عندما يتعلق الأمر بالاحتمال ، فإننا نواجه دائما مشاكل رياضية مثيرة للاهتمام. تتمثل إحدى هذه المهام في العثور على احتمال إخراج كرتين من صندوق حيث يوجد 4 كرات بيضاء و 3 كرات سوداء. بمساعدة الأشياء ، وهي الكرات ، يمكننا تصور الحسابات الرياضية بشكل أكثر وضوحا ومعرفة الكرات التي سيتم إخراجها.
السماح س دلالة على عدد من الكرات البيضاء أخرجت ، وص عدد من الكرات السوداء أخرجت. نحن بحاجة إلى إيجاد احتمال أن س=2 و ص = 0. للقيام بذلك ، نستخدم صيغة تقول أن احتمال حدوث حدث يساوي عدد النتائج الإيجابية مقسوما على العدد الإجمالي للنتائج المحتملة.
يمكن العثور على احتمال إخراج جميع الكرات البيضاء على النحو التالي: (عدد الطرق لاختيار 2 كرات بيضاء) / (العدد الإجمالي للمجموعات الممكنة من اثنين من الكرات).
الآن كل ما تبقى هو إدراج القيم وحساب الاحتمال. هل لديك قرار لطيف!
- ما هو احتمال أخذ اثنين من الكرات من خارج منطقة الجزاء مع 4 أبيض و 3 أسود?
- تأثير تكوين الصندوق على احتمال إزالة الكرات
- حساب احتمال أخذ اثنين من الكرات من خارج منطقة الجزاء
- سؤال وجواب
- ما هو احتمال اخراج اثنين من الكرات السوداء في صف واحد?
- ما هو احتمال اخراج واحد أسود واحد الكرة البيضاء?
ما هو احتمال أخذ اثنين من الكرات من خارج منطقة الجزاء مع 4 أبيض و 3 أسود?
لحساب احتمال أخذ كرتين من صندوق به 4 أبيض و 3 أسود ، تحتاج إلى معرفة العدد الإجمالي للنتائج المحتملة وعدد النتائج الإيجابية.
العدد الإجمالي للنتائج المحتملة هو كل التوليفات الممكنة لأخذ كرتين من كل الكرات الموجودة في الصندوق. في هذه الحالة ، لدينا 4 كرات بيضاء و 3 كرات سوداء ، لذلك يمكن حساب العدد الإجمالي للنتائج باستخدام الصيغة نك = نيك / ك!، أين سنك هو عدد مجموعات ن بواسطة ك.
عدد النتائج الإيجابية هو كل التوليفات الممكنة لإخراج كرتين ، حيث تكون كرة واحدة بيضاء والأخرى سوداء. للقيام بذلك ، يجب أن نأخذ في الاعتبار أن لدينا خيارين: عندما يتم إخراج الكرة الأولى باللون الأبيض ، والثانية سوداء ، أو العكس.
باستخدام الصيغة لحساب المجموعات ، يمكننا حساب عدد النتائج الإيجابية. بعد ذلك ، يمكن حساب احتمال إخراج كرتين بألوان مختلفة بقسمة عدد النتائج الإيجابية على العدد الإجمالي للنتائج المحتملة.
ستكون نتيجة الحساب هي القيمة الاحتمالية لإخراج كرتين بألوان مختلفة من صندوق به 4 أبيض و 3 أسود.
تأثير تكوين الصندوق على احتمال إزالة الكرات
يعتمد احتمال إخراج كرتين من صندوق به 4 كرات بيضاء و 3 كرات سوداء على توزيعها الأولي. يؤثر تغيير عدد الكرات البيضاء والسوداء في الصندوق على احتمال إخراج اللون المطلوب.
وتجدر الإشارة إلى أن احتمال أخذ اثنين من الكرات البيضاء من خارج منطقة الجزاء سوف تختلف عن احتمال أخذ اثنين من الكرات السوداء ، لأن عدد الكرات من كل لون مختلف. تستخدم الصيغ التوافقية وقاعدة الضرب الاحتمالية لحساب الاحتمال.
على سبيل المثال ، إذا كان هناك 4 كرات بيضاء و 3 كرات سوداء في صندوق، فإن احتمال إخراج كرتين أبيضتين سيكون:
ف (اثنين من الكرات البيضاء) = (4/7) * (3/6) = 2/7
وبالتالي ، فإن احتمال إزالة اثنين من الكرات البيضاء من هذا المربع هو 2/7 أو حوالي 0.286.
وبالمثل ، فإن احتمال إزالة اثنين من الكرات السوداء من مثل هذا المربع سيكون مساويا ل:
ف (اثنين من الكرات السوداء) = (3/7) * (2/6) = 1/7
وبالتالي ، فإن احتمال إزالة اثنين من الكرات السوداء من هذا المربع هو أيضا 1/7 أو حوالي 0.143.
يوضح هذا المثال أن احتمال إزالة الكرات يعتمد على تكوين الصندوق. يمكن إجراء حسابات مماثلة لمجموعات مختلفة من الكرات البيضاء والسوداء لتحديد احتمال إخراج مجموعة ألوان معينة.
جدول احتمالات أخذ اثنين من الكرات من خارج منطقة الجزاء:
| عدد الكرات البيضاء | عدد الكرات السوداء | احتمال إخراج اثنين من الكرات البيضاء | احتمال إخراج اثنين من الكرات السوداء |
|---|---|---|---|
| هو 4 | 3 | 2/7 | 1/7 |
| 3 | 4 | 1/7 | 2/7 |
| 4 | 2 | 2/9 | 1/9 |
| 2 | 4 | 1/9 | 2/9 |
وهكذا ، اعتمادا على التكوين المحدد للمربع.
وبالتالي ، فإن تكوين الصندوق مع الكرات يؤثر بشكل كبير على احتمال إزالة الكرات من لون معين. تسمح لك الصيغ التوافقية وقاعدة الضرب بحساب هذه الاحتمالات ونسبتها إلى العدد الإجمالي للكرات من كل لون.
حساب احتمال أخذ اثنين من الكرات من خارج منطقة الجزاء
يتم إعطاء مهمة إزالة كرتين من صندوق يحتوي على 4 كرات بيضاء و 3 كرات سوداء. من الضروري حساب احتمال أن الكرات المستخرجة سيكون لها ألوان معينة.
الخطوة 1: تحديد العدد الإجمالي للنتائج المحتملة.
في هذه المشكلة ، العدد الإجمالي للنتائج المحتملة يساوي عدد الطرق لإخراج كرتين من الصندوق.
يتم استخدام مجموعة بدون تكرار لتحديد العدد الإجمالي للنتائج المحتملة. يشار إليها باسم ج (م ، ن) ، أين م هو العدد الإجمالي للكائنات و ن هو عدد الكائنات التي سيتم تحديدها. في هذه الحالة ، لدينا:
ج (7 ، 2) = 7! / (2! * (7 — 2)!) = 7! / (2! * 5!) = 7 * 6 / (2 * 1) = 21.
الخطوة 2: تحديد عدد النتائج الإيجابية.
في هذه المشكلة ، يكون عدد النتائج الإيجابية مساويا لعدد الطرق لإخراج كرتين من لون معين.
يتم استخدام تركيبة بدون تكرار أيضا لتحديد عدد النتائج الإيجابية. يشار إليه على أنه ج (ك, ن) ، أين ك هو عدد الكائنات ذات لون معين (أبيض أو أسود) ، و ن هو عدد الكائنات ذات لون معين ليتم تحديدها. في هذه الحالة ، لدينا:
- لإخراج اثنين من الكرات البيضاء: ج(4 ، 2) = 4! / (2! * (4 — 2)!) = 4! / (2! * 2!) = 4 * 3 / (2 * 1) = 6.
- لإخراج اثنين من الكرات السوداء: ج(3 ، 2) = 3! / (2! * (3 — 2)!) = 3! / (2! * 1!) = 3 / 2 = 3.
الخطوة 3: احسب الاحتمال.
احتمال إخراج اثنين من الكرات من لون معين يساوي نسبة عدد النتائج المواتية إلى العدد الإجمالي للنتائج المحتملة:
- لإخراج اثنين من الكرات البيضاء: ص (أبيض) = ج (4 ، 2) / ج(7, 2) = 6 / 21 = 2 / 7.
- لإخراج اثنين من الكرات السوداء: ص (أسود) = ج (3 ، 2) / ج(7, 2) = 3 / 21 = 1 / 7.
وبالتالي ، فإن احتمال إخراج كرتين أبيضتين من الصندوق هو 2/7 ، واحتمال إخراج كرتين أسودتين هو 1/7.
سؤال وجواب
ما هو احتمال اخراج اثنين من الكرات السوداء في صف واحد?
للعثور على احتمال إخراج اثنين من الكرات السوداء في صف واحد ، ونحن بحاجة إلى النظر في خيارين: عندما الكرات الأولى والثانية سوداء. احتمال إخراج الكرة السوداء الأولى هو 3/7 (منذ 7 كرات ، 3 سوداء) ، واحتمال إخراج الكرة السوداء الثانية ، بشرط أن تكون الكرة الأولى سوداء بالفعل ، هو 2/6 (من الكرات الست المتبقية ، 2 سوداء). وفقا لصيغة حاصل ضرب الاحتمالات ، يحدث كلا الحدثين بشكل مستقل ، لذلك نقوم بضرب الاحتمالات: (3/7) * (2/6) = 1/7, وهو ما يساوي تقريبا 0.14285714285714285 (7 أرقام مهمة). وبالتالي ، فإن احتمال إخراج اثنين من الكرات السوداء على التوالي هو حوالي 0.1429 أو حوالي 14.29٪.
ما هو احتمال اخراج واحد أسود واحد الكرة البيضاء?
لإيجاد احتمال إخراج كرة سوداء وأخرى بيضاء ، نحتاج إلى التفكير في خيارين: عندما تكون الكرة الأولى سوداء والثانية بيضاء ، وعندما تكون الكرة الأولى بيضاء والثانية سوداء. احتمال إخراج الكرة السوداء الأولى هو 3/7 (منذ 7 كرات ، 3 سوداء) ، واحتمال إخراج الكرة البيضاء الأولى هو 4/7 (4 كرات بيضاء من 7). بالنسبة للكرة الثانية ، سيختلف الاحتمال أيضا اعتمادا على ما كانت عليه الكرة الأولى. إذا كانت الكرة الأولى سوداء ، فإن احتمال إزالة الكرة البيضاء هو 4/6 (4 أبيض من 6 المتبقية) ، وإذا كانت الأولى بيضاء ، فإن احتمال إزالة الكرة السوداء هو 3/6 (3 أسود من 6 المتبقية). وفقا لصيغة حاصل ضرب الاحتمالات ، فإن كلا الحدثين (الأسود الأول والأبيض الثاني ، والأبيض الأول والأسود الثاني) مستقلان ، لذلك نضرب الاحتمالات المقابلة. نتيجة لذلك ، نحصل على: (3/7 * 4/6) + (4/7 * 3/6) = 12/42 + 12/42 = 24/42, وهو 4/7 أو حوالي 0.5714 (4 أرقام مهمة). وبالتالي ، فإن احتمال إخراج كرة واحدة سوداء وأخرى بيضاء هو حوالي 0.5714 أو حوالي 57.14٪.