات: ج (ن-1 ، 1) * ج(ن-1 ، 1) = (ن-1) * (ن-1) = (ن-1)^2.
5. مربع 1 يحتوي على 1 الكرة ، مربع 3 يحتوي على 1 الكرة ، مربع 2 فارغ. عدد المجموعات: ج (ن-1 ، 1) * ج(ن-1 ، 1) = (ن-1) * (ن-1) = (ن-1)^2.
6. مربع 2 يحتوي على 1 الكرة ، مربع 3 يحتوي على 1 الكرة ، مربع 1 فارغ. عدد المجموعات: ج (ن-1 ، 1) * ج(ن-1 ، 1) = (ن-1) * (ن-1) = (ن-1)^2.
7. مربع 1 يحتوي على 1 الكرة ، مربع 2 يحتوي على 1 الكرة ، مربع 3 يحتوي على 1 الكرة. عدد المجموعات: ج (ن-1 ، 1) * ج(ن-1 ، 1) * ج(ن-2 ، 1) = (ن-1) * (ن-1) * (ن-2).

سيكون العدد الإجمالي للمجموعات مساويا لمجموع جميع الخيارات المتكررة: ن + ن + ن +(ن-1)^2 + (ن-1)^2 + (ن-1)^2+ (ن-1) * (ن-1) * (ن-2) = 3 ن + 3(ن-1)^2 + (ن-1) * (ن-2).

على سبيل المثال ، إذا كان لدينا 3 كرات و 2 صناديق، ثم العدد الإجمالي للمجموعات سيكون مساويا ل 3 * 3 + 3 * (2-1)^2 + (2-1) * (2-2) = 15.

التحلل وفقا للمبدأ

طريقة التحلل الرئيسية هي إحدى الطرق الرئيسية المستخدمة لتحديد عدد طرق التوزيع ن الكرات في م مربعات. وهو يقوم على تقسيم المشكلة إلى مهام فرعية أبسط وتطبيق مبدأ الجمع ومبدأ الضرب.

يتكون التحلل وفقا للمبدأ من مرحلتين. في المرحلة الأولى ، تنقسم المهمة العامة إلى مكونات أبسط. في المرحلة الثانية ، يتم تطبيق مبادئ الجمع والضرب لتحديد العدد الإجمالي لطرق حل المشكلة الأصلية.

يبدو برنامج التحلل وفقا للمبدأ كما يلي:

1. تحديد عدد من الكرات ن وصناديق م.
2. حساب عدد من الطرق لتتحلل ن كرات من المربع الأول.
3. حساب عدد الطرق لتحلل الكرات المتبقية في المربعات المتبقية.
4. ضرب نتائج الخطوات السابقة فوق بعضها البعض.

مثال:

يجب ألا يكون هناك 3 كرات (ن = 3) و 2 صناديق (م=2). من الضروري تحديد عدد الطرق لوضع هذه الكرات في الصناديق. دعونا نطبق طريقة التحلل وفقا للمبدأ:

1. عدد طرق وضع 3 كرات في الدرج الأول هو 3.
2. عدد الطرق لوضع 2 كرات في الدرج الثاني هو 2.
3. في المجموع ، وعدد من الطرق لتحلل 3 كرات في 2 صناديق هو 3 * 2 = 6.

وبالتالي ، هناك 6 طرق مختلفة لترتيب 3 كرات في 2 صناديق.

الطريقة 2:

تعتمد هذه الطريقة على تمثيل المشكلة من حيث التوافقية وتقلل إلى تطبيق صيغة للتركيبات والتباديل.

الخطوة الأولى هي تحديد عدد الطرق المختلفة لترتيب جميع الكرات في الصناديق. للقيام بذلك ، يتم استخدام صيغة عاملية ، والتي تشير إلى عدد التباديل:

ن!

أين ن هو العدد الإجمالي للكرات.

بعد ذلك ، تحتاج إلى تحديد عدد التباديل من الكرات في كل مربع. هناك احتمالات نانومتر لكل صندوق بريد. نتيجة لذلك ، فإن العدد الإجمالي لطرق تحلل الكرات ن في صناديق م سيبدو كما يلي:

ن!/ (نانومتر)

مثال:

وهكذا ، في الأمثلة المقدمة ، هناك 6 و 4 و 60 طريقة مختلفة لترتيب الكرات في الصناديق.

باستخدام التوافقية

التوافقية هي أحد فروع الرياضيات التي تدرس التوليفات والتباديل المختلفة للأشياء. في سياق تحلل الكرات في الصناديق ، تتيح لك التوافقية تحديد عدد طرق توزيع الكرات.

تشمل الطرق التوافقية الرئيسية المستخدمة في مشاكل تحلل الكرات في الصناديق ما يلي:

• التنسيب مع التكرار: طريقة تستخدم عندما يكون هناك أي عدد من الكرات المتطابقة في الصناديق. في هذه الحالة ، ترتيب الكرات مهم.
• التنسيب بدون تكرار: طريقة تستخدم عندما يكون هناك أي عدد من الكرات المختلفة في الصناديق. في هذه الحالة ، ترتيب الكرات مهم.
• تركيبة بدون تكرار: طريقة تستخدم عندما لا يكون هناك سوى عدد معين من الكرات المختلفة في الصناديق ، ولا يهم ترتيب الكرات.

لكل من هذه الطرق ، هناك صيغ المقابلة التي تسمح لك لحساب عدد من الطرق لتحلل الكرات في صناديق. على سبيل المثال ، للتنسيب مع التكرار ، يتم استخدام الصيغة:

ن^م ، أين ن هو عدد الكرات ، م هو عدد الصناديق.

إن استخدام التوافقيات في مشاكل تحلل الكرات في الصناديق يجعل من الممكن تحديد جميع خيارات التوزيع الممكنة. هذا مفيد بشكل خاص عند حل المهام العملية ، على سبيل المثال ، عند التخطيط لوضع الضيوف في حدث أو توزيع المنتجات في مستودع.

أمثلة على الحلول:

1. دعونا نضع 5 كرات في صندوقين:

1. توزيع 0 كرات في المربع الأول و 5 كرات في المربع الثاني.
2. توزيع 1 الكرة في المربع الأول و 4 كرات في المربع الثاني.
3. توزيع 2 كرات في المربع الأول و 3 كرات في المربع الثاني.
4. توزيع 3 كرات في المربع الأول و 2 كرات في المربع الثاني.
5. توزيع 4 كرات في المربع الأول و 1 الكرة في المربع الثاني.
6. توزيع 5 كرات في المربع الأول و 0 كرات في المربع الثاني.

في المجموع ، نحصل على 6 طرق مختلفة لترتيب 5 كرات في صندوقين.

2. ضع 4 كرات في ثلاثة صناديق:

1. توزيع 0 كرات في المربع الأول ، 0 كرات في المربع الثاني و 4 كرات في المربع الثالث.
2. توزيع 0 كرات في المربع الأول ، 1 الكرة في المربع الثاني و 3 كرات في المربع الثالث.
3. توزيع 0 كرات في المربع الأول ، 2 كرات في المربع الثاني و 2 كرات في المربع الثالث.
4. توزيع 0 كرات في المربع الأول ، 3 كرات في المربع الثاني و 1 الكرة في المربع الثالث.
5. توزيع 0 كرات في المربع الأول ، 4 كرات في المربع الثاني و 0 كرات في المربع الثالث.
6. توزيع 1 الكرة في الدرج الأول ، 0 كرات في الدرج الثاني و 3 كرات في الدرج الثالث.
7. توزيع 1 الكرة في الدرج الأول ، 1 الكرة في الدرج الثاني و 2 كرات في الدرج الثالث.
8. توزيع 1 الكرة في الدرج الأول ، 2 كرات في الدرج الثاني و 1 الكرة في الدرج الثالث.
9. توزيع 1 الكرة في الدرج الأول ، 3 كرات في الدرج الثاني و 0 كرات في الدرج الثالث.
10. توزيع 2 كرات في المربع الأول ، 0 كرات في المربع الثاني و 2 كرات في المربع الثالث.
11. توزيع 2 كرات في الدرج الأول ، 1 الكرة في الدرج الثاني و 1 الكرة في الدرج الثالث.
12. توزيع 2 كرات في المربع الأول ، 2 كرات في المربع الثاني و 0 كرات في المربع الثالث.
13. توزيع 3 كرات في المربع الأول ، 0 كرات في المربع الثاني و 1 الكرة في المربع الثالث.
14. توزيع 3 كرات في المربع الأول ، 1 الكرة في المربع الثاني و 0 كرات في المربع الثالث.
15. توزيع 4 كرات في المربع الأول ، 0 كرات في المربع الثاني و 0 كرات في المربع الثالث.

في المجموع ، نحصل على 15 طريقة مختلفة لترتيب 4 كرات في ثلاثة صناديق.

سؤال وجواب

ما هي الطرق الرئيسية لتحلل الكرات ن في صناديق م?

الطرق الرئيسية لتحلل كرات ن في صناديق م تشمل طرق الجمع مع التكرار ، ووضع مع التكرار وتقسيم.

ما هي طريقة الجمع مع التكرار?

يتم استخدام طريقة الجمع مع التكرار عندما يمكن وضع كل كرة في أي من صناديق م. صيغة هذه الطريقة هي كما يلي: ج(ن + م-1 ، م-1) ، أين ن هو عدد الكرات ، م هو عدد الصناديق.

ما هي طريقة التنسيب مع التكرار?

يتم استخدام طريقة التنسيب المتكررة عندما يمكن وضع كل كرة في أي من الصناديق ، ويمكن أن يحتوي كل صندوق على العديد من الكرات حسب الرغبة. صيغة هذه الطريقة هي كما يلي: (ن+م-1)!، أين ن هو عدد الكرات ، م هو عدد الصناديق.

ما هي طريقة التقسيم?

يتم استخدام طريقة التقسيم عندما يمكن وضع كل كرة في صندوق واحد فقط. صيغة هذه الطريقة هي كما يلي: ص (ن ، م) ، أين ن هو عدد الكرات ، م هو عدد الصناديق.

يمكنك إعطاء مثال على التحلل من 6 كرات في 3 صناديق?

بالطبع! تحلل 6 كرات في 3 صناديق: (2 ، 2 ، 2). وهذا هو ، وضع 2 كرات في الدرج الأول ، 2 كرات في الدرج الثاني ، و 2 كرات في الدرج الثالث.