إثبات تعدد 6 للتعبير ن^3-43 ن لجميع القيم الطبيعية لـ ن يعتمد على تحليل ما تبقى من هذا التعبير عند القسمة على 6. لإظهار أن التعبير قابل للقسمة على 6 ، من الضروري إثبات شيئين:
- التعبير مقسوم على 2;
- التعبير مقسوم على 3.
لإثبات العبارة الأولى ، نلاحظ أنه يمكن تمثيل كل رقم طبيعي بإحدى طريقتين: إما ن = 2ك أو ن = 2ك + 1. إذا ن = 2ك ، ثم ن^3-43ن = (2ك)^3-43(2ك) = 8ك^3-43*2ك = 16ك^3-86ك = 2(8ك^3-43ك) ، وهو مضاعف 2. إذا ن = 2ك + 1 ، ثم ن^3-43ن = (2ك + 1)^3-43(2ك + 1) = 8ك^3 + 12ك^2 + 6ك + 1-86ك — 43 = 8ك^3 + 12ك^2-80ك — 42 = 2(4ك^3 + 6ك^2-40ك — 21) ، وهو أيضا مضاعف 2.
لإثبات العبارة الثانية ، لاحظ أنه يمكن تمثيل كل رقم طبيعي بإحدى الطرق الثلاث: إما ن = 3ك ، أو ن = 3ك + 1 ، أو ن = 3ك + 2. Если n = 3k, то n^3 — 43n = (3k)^3 — 43(3k) = 27k^3 — 129k = 3(9k^3 — 43k), что является кратным 3. Если n = 3k + 1, то n^3 — 43n = (3k + 1)^3 — 43(3k + 1) = 27k^3 + 27k^2 + 9k + 1 — 129k — 43 = 27k^3 + 27k^2 — 120k — 42 = 3(9k^3 + 9k^2 — 40k — 14), также являющимся кратным 3. Если же n = 3k + 2, то n^3 — 43n = (3k + 2)^3 — 43(3k + 2) = 27k^3 + 54k^2 + 36k + 8 — 129k — 86 = 27k^3 + 54k^2 — 93k — 78 = 3(9k^3 + 18k^2 — 31k — 26), также являющимся кратным 3.
وهكذا ، أثبتنا أن التعبير ن^3-43 ن يقبل القسمة على 2 و 3 لجميع القيم الطبيعية لـ ن. لذلك ، يتم تقسيمها أيضا على أصغر مضاعفاتها المشتركة ، وهي 6. وهكذا ، يتم الانتهاء من إثبات تعدد 6 لهذا التعبير لجميع القيم الطبيعية من ن.
- المفاهيم الأساسية
- طريقة الإثبات
- الدليل الأول
- الدليل الثاني
- الدليل الثالث
- تلخيص النتائج
- سؤال وجواب
- كيفية إثبات تعدد 6 للتعبير ن^3-43 ن لجميع القيم الطبيعية ن?
- كيف يمكننا إثبات أن التعبير ن^3-43 ن يقبل القسمة على 6 لجميع القيم الطبيعية ن?
- هل من الممكن تطبيق الحث الرياضي لإثبات تعدد 6 التعبيرات ن^3-43 ن لجميع القيم الطبيعية ن?
- هل من الممكن استخدام التحولات الجبرية لإثبات تعدد 6 التعبيرات ن^3-43 ن لجميع القيم الطبيعية ن?
المفاهيم الأساسية
تعدد الرقم هو عدد المرات التي يتم فيها احتواء الرقم في رقم آخر بدون باقي. على سبيل المثال ، الرقم 6 هو مضاعف الرقم 3 ، لأنه موجود فيه مرتين.
الأعداد الطبيعية هي أعداد صحيحة موجبة تبدأ من واحد وترتفع: 1, 2, 3, 4, 5, وهلم جرا.
صيغة مكعب الأرقام هي تعبير يسمح لك بحساب مكعب رقم. لأي عدد طبيعي ن ، تبدو صيغة مكعب الرقم كما يلي:
ن^3 = ن * ن * ن
فرق الرقم هو عملية تسمح لك بإيجاد الفرق بين رقمين. على سبيل المثال ، الفرق بين الرقمين 7 و 3 هو 4.
كثير الحدود هو تعبير جبري يتكون من المتغيرات والثوابت وعمليات الجمع والطرح والضرب والأس. في هذه الحالة ، يتم اعتبار كثير الحدود التالي: ن^3-43 ن.
طريقة الإثبات
يتم استخدام طريقة الحث الرياضي. الحث الرياضي هو طريقة إثبات تستخدم للتحقق من صحة العبارات المصاغة من حيث الأعداد الطبيعية.
يتم تنفيذ الدليل في خطوتين:
- .
- هو أيضا من مضاعفات 6.
هو مضاعف 6.
.
الدليل الأول
لإثبات تعدد 6 للتعبير ن^3-43 ن لجميع القيم الطبيعية ن ، نقوم بتنفيذ المنطق التالي:
- دعونا نثبت أن التعبير ن^3-43 ن هو مضاعف 2.
- دعونا نثبت أن التعبير ن^3-43 ن هو مضاعف 3.
دليل على تعدد التعبير ن^3-43 ن إلى عن على 2:
عند تحليل التعبير ن^3-43 ن ، لاحظ أن كل مصطلح من المصطلحات في هذا التعبير هو مضاعف 2 ، منذ ذلك الحين ن^3 دائما زوجي (نظرا لأن حاصل ضرب ثلاثة أعداد طبيعية سيكون دائما مضاعفا لـ 2) ، والتعبير-43 ن زوجي ، لأن -43 مضروبا في أي رقم طبيعي يعطي نتيجة زوجية. وبالتالي ، فإن كل مصطلح هو مضاعف 2 ، مما يعني أن التعبير ن^3-43 ن هو مضاعف 2.
دليل على تعدد التعبير ن^3-43 ن إلى عن على 3:
لإثبات تعدد التعبير ن^3-43 ن لمدة 3 ، نستخدم طريقة الحث الرياضي. يكفي إظهار أنه إذا كان التعبير مضاعفا لـ 3 لبعض قيمة ن ، فهو مضاعف 3 للقيمة التالية ن + 1.
للقيمة الأولى ن = 1 ، التعبير هو -42 ، وهو مضاعف 3. لذلك ، تحمل الحالة الأساسية.
افترض أن التعبير ن^3-43 ن هو مضاعف 3 لبعض القيمة ن=ك.
بناء على هذا ، لدينا:
| ن^3-43 ن | - 42 كيلو | (предположение) |
Добавим к обеим частям равенства число (k+1)^3 — 43(k+1) и упростим выражение:
| n^3 — 43n + (k+1)^3 — 43(k+1) | -42k + (k+1)^3 — 43(k+1) | (-42k + k^3 + 3k^2 + 3k + 1) — 43k — 43 | -42k + k^3 + 3k^2 + 3k — k — 42 | k^3 + 3k^2 + 3k — k — 42 — 42k | k^3 + 3k^2 + 3k + 1 — 43k | k^3 + 3k^2 + 3k + 1 — 42k — k | k^3 + 3k^2 + k + 1 |
Результатом является k^3 + 3k^2 + k + 1. نرى أن التعبير الناتج هو مضاعف 3 ، لأن كل مصطلح هو مضاعف 3 (التعبير ك^3 هو مضاعف 3 ، لأن حاصل ضرب ثلاثة أعداد طبيعية سيكون دائما مضاعفا لـ 3 ، والتعبير 3 ك^2 هو مضاعف 3 ، لأن 3 مضروبا في أي رقم طبيعي يعطي مضاعفا لـ 3 نتيجة) ، مما يعني أن الأصل التعبير ن^3-43 ن هو مضاعف 3.
وهكذا ، أثبتنا أن التعبير ن^3-43 ن هو مضاعف لكل من 2 و 3 ، مما يعني أن تعددها هو 6 لأي قيمة طبيعية لـ ن.
الدليل الثاني
لإثبات تعدد 6 للتعبير ن^3-43 ن لجميع القيم الطبيعية ن ، نستخدم طريقة الحث الرياضي. سوف نثبت البيان لكل عدد طبيعي ن بدوره.
قاعدة الحث: دع ن = 1. بديل ن = 1 في التعبير ن^3-43 ن:
- ن^3-43 ن = 1^3 — 43 * 1 = 1 — 43 = -42
من الواضح أن -42 يقبل القسمة على 6 بدون الباقي.
افتراض الاستقراء: افترض أنه بالنسبة لبعض العدد الطبيعي ك ، التعبير ك^3-43 ك يقبل القسمة على 6 بدون الباقي.
الانتقال التعريفي: نثبت أن التعبير (ك + 1)^3 — 43(ك + 1) يقبل القسمة أيضا على 6 بدون الباقي.
تحلل التعبير (ك + 1)^3-43 (ك + 1):
| (ك + 1)^3-43 (ك + 1) | تتحلل بواسطة الصيغة |
| ك^3 + 3 كيلو^2 + 3 كيلو + 1-43 كيلو — 43 | دعونا تبسيط ذلك |
| ك^3-43 ك + 3 ك^2 + 3 ك-42 | دعونا نستبدل افتراض الاستقراء |
| 6 م + 3 ك^2 + 3 ك-42 |
هنا ، م هو عدد صحيح ، لأننا نعتقد ذلك ك^3-43 ك يقبل القسمة على 6 بدون الباقي.
لإثبات أن 6 م + 3 ك^2 + 3 ك-42 يقبل القسمة على 6 بدون الباقي ، يكفي إظهار أن باقي القسمة (3 ك^2+ 3 ك — 42) على 6 تساوي صفرا.
اقسم (3 كيلو^2 + 3 كيلو-42) على 6:
| 3ك^2 + 3ك-42 | قسم على |
| 6 | |
| 1ك^2 + (-11)ك + 7 |
من الواضح ، 1ك^2 +(-11) ك + 7 يقبل القسمة على 6 بدون الباقي.
لذلك ، نستنتج أنه إذا كان لبعض العدد الطبيعي ك التعبير ك^3-43 ك يقبل القسمة على 6 بدون باقي ، فإن التعبير (ك + 1)^3-43(ك+1) يقبل القسمة أيضا على 6 بدون باقي.
لذلك ، التعبير ن^3-43 ن يقبل القسمة على 6 بدون الباقي لجميع القيم الطبيعية لـ ن.
الدليل الثالث
دعنا نحدد التعبير عن ن^3-43 ن كدالة لـ و (ن).
ضع في اعتبارك قيم الدالة لعدة أعداد طبيعية:
- إلى عن على ن = 1: و(1) = 1^3 — 43 * 1 = -42
- متى ن = 2: و(2) = 2^3 — 43 * 2 = -34
- إلى عن على ن = 3: و(3) = 3^3 — 43 * 3 = -12
- إلى عن على ن = 4: و(4) = 4^3 — 43 * 4 = 24
- متى ن = 5: و(5) = 5^3 — 43 * 5 = 82
من هذه القيم ، يمكن ملاحظة أن الدالة و (ن) يمكن أن تأخذ قيما سالبة وصفرية وإيجابية.
لإثبات تعدد 6 من التعبير ن^3-43 ن ، سننظر في ذلك مودولو 6.
| n | و (ن) (وزارة الدفاع 6) |
| 1 | 0 |
| 2 | 4 |
| 3 | 0 |
| 4 | 0 |
| 5 | 4 |
يمكن أن نرى من الجدول أن قيمة و (ن) (وزارة الدفاع 6) يمكن أن يكون فقط 0 أو 4. هذا يعني أن و (ن) هو مضاعف 6 لأي عدد طبيعي ن.
وهكذا ، فإن الدليل الثالث يؤكد تعدد 6 للتعبير ن^3-43 ن لجميع القيم الطبيعية ن.
تلخيص النتائج
نتيجة لدراسة التعبير ن^3-43 ن لجميع القيم الطبيعية ن ، وجد أن هذا التعبير هو مضاعف 6.
لإثبات تعدد 6 لهذا التعبير ، استخدمنا طريقة الحث الرياضي. بعد إجراء فحص أساسي للقيمة الأولية لـ ن = 1 ، أظهرنا أن التعبير ن^3-43 ن هو مضاعف 6.
علاوة على ذلك ، باستخدام طريقة الحث ، افترضنا أنه بالنسبة للرقم الطبيعي التعسفي ك ، التعبير (ك+1)^3 — 43(ك+1) سيكون أيضا مضاعفا لـ 6 إذا كان التعبير ك^3 — 43 ك هو مضاعف 6. باستخدام هذا الافتراض ، أثبتنا ذلك (ك + 1)^3-43 (ك+1) يقبل القسمة أيضا على 6.
وهكذا ، أكدت دراستنا أن التعبير ن ^ 3-43 ن هو مضاعف 6 لجميع القيم الطبيعية لـ ن. قد يكون هذا التعميم للنتائج مفيدا لمزيد من البحث والتطبيقات الرياضية.
سؤال وجواب
كيفية إثبات تعدد 6 للتعبير ن^3-43 ن لجميع القيم الطبيعية ن?
لإثبات تعدد 6 من التعبير ن^3-43 ن لجميع القيم الطبيعية ن ، يكفي إظهار أن هذا التعبير قابل للقسمة على 6 بدون الباقي. يمكنك استخدام طريقة الحث الرياضي أو التحولات الجبرية للتحقق الفعال.
كيف يمكننا إثبات أن التعبير ن^3-43 ن يقبل القسمة على 6 لجميع القيم الطبيعية ن?
إحدى طرق إثبات تعدد 6 من التعبير ن^3-43 ن لجميع القيم الطبيعية لـ ن هو تحليل هذا التعبير إلى عوامل. للقيام بذلك ، يمكن تمثيله كـ (ن-1)(ن + 2) (ن + 1). لاحظ أنه بالنسبة لجميع القيم الطبيعية لـ ن ، أحد الأرقام ن — 1 ، ن + 2 أو ن + 1 سيكون قابلا للقسمة على 2 ، والآخر على 3. وبالتالي ، سيكون منتجهم قابلا للقسمة على 6 ، مما يثبت تعدد 6.
هل من الممكن تطبيق الحث الرياضي لإثبات تعدد 6 التعبيرات ن^3-43 ن لجميع القيم الطبيعية ن?
نعم ، الحث الرياضي هو إحدى الطرق لإثبات تعدد 6 من التعبير ن^3-43 ن لجميع القيم الطبيعية لـ ن. للقيام بذلك ، تحقق أولا من الشرط الأساسي (على سبيل المثال ، لـ ن = 1). ثم علينا أن نفترض أن التعبير يقبل القسمة على 6 للبعض ك ، وإثبات أنه يقبل القسمة على 6 لـ ك + 1. وبالتالي ، باستخدام الحث الرياضي ، من الممكن تحديد تعدد 6 تعبيرات.
هل من الممكن استخدام التحولات الجبرية لإثبات تعدد 6 التعبيرات ن^3-43 ن لجميع القيم الطبيعية ن?
نعم ، من الممكن استخدام التحولات الجبرية لإثبات تعدد 6 من التعبير ن^3-43 ن لجميع القيم الطبيعية ن. للقيام بذلك ، يمكنك ملاحظة أنه يمكن تمثيل هذا التعبير على أنه ن(ن — 1)(ن + 1) — 42 ن. من الواضح أن المصطلح الأول يقبل القسمة على 6 لجميع القيم الطبيعية لـ ن (نظرا لأنه من بين أي ثلاثة أرقام متتالية ، يكون أحدهما بالضرورة قابلا للقسمة على 2 والآخر على 3). المصطلح الثاني قابل للقسمة على 6 لجميع القيم الطبيعية لـ ن ، منذ 42 ن يقبل القسمة على 6. وبالتالي ، فإن كلا المصطلحين يقسمان على 6 ، مما يعني أن كثير الحدود الأصلي بأكمله يقبل القسمة على 6 بدون الباقي.