من أجل إثبات أن مثلث أبك مستطيل ، سننظر في النقاط المعطاة أ(1 ، 5 ، 3) ، ب(7 ، 1 ، 3) و ج(3 ، 2 ، 6). للقيام بذلك ، سوف نحتاج إلى المعرفة من الهندسة والجبر.
لنستخدم نظرية فيثاغورس ، التي تنص على أنه في المثلث القائم الزاوية ، يكون مربع طول الوتر مساويا لمجموع مربعات أطوال الأرجل. إذا كان المثلث المطلوب مستطيلا ، فستحتفظ هذه النظرية بجوانب المثلث.
باستخدام الصيغة لحساب المسافة بين نقطتين في الفضاء ثلاثي الأبعاد ، يمكننا إيجاد أطوال أضلاع مثلث أي بي سي. بعد ذلك ، باستبدال هذه القيم في صيغة نظرية فيثاغورس ، يمكننا التحقق من تحقيقها لهذا المثلث وإثبات تربيعه.
- دليل على تربيع مثلث اي بي سي
- النقاط المعطاة هي أ (1 ، 5 ، 3) ، ب (7 ، 1 ، 3) و ج (3 ، 2 ، 6)
- التحقق من أطوال أضلاع المثلث
- حساب ناقلات أب و أس
- التحقق من عمودي المتجهات أب و أس
- استنتاج حول تربيع مثلث اي بي سي
- سؤال وجواب
- كيف يمكننا إثبات أن مثلث اي بي سي مستطيل?
- ما هي إحداثيات القمم من مثلث اي بي سي?
- ما هي أطوال الجانبين من مثلث اي بي سي?
- كيف يمكنني التحقق من أن مثلث اي بي سي مستطيل?
دليل على تربيع مثلث اي بي سي
لإثبات تربيع مثلث أبك ، نحتاج إلى التحقق من استيفاء الشروط:
- يحتوي مثلث أبك على جانبين متعامدين مع بعضهما البعض ، أي أنهما يشكلان زاوية قائمة.
- مثلث أبك له جانب واحد ، وهو الوتر من مثلث قائم الزاوية ، والجانبين الآخرين هي القسطرة.
بناء على النقاط المعطاة أ(1 ، 5 ، 3) ، ب(7 ، 1 ، 3) و ج(3 ، 2 ، 6) ، يمكننا حساب أطوال أضلاع مثلث أبك والزوايا بينهما ، ثم تحقق من استيفاء الشروط المذكورة أعلاه.
حساب أطوال الجانبين من مثلث أبك:
- الجانب أب: √((7-1)^2 + (1-5)^2 + (3-3)^2) = √(36 + 16 + 0) = √52
- جانب الشمس: √((3-7)^2 + (2-1)^2 + (6-3)^2) = √((-4)^2 + 1 + 9) = √26
- الجانب كاليفورنيا: √((1-3)^2 + (5-2)^2 + (3-6)^2) = √((-2)^2 + 9 + 9) = √22
حساب زوايا المثلث أبك:
- زاوية أ: أرككوس((√26^2 + √22^2 — √52^2) / (2 * √26 * √22))
- الزاوية ب: أرككوس((√52^2 + √22^2 — √26^2) / (2 * √52 * √22))
- زاوية ج: أرككوس((√26^2 + √52^2 — √22^2) / (2 * √26 * √52))
إذا كانت جميع الزوايا 90 درجة ، ثم مثلث أبك مستطيل. خلاف ذلك ، المثلث ليس مستطيلا.
النقاط المعطاة هي أ (1 ، 5 ، 3) ، ب (7 ، 1 ، 3) و ج (3 ، 2 ، 6)
لإثبات تربيع مثلث اي بي سي عند النقاط المعطاة أ (1 ، 5 ، 3) ، ب(7 ، 1 ، 3) و ج(3 ، 2 ، 6) ، نحتاج إلى تطبيق تعريف المثلث القائم الزاوية.
تعريف المثلث القائم الزاوية:
يسمى المثلث مستطيلا إذا كان مجموع المربعات من أطوال ساقيه يساوي مربع طول الوتر.
في حالتنا ، مثلث أبك له جوانب:
أب = √((7-1)^2 + (1-5)^2 + (3-3)^2) = √(36 + 16 + 0) = √52 ≈ 7.211
أس = √((1-3)^2 + (5-2)^2 + (3-6)^2) = √(4 + 9 + 9) = √22 ≈ 4.690
قبل الميلاد = √((7-3)^2 + (1-2)^2 + (3-6)^2) = √(16 + 1 + 9) = √26 ≈ 5.099
الآن يمكننا تطبيق تعريف المثلث القائم الزاوية والتحقق مما إذا كانت المساواة ثابتة:
أب ^ 2 + أس^2 = قبل الميلاد^2
7.211^2 + 4.690^2 ≈ 52 + 22 ≈ 74
5.099^2 ≈ 26
منذ القيم التي تم الحصول عليها ليست متساوية ، مثلث أبك ليست مستطيلة.
التحقق من أطوال أضلاع المثلث
للتحقق من تربيع مثلث أبك مع النقاط المحددة أ (1 ، 5 ، 3) ، ب(7 ، 1 ، 3) و ج(3 ، 2 ، 6) ، يجب عليك أولا تحديد أطوال أضلاعه.
المثلث الأيمن أبك له ثلاثة جوانب: أب ، أس و قبل الميلاد.
- لحساب طول الجانب أب ، تحتاج إلى استخدام صيغة المسافة بين نقطتين في الفضاء ثلاثي الأبعاد:
- أب = √((س2 — س1)^2 + (ص2-ص1)^2 +(ض2-ض1)^2)
- أين (س1, ص1, ض1) و (س2, ص2, ض2) هي إحداثيات النقاط أ(1, 5, 3) و ب(7, 1, 3).
- أب = √((7 — 1)^2 + (1 — 5)^2 + (3 — 3)^2) = √(6^2 + (-4)^2 + 0^2) = √(36 + 16 + 0) = √52 ≈ 7.211
- وبالمثل ، نحسب طول ضلع التيار المتردد:
- AC = √((x3 — x1)^2 + (y3 — y1)^2 + (z3 — z1)^2)
- где (x3, y3, z3) — координаты точки С(3, 2, 6).
- AC = √((3 — 1)^2 + (2 — 5)^2 + (6 — 3)^2) = √(2^2 + (-3)^2 + 3^2) = √(4 + 9 + 9) = √22 ≈ 4.69
- Также вычислим длину стороны ВС:
- BC = √((x3 — x2)^2 + (y3 — y2)^2 + (z3 — z2)^2)
- BC = √((3 — 7)^2 + (2 — 1)^2 + (6 — 3)^2) = √((-4)^2 + 1 + 3^2) = √(16 + 1 + 9) = √26 ≈ 5.1
الآن بعد أن أصبحت أطوال الأضلاع الثلاثة معروفة ، يمكنك البدء في التحقق من تربيع المثلث.
حساب ناقلات أب و أس
لحساب المتجه أب ، تحتاج إلى طرح إحداثيات النقطة أ من إحداثيات النقطة ب:
| إحداثيات النقطة أ | إحداثيات النقطة ب | ناقلات أب | |||
|---|---|---|---|---|---|
| شا = 1 | يا = 5 | الموارد الخارجة عن الميزانية = 7 | يب = 1 | زاب = 7 - 1 = 6 | ياب = 1 - 5 = -4 |
| زا = 3 | زي بي = 3 | زاب = 3 - 3 = 0 |
وهكذا ، فإن ناقلات أب لديه إحداثيات (6 ، -4 ، 0).
وبالمثل ، لحساب المتجه التيار المتردد ، تحتاج إلى طرح إحداثيات النقطة أ من إحداثيات النقطة ج:
| إحداثيات النقطة أ | إحداثيات النقطة ج | ناقل التيار المتردد | |||
|---|---|---|---|---|---|
| شا = 1 | يا = 5 | إكس سي = 3 | يك = 2 | زاك = 3 - 1 = 2 | ياك = 2 - 5 = -3 |
| زا = 3 | زك = 6 | زاك = 6 - 3 = 3 |
وبالتالي ، فإن ناقل التيار المتردد له إحداثيات (2 ، -3 ، 3).
التحقق من عمودي المتجهات أب و أس
للتحقق من عمودي ناقلات أب و أس ، فمن الضروري العثور على المنتج العددية والتحقق مما إذا كان يساوي الصفر.
أولا ، دعنا نحسب المتجه أب. عندما تختلف إحداثيات النقطتين أ و ب ، نحصل على المتجه أب:
أب = (7 — 1, 1 — 5, 3 — 3) = (6, -4, 0)
ثم نحسب التيار المتردد المتجه. عندما تختلف إحداثيات النقطتين أ و ج ، نحصل على المتجه أ:
أس = (3 — 1, 2 — 5, 6 — 3) = (2, -3, 3)
الآن دعونا العثور على المنتج العددية من ناقلات أب و أس. للقيام بذلك ، اضرب الإحداثيات المقابلة للمتجهات وأضف المنتجات الناتجة:
| أب | أس | أب AC أس |
|---|---|---|
| (6) | (2) | 12 |
| (-4) | (-3) | 12 |
| (0) | (3) | 0 |
مجموع الأعمال المستلمة هو 24.
وبالتالي ، فإن المنتج العددي للمتجهات أب و أس ليس صفرا ، وبالتالي ، فإن المتجهات ليست متعامدة مع بعضها البعض.
استنتاج حول تربيع مثلث اي بي سي
لاستخلاص استنتاج حول تربيع مثلث أبك ، تحتاج إلى التحقق من تحقيق أحد الشروط التالية:
- إذا كان مربع طول الجانب أب يساوي مجموع المربعات من أطوال الجانبين قبل الميلاد و أس ، ثم مثلث أبك مستطيل.
- إذا كان مربع طول الجانب قبل الميلاد يساوي مجموع المربعات من أطوال الجانبين أب و أس،ثم مثلث أبك مستطيل.
- إذا كان مربع طول الجانب أس يساوي مجموع المربعات من أطوال الجانبين أب و قبل الميلاد،ثم مثلث أبك مستطيل.
من المعطى أن النقطة أ لها إحداثيات (1 ، 5 ، 3) ، والنقطة ب لها إحداثيات (7 ، 1 ، 3) ، والنقطة ج لها إحداثيات (3 ، 2 ، 6). للتحقق من تربيع مثلث أبك ، تحتاج إلى حساب أطوال الجانبين والتحقق من استيفاء الشروط.
| الجانب | طول |
|---|---|
| من أب | √((7-1)^2 + (1-5)^2 + (3-3)^2) = √36 + 16 + 0 = √52 ≈ 7.211 |
| الشمس | √((3-7)^2 + (2-1)^2 + (6-3)^2) = √16 + 1 + 9 = √26 ≈ 5.099 |
| كما | √((1-3)^2 + (5-2)^2 + (3-6)^2) = √4 + 9 + 9 = √22 ≈ 4.690 |
مربعات أطوال الأضلاع:
- أب^2 = (7.211)^2 ≈ 52.085
- الشمس^2 = (5.099)^2 ≈ 26.001
- كما^2 = (4.690)^2 ≈ 21.964
نظرا لعدم استيفاء أي من الشروط (1) أو (2) أو (3) ، لا يمكننا أن نستنتج أن مثلث أبك مستطيل.
سؤال وجواب
كيف يمكننا إثبات أن مثلث اي بي سي مستطيل?
لإثبات أن مثلث أبك مستطيل ، فمن الضروري التأكد من أن أحد جانبي المثلث هو الوتر من المثلث القائم ، والجانبين الآخرين هي كاثيتس. للقيام بذلك ، من الضروري التحقق من أن مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعات أطوال الساقين وفقا لنظرية فيثاغورس.
ما هي إحداثيات القمم من مثلث اي بي سي?
إحداثيات رؤوس مثلث أبك هي (1 ، 5 ، 3) ، ب(7 ، 1 ، 3) و ج(3 ، 2 ، 6).
ما هي أطوال الجانبين من مثلث اي بي سي?
يمكن حساب أطوال أضلاع مثلث أبك باستخدام صيغة المسافة بين نقطتين في الفضاء ثلاثي الأبعاد. طول الجانب أب يساوي √((7-1)2 + (1-5)2 + (3-3)2) = √36 = 6. طول الجانب من المتكلم يساوي √((3-1)2 + (2-5)2 + (6-3)2) = √30. طول جانب الشمس يساوي √((3-7)2 + (2-1)2 + (6-3)2) = √26.
كيف يمكننا التحقق من أن مثلث اي بي سي مستطيل?
للتحقق من أن مثلث اي بي سي مستطيل ، يمكننا استخدام نظرية فيثاغورس. إذا كان مربع طول الضلع الأكبر للمثلث يساوي مجموع مربعات أطوال الضلعين الآخرين ، فإن المثلث يكون مستطيلا. في هذه الحالة ، يجدر التحقق من المساواة 62 = 30 + 26 ، وإذا تم الوفاء بها ، ثم مثلث أبك مستطيل.