الاحتمال هو أحد المفاهيم الأساسية لنظرية الاحتمالات والإحصاء الرياضي. يصف إمكانية حدوث حدث أو عدم حدوثه ضمن مجموعة معينة من الشروط. عند تطبيقه على مهمة سحب الكرات باستمرار من السلة ، يساعد الاحتمال في تحديد فرص الحصول على نتائج معينة ، بشرط أن تحتوي السلة على كرات بيضاء وسوداء.
لنلق نظرة على مثال بسيط لمهمة مماثلة. لنفترض أن هناك 5 كرات بيضاء و 3 كرات سوداء في السلة. والسؤال هو ، ما هو احتمال أنه عندما يتم رسم اثنين من الكرات ، على حد سواء سوف تتحول إلى أن تكون بيضاء. لحل هذه المشكلة ، من الضروري تطبيق قاعدة منتج الاحتمالات.
تنص قاعدة منتج الاحتمال على أن احتمال حدوث حدثين مستقلين يساوي ناتج احتمالاتهما الفردية.
في هذه الحالة ، يتم استخدام السحب المتسلسل للكرات دون العودة ، أي يتم تنفيذ كل سحب لاحق من تلك الكرات التي بقيت بعد السحب السابق. في هذه الحالة ، يكون احتمال سحب كرة بيضاء في السحب الأول هو 5/8 ، وفي السحب الثاني (بشرط أن يتم سحب الكرة البيضاء في السحب الأول) هو 4/7. لذلك ، فإن احتمال أن تتحول كلتا الكرتين الممدودتين إلى اللون الأبيض هو (5/8) * (4/7) = 20/56 = 5/14.
- احتمال سحب متتالية من الكرات الملونة
- احتمال سحب كرة بيضاء من السلة
- احتمال سحب كرة سوداء من السلة
- تأثير الكرات الممدودة السابقة على الاحتمال
- احتمال رسم الكرة البيضاء التالية بالكرة البيضاء السابقة
- احتمال رسم الكرة السوداء التالية مع الكرة البيضاء السابقة
- احتمال رسم الكرة البيضاء التالية مع الكرة السوداء السابقة
- احتمال رسم الكرة السوداء التالية مع الكرة السوداء السابقة
- سحب مع عودة
- سحب دون العودة
- سؤال وجواب
- ما هو احتمال سحب اثنين من الكرات البيضاء في صف واحد من سلة تحتوي على 5 الأبيض و 3 كرات سوداء?
- عند سحب الكرات بالتتابع من سلة تحتوي على 3 أبيض و 2 كرات سوداء, ما هو احتمال سحب الكرة البيضاء أولا?
احتمال سحب متتالية من الكرات الملونة
في مهمة سحب الكرات متعددة الألوان بالتتابع من السلة ، يفترض أن هناك عددا معينا من الكرات ذات الألوان المختلفة في السلة ، على سبيل المثال ، الأسود والأبيض. يمكن حل هذه المشكلة باستخدام نظرية الاحتمالات.
لنفترض أن هناك كرات ن في السلة ، منها كرات م سوداء ، والكرات المتبقية بيضاء. سيكون احتمال رسم كرة سوداء في الخطوة الأولى مساويا لنسبة عدد الكرات السوداء إلى العدد الإجمالي للكرات:
ف (الكرة السوداء في الخطوة الأولى) = م / ن
بعد سحب الكرة السوداء ، تتغير حالة السلة: يتناقص عدد الكرات بمقدار 1 ، كما يتناقص عدد الكرات السوداء بمقدار 1. الآن هناك كرات ن — 1 تركت في السلة ، منها كرة م-1 سوداء.
لاحتمال سحب كرة سوداء أخرى في المحاولة الثانية ، يجب النظر في حالتين:
- إذا تبين أن الكرة المسحوبة الأولى سوداء ، فإن احتمال سحب الكرة السوداء الثانية سيكون مساويا لنسبة العدد المتبقي من الكرات السوداء إلى العدد الإجمالي للكرات المتبقية:
- إذا تبين أن الكرة المسحوبة الأولى بيضاء ، فإن احتمال سحب الكرة السوداء الثانية سيكون مساويا لنسبة عدد الكرات السوداء إلى العدد الإجمالي للكرات المتبقية:
ف (الكرة السوداء في الخطوة الثانية / الكرة السوداء في الخطوة الأولى) = (م-1) / (ن-1)
ف (الكرة السوداء في الخطوة الثانية / الكرة البيضاء في الخطوة الأولى) = م / (ن-1)
من خلال حساب الاحتمالات لمزيد من الخطوات ، يمكنك الحصول على الاحتمال الكلي لسحب الكرات الملونة على التوالي.
على سبيل المثال ، بالنسبة لثلاث كرات ، اثنتان منها سوداء وواحدة بيضاء ، فإن احتمال رسم كرة سوداء في الخطوة الأولى سيكون 2/3. إذا كانت الكرة الأولى سوداء ، فإن احتمال سحب كرة سوداء أخرى في الخطوة الثانية سيكون 1/2. وبالتالي ، فإن الاحتمال الكلي لسحب متتالية من اثنين من الكرات السوداء في هذه الحالة سيكون (2/3) * (1/2) = 1/3.
احتمال سحب كرة بيضاء من السلة
يعتمد احتمال سحب كرة بيضاء من السلة على عدة عوامل ، مثل عدد الكرات البيضاء والسوداء في السلة ، وكذلك عدد مرات السحب.
إذا كان هناك كرات بيضاء وسوداء فقط في السلة ، فيمكن حساب احتمال رسم كرة بيضاء بقسمة عدد الكرات البيضاء على العدد الإجمالي للكرات في السلة.
على سبيل المثال ، إذا كان هناك 5 كرات بيضاء و 3 كرات سوداء في السلة ، فإن احتمال رسم كرة بيضاء سيكون 5/8 ، أو 0.625 ، أي ما يعادل 62.5٪.
ومع ذلك ، إذا لم تعود الكرة إلى السلة بعد كل سحب ، فإن الاحتمال سيتغير. بعد كل سحب ، سينخفض احتمال سحب كرة بيضاء ، حيث سينخفض عدد الكرات في السلة.
بالنسبة للحالات الأكثر تعقيدا ، عندما تكون هناك أنواع مختلفة من الكرات في السلة أو يتم تطبيق قواعد أخرى ، يمكن العثور على الاحتمال باستخدام التوافقية أو صيغة الاحتمال الشرطي.
احتمال سحب كرة سوداء من السلة
يعتمد احتمال سحب كرة سوداء من السلة على تكوين الكرات في السلة. إذا كان العدد الإجمالي للكرات ن وعدد الكرات السوداء م ، فيمكن حساب احتمال سحب كرة سوداء باستخدام الصيغة:
ع (أسود) = م / ن
على سبيل المثال ، إذا كان هناك 5 كرات في السلة ، 2 منها سوداء ، فإن احتمال رسم كرة سوداء سيكون 2/5 أو 0.4 (أو 40٪).
قد يتغير احتمال سحب كرة سوداء مع كل سحب ، لأنه بعد سحب كل كرة ، يتغير تكوين السلة. لحساب احتمال سحب كرة سوداء في سلسلة من عمليات السحب ، يمكنك استخدام احتمال شرطي.
على سبيل المثال ، إذا كان هناك في البداية 5 كرات في السلة ، منها 2 كانت سوداء ، وبعد السحب الأول لم يتم إرجاع الكرة السوداء إلى السلة ، فإن احتمال سحب الكرة السوداء أثناء السحب الثاني سيعتمد على تكوين الكرات المتبقية. إذا كان هناك 4 كرات متبقية في السلة بعد السحب الأول ، منها 1 سوداء ، فإن احتمال سحب كرة سوداء في السحب الثاني سيكون 1/4 أو 0.25 (أو 25٪).
تأثير الكرات الممدودة السابقة على الاحتمال
عند سحب الكرات باستمرار من السلة ، قد يعتمد احتمال سحب لون معين من الكرة على الكرات السابقة المرسومة. هناك العديد من السيناريوهات المثيرة للاهتمام التي توضح تأثير الكرات الطويلة السابقة على الاحتمال. دعونا ننظر إلى بعض منهم:
مع سلة ملونة:
إذا قمنا بسحب الكرات من سلة تحتوي على عدد معين من الكرات من كل لون ، ولم نعيدها مرة أخرى بعد كل سحب ، فإن احتمال سحب الكرة التالية من نفس اللون سيتغير. على سبيل المثال ، إذا كان لدينا 10 كرات بيضاء و 10 كرات سوداء في البداية ، فإن احتمال رسم كرة بيضاء أو سوداء لأول مرة سيكون 0.5 (50٪). ومع ذلك ، إذا رسمنا الكرة البيضاء الأولى ، فإن احتمال سحب الكرة البيضاء التالية سينخفض إلى 9/19 (نظرا لوجود 9 كرات بيضاء متبقية في السلة من أصل 19 كرة متبقية). وبالتالي ، فإن الاحتمال سيتغير مع كل سحب لاحق.
أهلا بكم من جديد الكرات:
إذا أعدنا الكرة الممدودة إلى السلة بعد كل سحب ، فإن احتمال سحب لون معين من الكرة سيبقى دون تغيير مع كل سحب لاحق. على سبيل المثال ، إذا كان لدينا في البداية سلة بها 10 كرات بيضاء و 10 كرات سوداء ، فإن احتمال سحب كرة بيضاء أو سوداء مع كل سحب سيبقى 0.5 (50٪) ، لأننا نعيد الكرة الممتدة إلى السلة.
لذلك ، يعتمد تأثير الكرات المرسومة السابقة على الاحتمال على ما إذا كانت الكرات تعاد إلى السلة بعد كل سحب. من المهم أن تأخذ ذلك في الاعتبار عند تحليل وتوقع احتمال سحب لاحق من لون معين من الكرة.
احتمال رسم الكرة البيضاء التالية بالكرة البيضاء السابقة
لنفترض أن لدينا سلة بها كرات تحتوي على عدد معين من الكرات البيضاء والسوداء. نقوم باستمرار بسحب الكرات من هذه السلة دون إعادتها مرة أخرى.
في البداية ، هناك عدد من الكرات البيضاء والسوداء في السلة. دع ن تشير إلى العدد الإجمالي للكرات المتبقية (أبيض وأسود) ، و م هو عدد الكرات البيضاء المتبقية.
إذا قمنا بالفعل بسحب كرة بيضاء واحدة ، فإن العدد الإجمالي للكرات المتبقية سينخفض بمقدار واحد: ن = ن — 1. وعدد من الكرات البيضاء المتبقية تنخفض أيضا من جانب واحد: م ' = م-1.
احتمال سحب الكرة البيضاء التالية ، بشرط أن تكون الكرة السابقة بيضاء ، يساوي نسبة عدد الكرات البيضاء المتبقية إلى العدد الإجمالي للكرات المتبقية:
ص (الكرة التالية بيضاء / الكرة السابقة بيضاء) = م / ن
على سبيل المثال ، إذا كان هناك في البداية 10 كرات في السلة ، 5 منها بيضاء ، فإن احتمال سحب كرتين أبيضتين بالتتابع سيكون:
| كرة ممدودة | الكرات المتبقية | الكرات البيضاء المتبقية | احتمال الكرة البيضاء القادمة |
|---|---|---|---|
| 1 | 9 | 4 | 4/9 |
| 2 | 8 | 3 | 3/8 |
وبالتالي ، فإن احتمال رسم الكرة البيضاء التالية ، بشرط أن تكون الكرة السابقة بيضاء ، يعتمد على نسبة عدد الكرات البيضاء المتبقية إلى العدد الإجمالي للكرات المتبقية.
احتمال رسم الكرة السوداء التالية مع الكرة البيضاء السابقة
لنفترض أن لدينا سلة بها بعض الكرات البيضاء والسوداء. سننظر في احتمال سحب الكرة السوداء التالية إذا كانت الكرة السابقة التي سحبناها من السلة بيضاء.
لتحديد احتمال رسم كرة سوداء بالكرة البيضاء السابقة ، نحتاج إلى معرفة العدد الإجمالي للكرات في السلة ، بالإضافة إلى عدد الكرات السوداء والبيضاء.
دع العدد الإجمالي للكرات في السلة يكون ن ، وعدد الكرات السوداء هو ب ، وعدد الكرات البيضاء هو ث.
ثم يمكن التعبير عن احتمال رسم الكرة السوداء التالية بعد الكرة البيضاء السابقة بالصيغة:
ع (الكرة السوداء التالية / الكرة البيضاء السابقة) = ب / (ب + ث)
أين ب / (ب + ث) هي نسبة عدد الكرات السوداء إلى العدد الإجمالي للكرات.
على سبيل المثال ، إذا كان هناك 5 كرات سوداء و 3 كرات بيضاء في السلة ، فإن احتمال رسم الكرة السوداء التالية بعد الكرة البيضاء السابقة سيكون 5 / (5 + 3) = 5/8 أو 62.5٪.
وبالتالي ، فإن احتمال رسم الكرة السوداء التالية بالكرة البيضاء السابقة يعتمد على نسبة الكرات السوداء والبيضاء في السلة.
احتمال رسم الكرة البيضاء التالية مع الكرة السوداء السابقة
لنتخيل أن لدينا سلة معينة تحتوي على عدد معين من الكرات البيضاء والسوداء. لنفترض أن كل كرة في السلة لها نفس احتمالية السحب.
لنفترض أننا قمنا بالفعل بسحب كرة واحدة من السلة واتضح أنها سوداء. الآن هدفنا هو معرفة ما هو احتمال سحب الكرة القادمة من سلة بيضاء.
لحل هذه المشكلة ، نحتاج إلى معرفة عدد الكرات المتبقية في السلة وعدد الكرات البيضاء.
لنفترض أن هناك في البداية كرات ن في السلة ، والتي كانت كرات م بيضاء.
نظرا لأننا قمنا بالفعل بسحب كرة سوداء واحدة ، فهناك كرات ن - 1 متبقية في السلة.
هناك م كرات بيضاء من هذه الكرات ن-1 ، وبالتالي فإن احتمال رسم الكرة البيضاء التالية هو:
ع (أبيض / أسود) = م / (ن-1)
وبالتالي ، فإن احتمال سحب الكرة البيضاء التالية مع الكرة السوداء السابقة يعتمد على العدد الإجمالي للكرات في السلة وعدد الكرات البيضاء فيما بينها.
احتمال رسم الكرة السوداء التالية مع الكرة السوداء السابقة
يعتمد احتمال سحب الكرة السوداء التالية بالكرة السوداء السابقة على كيفية سحب الكرات من السلة. هناك خياران رئيسيان: مع عودة وبدون عودة الكرات.
سحب مع عودة
إذا تم سحب الكرات مرة أخرى ، ثم بعد كل سحب يتم إرجاع الكرة مرة أخرى إلى السلة. في هذه الحالة ، يظل احتمال رسم الكرة السوداء التالية بالكرة السوداء السابقة دون تغيير ويساوي الاحتمال الأولي لوجود كرة سوداء في السلة. يعتمد الاحتمال الأولي على نسبة عدد الكرات السوداء إلى إجمالي عدد الكرات في السلة.
سحب دون العودة
إذا تم سحب الكرات دون العودة ، فبعد كل سحب تبقى الكرة خارج السلة. في هذه الحالة ، يعتمد احتمال رسم الكرة السوداء التالية بالكرة السوداء السابقة على عدد الكرات المتبقية في السلة وما هي النسبة الأولية للكرات السوداء والبيضاء.
على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك موقفا كان فيه في البداية 10 كرات في السلة: 6 أسود و 4 أبيض. في السحب الأول ، تم اختيار كرة سوداء ، وبعد ذلك تحتوي السلة على 9 كرات: 5 أسود و 4 أبيض. في هذه الحالة ، سيكون احتمال رسم الكرة السوداء التالية بالكرة السوداء السابقة 5/9 ، نظرا لوجود 5 كرات سوداء من أصل 9 متبقية في السلة.
ستكون الصيغة العامة لحساب احتمالية سحب الكرة السوداء التالية على الكرة السوداء السابقة في حالة السحب دون العودة كما يلي:
| الكرات السوداء قبل سحب | الكرات البيضاء قبل سحب | احتمال رسم الكرة السوداء |
|---|---|---|
| هو ن | m | ن / (ن + م) |
وبالتالي ، فإن احتمال رسم الكرة السوداء التالية بالكرة السوداء السابقة سيعتمد على النسبة الأولية للكرات السوداء والبيضاء في السلة ، وكذلك على عدد الكرات المتبقية بعد الرسم السابق.
سؤال وجواب
ما هو احتمال سحب اثنين من الكرات البيضاء في صف واحد من سلة تحتوي على 5 الأبيض و 3 كرات سوداء?
دعونا نحسب احتمال هذا الحدث. أولا ، دعنا نجد احتمال سحب الكرة البيضاء الأولى من سلة تتكون من 8 كرات. احتمال سحب الكرة البيضاء هو 5/8. بعد ذلك ، عندما يتم سحب الكرة البيضاء الأولى بالفعل ، تبقى 7 كرات في السلة ، 4 منها بيضاء. وبالتالي ، فإن احتمال سحب الكرة البيضاء الثانية هو 4/7. لإيجاد احتمال سحب كرتين أبيضتين على التوالي ، نحتاج إلى مضاعفة هذين الاحتمالين: (5/8) * (4/7) = 20/56 = 5/14.
عند سحب الكرات بالتتابع من سلة تحتوي على 3 أبيض و 2 كرات سوداء, ما هو احتمال سحب الكرة البيضاء أولا?
لإيجاد احتمال الحصول على الكرة البيضاء أولا ، علينا قسمة عدد الكرات البيضاء على إجمالي عدد الكرات في السلة. في هذه الحالة ، فإن احتمال سحب الكرة البيضاء أولا هو 3/(3 + 2) = 3/5.