واحدة من المهام الرئيسية لنظرية الاحتمالات هي تحديد احتمال حدوث حدث معين. في هذه المقالة ، سننظر في احتمال سحب 3 كرات من صندوق يحتوي على 5 كرات بيضاء و 7 كرات سوداء ، بحيث يكون من بين هذه الكرات 3 كرات واحدة على الأقل بيضاء وأخرى سوداء.
بناء على شروط المهمة ، يمكننا تحديد طريقتين رئيسيتين لسحب 3 كرات من الصندوق. الطريقة الأولى هي سحب 1 كرات بيضاء و 2 كرات سوداء ، والطريقة الثانية هي سحب 2 كرة بيضاء و 1 كرة سوداء. دعونا ننظر في كل من هذه الحالات بمزيد من التفصيل.
الطريقة 1: سحب 1 كرات بيضاء و 2 كرات سوداء
من أجل سحب 1 كرة بيضاء و 2 كرات سوداء ، يمكننا اختيار 1 كرة بيضاء من 5 و 2 كرات سوداء من 7. احتمال سحب 1 الكرة البيضاء هو 5/12 ، واحتمال سحب 2 كرات سوداء هو 7/11 * 6/10. لذلك ، فإن احتمال سحب 1 كرات بيضاء و 2 كرات سوداء يساوي ناتج هذين الاحتمالين.
الطريقة 2: سحب 2 أبيض و 1 كرات سوداء
إذا احتجنا إلى سحب 2 كرة بيضاء و 1 كرة سوداء ، فيمكننا اختيار 2 كرة بيضاء من 5 و 1 كرة سوداء من 7. احتمال سحب 2 كرات بيضاء هو 5/12 * 4/11 ، واحتمال سحب 1 الكرة السوداء هو 7/10. وبالتالي ، فإن احتمال سحب 2 كرات بيضاء و 1 سوداء يساوي نتاج هذين الاحتمالين.
الاحتمال النهائي لسحب 3 كرات من الصندوق ، من بينها سيكون هناك واحد على الأقل أبيض وواحد أسود ، يساوي مجموع احتمالات الطريقتين المذكورتين أعلاه.
- احتمال سحب 3 كرات من صندوق مع كرات بيضاء وسوداء
- ملامح احتمال سحب الكرات من خارج منطقة الجزاء
- كيف يؤثر عدد الكرات البيضاء والسوداء على الاحتمال
- الحالة 1: هناك كرات بيضاء أكثر من الكرات السوداء
- الحالة 2: هناك كرات سوداء أكثر من الكرات البيضاء
- الحالة 3: هناك نفس العدد من الكرات البيضاء والسوداء
- كيف يتغير الاحتمال عندما يتم سحب الكرات بالتتابع
- سؤال وجواب
- ما هو احتمال سحب 3 كرات, من بينها هناك واحد على الأقل الأبيض والأسود واحد على الأقل, من خارج منطقة الجزاء مع 5 أبيض و 7 كرات سوداء?
- ما هو احتمال سحب 3 كرات, من بينها هناك بالضبط 2 أبيض و 1 أسود, من خارج منطقة الجزاء مع 5 أبيض و 7 كرات سوداء?
- ما هو احتمال سحب 3 كرات ، من بينها كرات بيضاء فقط ، من صندوق به 5 كرات بيضاء و 7 كرات سوداء?
احتمال سحب 3 كرات من صندوق مع كرات بيضاء وسوداء
تخيل موقفا يوجد فيه 5 كرات بيضاء و 7 كرات سوداء في صندوق. نحن مهتمون باحتمال إخراج 3 كرات من هذا الصندوق ، نظرا لأنه يجب أن يكون هناك كرات بيضاء وسوداء بينها.
لحل هذه المشكلة ، نحتاج إلى النظر في حالتين:
- الكرة الأولى بيضاء
- الكرة الثانية بيضاء
- الكرة الثانية سوداء
- الكرة الأولى سوداء
- الكرة الثانية بيضاء
- الكرة الثانية سوداء
الآن دعونا ننظر في كل حالة على حدة:
الكرة الأولى بيضاء
فرص سحب الكرة البيضاء الأولى: 5 كرات من أصل 12 (إجمالي الكرات في صندوق)
فرص سحب الكرة البيضاء الثانية: 4 كرات من أصل 11 (هناك 11 كرة متبقية في الصندوق بعد سحب الكرة البيضاء الأولى)
احتمالات سحب الكرة الثالثة من أي لون: 10 كرات من أصل 10 (هناك 10 كرات متبقية في الصندوق بعد سحب الكرتين الأولى والثانية)
الكرة الأولى سوداء
فرص سحب الكرة السوداء الأولى: 7 كرات من أصل 12 (إجمالي الكرات في صندوق)
فرص لسحب الكرة الثانية البيضاء: 5 كرات من أصل 11 (هناك 11 كرة متبقية في الصندوق بعد سحب الكرة السوداء الأولى)
احتمالات سحب الكرة الثالثة من أي لون: 10 كرات من أصل 10 (هناك 10 كرات متبقية في الصندوق بعد سحب الكرات البيضاء الأولى والثانية)
الآن دعونا نحسب احتمالات كل حالة:
الحالة 1: الكرة الأولى بيضاء
احتمال سحب 3 كرات مع كرات بيضاء وسوداء: (5/12) * (4/11) * (10/10) = 40/132 = 10/33
الحالة 2: الكرة الأولى سوداء
احتمال سحب 3 كرات مع كرات بيضاء وسوداء: (7/12) * (5/11) * (10/10) = 350/1320 = 25/92
وبالتالي ، فإن الاحتمال الكلي لسحب 3 كرات ، من بينها الأبيض والأسود ، من صندوق به 5 كرات بيضاء و 7 كرات سوداء يساوي:
(10/33) + (25/92) = 330/1089 + 575/1089 = 905/1089 ≈ 0,8297 ( التقريب إلى 4 منازل عشرية)
ملامح احتمال سحب الكرات من خارج منطقة الجزاء
يمكن تحديد احتمال إخراج الكرات من الصندوق باستخدام التوافقيات. لفهم تفاصيل هذه العملية ، من المهم مراعاة العوامل التالية:
- عدد الكرات في صندوق: يحتوي الصندوق على 5 كرات بيضاء و 7 كرات سوداء ، أي ما مجموعه 12 كرة.
- الغرض من الانسحاب: هدفنا هو سحب 3 كرات من خارج منطقة الجزاء. في الوقت نفسه ، نريد أن تكون الكرات البيضاء والسوداء من بين الكرات المختارة.
- مجموعات بدون تكرار: لتحديد احتمال اختيار 3 كرات ، مع الأخذ بعين الاعتبار مجموعات مختلفة ، يمكننا استخدام صيغة مجموعات دون تكرار: ج (ن ، ص) = ن! / (ص!(ن ص)!) ، أين ن هو العدد الإجمالي للكرات في المربع ، و ص هو عدد الكرات التي نريد تحديدها.
دعونا ننظر في سيناريوهين محتملين لسحب الكرات لتحديد الاحتمال:
السيناريو الأول: نحن سحب 2 كرات بيضاء و 1 الكرة السوداء.
- عدد المجموعات لتحديد 2 كرات بيضاء من 5: ج(5 ، 2) = 10
- عدد مجموعات لتحديد 1 الكرة السوداء من 7: ج(7 ، 1) = 7
- العدد الإجمالي للتركيبات الممكنة لهذا السيناريو هو: ج (5 ، 2) * ج (7 ، 1) = 70
السيناريو الثاني: نحن سحب 2 كرات سوداء و 1 الكرة البيضاء.
- عدد المجموعات لتحديد 2 كرات سوداء من 7: ج(7 ، 2) = 21
- عدد مجموعات لتحديد 1 الكرة البيضاء من 5: ج (5 ، 1) = 5
- العدد الإجمالي للتركيبات الممكنة لهذا السيناريو: ج (7 ، 2) * ج(5, 1) = 21 * 5 = 105
أخيرا ، لتحديد احتمال كل سيناريو ، من الضروري قسمة العدد الإجمالي للتركيبات الممكنة لكل سيناريو على العدد الإجمالي للتركيبات الممكنة:
| السيناريو | العدد الإجمالي للتركيبات الممكنة | الاحتمال |
|---|---|---|
| السيناريو الأول | 70 | 70 / (70 + 105) = 0.4 |
| السيناريو الثاني | 105 | 105 / (70 + 105) = 0.6 |
وبالتالي ، يمكننا القول أن احتمال سحب 3 كرات ، من بينها الأبيض والأسود ، من صندوق به 5 كرات بيضاء و 7 كرات سوداء هو 40 ٪ للسيناريو الأول و 60 ٪ للسيناريو الثاني.
كيف يؤثر عدد الكرات البيضاء والسوداء على الاحتمال
احتمال سحب 3 كرات ، من بينها الأبيض والأسود ، من مربع مع ن الأبيض و م كرات سوداء يعتمد على نسبة هذه الألوان. دعونا ننظر في بعض الحالات.
الحالة 1: هناك كرات بيضاء أكثر من الكرات السوداء
إذا كان هناك ن الأبيض و م الكرات السوداء في المربع ، و ن > م ، ثم احتمال سحب 3 كرات من هذا اللون أن هناك كل من الأبيض والأسود فيما بينها سيكون الحد الأقصى. ويرجع ذلك إلى حقيقة أنه مع وجود عدد أكبر من الكرات البيضاء ، فإن احتمال اختيارها في كل خطوة سيكون أعلى من احتمال اختيار الكرات السوداء.
الحالة 2: هناك كرات سوداء أكثر من الكرات البيضاء
إذا كان هناك ن أبيض و م كرات سوداء في المربع ، و ن < م ، ثم احتمال سحب 3 كرات من هذا اللون أن هناك كل من الأبيض والأسود فيما بينها سيكون أقل مما كانت عليه في الحالة السابقة. ويرجع ذلك إلى حقيقة أنه مع وجود عدد أكبر من الكرات السوداء ، فإن احتمال اختيارها في كل خطوة سيكون أعلى من احتمال اختيار الكرات البيضاء.
الحالة 3: هناك نفس العدد من الكرات البيضاء والسوداء
إذا كان هناك ن أبيض و م كرات سوداء في المربع ، و ن = م ، ثم احتمال سحب 3 كرات من هذا اللون أن هناك كل من الأبيض والأسود فيما بينها سيكون متوسط مقارنة بالحالات السابقة. في هذه الحالة ، ستكون احتمالات اختيار الكرات البيضاء والسوداء متساوية في كل خطوة.
بشكل عام ، يؤثر عدد الكرات البيضاء والسوداء في الصندوق على احتمال اختيار كرات بألوان مختلفة ، بشرط أن يكون هناك أبيض وأسود فيما بينها. يتم الوصول إلى أقصى احتمال عندما يتجاوز عدد الكرات البيضاء عدد الكرات السوداء.
كيف يتغير الاحتمال عندما يتم سحب الكرات بالتتابع
تخيل أن لدينا صندوق يحتوي على 5 كرات بيضاء و 7 كرات سوداء. نريد سحب 3 كرات بدورها دون العودة ، أي أننا نعتبر كل سحب بغض النظر عن السابق.
الحالات المحتملة عندما يتم سحب الكرات بالتتابع:
- اسحب 3 كرات بيضاء على التوالي;
- سحب 2 كرات بيضاء و 1 الكرة السوداء;
- سحب 1 الكرة البيضاء و 2 الكرات السوداء;
- اسحب 3 كرات سوداء على التوالي.
للعثور على احتمال كل حالة ، يمكنك استخدام التوافقية ومبدأ مضاعفة الاحتمالات. يتم تحديد احتمال كل انسحاب من خلال نسبة عدد النتائج الإيجابية إلى العدد الإجمالي للنتائج.
بالنسبة للحالة الأولى ، عندما يتم سحب 3 كرات بيضاء على التوالي ، تتكون النتائج الإيجابية من خيار واحد-لسحب جميع الكرات البيضاء الـ 3 من أصل 5 كرات متاحة. يمكن العثور على العدد الإجمالي للنتائج باستخدام صيغة التنسيب بدون تكرار (مجموعات):
عدد النتائج = ج (5 ، 3) = 10
وبالتالي ، فإن احتمال رسم 3 كرات بيضاء على التوالي يساوي:
الاحتمال = 1/10 = 0.1
وبالمثل ، يمكن حساب الاحتمال للحالات المتبقية.
لذلك ، يمكن ملاحظة أن احتمال سحب 3 كرات بيضاء على التوالي أقل بكثير من احتمال سحب 2 كرات بيضاء و 1 أسود ، أو 1 كرة بيضاء و 2 أسود. واحتمال رسم 3 كرات سوداء على التوالي سيكون أقل.
وبالتالي ، عندما يتم سحب الكرات من الصندوق بالتتابع ، يعتمد الاحتمال على تكوين الكرات ويختلف حسب الموقف.
سؤال وجواب
ما هو احتمال سحب 3 كرات, من بينها هناك واحد على الأقل الأبيض والأسود واحد على الأقل, من خارج منطقة الجزاء مع 5 أبيض و 7 كرات سوداء?
للعثور على احتمال سحب 3 كرات تحتوي على كرة واحدة على الأقل من كل لون ، تحتاج إلى العثور على احتمال اختيار الأبيض والأسود وأي لون من الكرة. احتمال اختيار كرة بيضاء في الخطوة الأولى: 5 كرات بيضاء من أصل 12 المتبقية. احتمال اختيار الكرة السوداء في الخطوة الثانية: 7 كرات سوداء من أصل 11 المتبقية. احتمال اختيار أي لون من الكرة على المنعطف الثالث: 12 كرات من أصل 10 المتبقية. الاحتمال النهائي سيكون مساويا لـ: (5/12) * (7/11) * (12/10) = 0.106.
ما هو احتمال سحب 3 كرات, من بينها هناك بالضبط 2 أبيض و 1 أسود, من خارج منطقة الجزاء مع 5 أبيض و 7 كرات سوداء?
للعثور على احتمال سحب 3 كرات تحتوي بالضبط 2 أبيض و 1 أسود ، تحتاج إلى العثور على احتمال اختيار 2 أبيض و 1 الكرة السوداء. احتمال اختيار 2 كرات بيضاء على التحركات الأولين هو (5/12) * (4/11). احتمال اختيار 1 الكرة السوداء على المنعطف الثالث: 7 كرات سوداء من أصل 10 المتبقية. الاحتمال النهائي سيكون مساويا لـ: (5/12) * (4/11) * (7/10) = 0.071.
ما هو احتمال سحب 3 كرات ، من بينها كرات بيضاء فقط ، من صندوق به 5 كرات بيضاء و 7 كرات سوداء?
للعثور على احتمال سحب 3 كرات تحتوي على كرات بيضاء فقط ، تحتاج إلى العثور على احتمال اختيار كرة بيضاء في كل منعطف. احتمال اختيار كرة بيضاء في الخطوة الأولى: 5 كرات بيضاء من أصل 12 المتبقية. احتمال اختيار كرة بيضاء في الخطوة الثانية: 4 كرات بيضاء من أصل 11 المتبقية. احتمال اختيار كرة بيضاء في الخطوة الثالثة: 3 كرات بيضاء من أصل 10 المتبقية. الاحتمال النهائي سيكون مساويا لـ: (5/12) * (4/11) * (3/10) = 0.045.