عدد مجموعات فرعية من مجموعة م, ن و ف - كم هناك في المجموع?

مجموعة فرعية من مجموعة هي مجموعة فرعية من العناصر المحددة من مجموعة معينة. يعتمد عدد المجموعات الفرعية التي يمكن تشكيلها على عدد العناصر في المجموعة الأصلية. في هذه المقالة ، سننظر في مسألة عدد المجموعات الفرعية لثلاث مجموعات مختلفة: م ، ن و ص.

بادئ ذي بدء ، دعنا نفكر في الحالة عندما تحتوي المجموعات الثلاث على عناصر مختلفة. في هذه الحالة ، يمكننا اختيار أي مجموعة من العناصر من كل مجموعة ، وستكون كل مجموعة من هذه المجموعة مجموعة فرعية من المجموعة الأصلية. وبالتالي ، سيكون عدد المجموعات الفرعية مساويا لمنتج عدد العناصر في كل مجموعة: |م| * |ن| * |ص|.

إذا كانت هناك عناصر مكررة في مجموعة واحدة أو أكثر ، فسيعتمد عدد المجموعات الفرعية على العناصر التي نأخذها في الاعتبار. على سبيل المثال ، إذا كانت هناك عناصر مكررة في المجموعة م ، فيمكننا تحديد عنصر واحد فقط من كل مجموعة من العناصر المكررة. وبالتالي ، سيكون عدد المجموعات الفرعية مساويا لمنتج عدد العناصر الفريدة في كل مجموعة: |م فريد| * |ن| * |ص|.

إذا كانت المجموعات الثلاث تحتوي على نفس العناصر ، فسيتم تحديد عدد المجموعات الفرعية فقط من خلال عدد العناصر في المجموعة: |م| * |م| * |م|.

1. تعريف مجموعة فرعية ومجموعة أساسية من مجموعة
2. الصيغة لحساب عدد المجموعات الفرعية
3. حساب عدد المجموعات الفرعية من المجموعة م
4. حساب عدد المجموعات الفرعية من المجموعة ن
5. حساب عدد المجموعات الفرعية من المجموعة ص
6. عدد المجموعات الفرعية التي تفي بالشروط
7. مجموعة من العناصر ن:
8. مجموعة من ن العناصر التي تحتوي على مجموعات فرعية فقط من حجم معين:
9. مجموعة من ن العناصر التي تحتوي على مجموعات فرعية من الحجم ك أو أقل:
10. مجموعة من ن عناصر بدون مجموعة فرعية فارغة والمجموعة نفسها:
11. مجموعة من ن العناصر التي تحتوي على مجموعات فرعية غير فارغة فقط:
12. أمثلة على حساب عدد المجموعات الفرعية
13. سؤال وجواب
14. ما هو العدد الإجمالي للمجموعات الفرعية لمجموعة من 10 عناصر?
15. هل يمكنك شرح كيفية حساب عدد المجموعات الفرعية لمجموعة عشوائية?
16. كم عدد مجموعات فرعية ومجموعة فارغة لها?

تعريف مجموعة فرعية ومجموعة أساسية من مجموعة

المجموعة الفرعية هي جزء من مجموعة تتكون من بعض ، وربما كل ، عناصر هذه المجموعة.

دع أ و ب تكون مجموعات. إذا كان كل عنصر من عناصر المجموعة أ هو أيضا عنصر من عناصر المجموعة ب ، فيقال أن أ هي مجموعة فرعية من ب. التعيين: أ B ب.

المجموعة أ هي أيضا مجموعة فرعية من نفسها. وهذا ما يسمى مجموعة فرعية تافهة.

إذا كانت المجموعة أ هي مجموعة فرعية من ب ولكنها لا تساوي ب ، فإن هذا يسمى مجموعة فرعية صارمة. التسمية: أ B ب.

أصل المجموعة هو عدد العناصر الموجودة في مجموعة معينة. يشار إليه بالرمز / أ/.

يمكن تحديد أصل المجموعة بطرق مختلفة. واحد منهم هو حساب عدد العناصر في المجموعة يدويا. آخر هو استخدام صيغة تنطبق على مجموعات محدودة.

بالنسبة لمجموعة محدودة ، يمكن العثور على العلاقة الأساسية على النحو التالي:

1. إذا كانت المجموعة أ تحتوي على عناصر ن ، فإن أصل المجموعة أ يساوي ن. التعيين:| أ / = ن.

2. إذا كانت المجموعة أ تتكون من العناصر أ1, أ2,...، أ ، إذن أصل المجموعة أ يساوي ن. التعيين | / أ / = ن.

جدول قدرات الطنين:

وبالتالي ، بمعرفة العناصر الأساسية للمجموعات ، من الممكن تحديد عدد العناصر فيها واستخدامها لحل المشكلات المختلفة ، بما في ذلك المشكلات المتعلقة بمجموعات فرعية من المجموعة.

الصيغة لحساب عدد المجموعات الفرعية

يمكن حساب عدد المجموعات الفرعية للمجموعة باستخدام صيغة رياضية خاصة. النظر في مجموعة م تتكون من ن عناصر. يمكن حساب عدد المجموعات الفرعية لهذه المجموعة باستخدام الصيغة 2^ن.

تعتمد هذه الصيغة على خصائص نظام الأرقام الثنائية. يمكن تعيين رقم ثنائي لكل عنصر من عناصر المجموعة: 0 — لم يتم تضمين العنصر في المجموعة الفرعية ، 1 — تم تضمين العنصر في المجموعة الفرعية. وبالتالي ، لكل عنصر لدينا حالتان محتملتان-مضمنة أو غير مدرجة في المجموعة الفرعية ، وهناك ن إجمالي عناصر المجموعة م.

الرقم 2^ن يمثل عدد الحالات المختلفة لعناصر المجموعة م ، وبالتالي عدد المجموعات الفرعية لهذه المجموعة.

على سبيل المثال ، إذا كانت المجموعة م يتكون من 3 عناصر (ن=3) ، فإن عدد مجموعاتها الفرعية هو 2^3 = 8. في المجموع ، لدينا 8 أنواع مختلفة من حالات عناصر المجموعة م ، وبالتالي 8 مجموعات فرعية.

حساب عدد المجموعات الفرعية من المجموعة م

عدد المجموعات الفرعية للمجموعة م يمكن حسابها باستخدام الصيغة 2^م ، أين م هو عدد العناصر في المجموعة الأصلية.

لكل عنصر من عناصر المجموعة الأولية م ، يمكن اتخاذ قرار: تضمين أو عدم تضمينها في المجموعة الفرعية. وبالتالي ، يحتوي كل عنصر على خيارين محتملين-التضمين أو عدم التضمين.

سيكون العدد الإجمالي للمجموعات الفرعية 2^م ، حيث سيتم اتخاذ أحد القرارين لكل عنصر من عناصر المجموعة الأصلية-لتضمينه أو عدم تضمينه.

مثال:

لنفترض أن لدينا مجموعة من {أ ، ب ، ج}. عدد العناصر في هذه المجموعة هو م = 3.

ثم سيكون العدد الإجمالي للمجموعات الفرعية 2^3 = 8. هناك 8 مجموعات فرعية ممكنة من هذه المجموعة:

• مجموعة فارغة {}
• مجموعة مع عنصر واحد {أ}
• مجموعة مع عنصر واحد {ب}
• مجموعة مع عنصر واحد {ج}
• مجموعة مع عنصرين {أ ، ب}
• مجموعة مع عنصرين {أ ، ج}
• مجموعة مع عنصرين {ب ، ج}
• مجموعة من ثلاثة عناصر {أ ، ب ، ج}

وبالتالي ، فإن عدد المجموعات الفرعية للمجموعة {أ ، ب ، ج} هو 8.

حساب عدد المجموعات الفرعية من المجموعة ن

مجموعات فرعية من المجموعة ن كلها مجموعات ممكنة من عناصر المجموعة الأصلية ، بما في ذلك المجموعة الفارغة والمجموعة ن نفسها. يمكن حساب عدد المجموعات الفرعية باستخدام الصيغة التالية:

1. مجموعة فرعية تحتوي على جميع عناصر المجموعة الأصلية( أصل المجموعة: 1)
2. مجموعات فرعية تم الحصول عليها عن طريق تحديد كل عنصر من عناصر مجموعة المجموعة الأصلية (أصل المجموعة: ن)
3. مجموعات فرعية تم الحصول عليها عن طريق تحديد كل زوج من عناصر مجموعة المجموعة الأصلية (أصل المجموعة: ن * (ن-1) / 2)
4. …
5. مجموعة فرعية تحتوي على عنصر واحد فقط من مجموعة المجموعة الأصلية (أصل المجموعة: ن)
6. مجموعة فارغة (أصل المجموعة: 0)

وبالتالي ، فإن العدد الإجمالي للمجموعات الفرعية للمجموعة ن يساوي مجموع قوى جميع المجموعات الفرعية، والتي يمكن التعبير عنها بالصيغة التالية:

عدد المجموعات الفرعية = 2^ن

على سبيل المثال ، لمجموعة من 3 عناصر (ن = 3) ، سيكون العدد الإجمالي للمجموعات الفرعية 2^3 = 8:

• مجموعة فارغة
• مجموعة {أ}
• مجموعة {ب}
• مجموعة {ج}
• مجموعة {أ ، ب}
• مجموعة {أ ، ج}
• المجموعة {ب ، ج}
• المجموعة {أ ، ب ، ج}

وبالتالي ، لمجموعة من 3 عناصر ، هناك 8 مجموعات فرعية.

حساب عدد المجموعات الفرعية من المجموعة ص

عدد المجموعات الفرعية للمجموعة ص يمكن حسابها باستخدام الصيغة 2^ص ، أين ص هو عدد العناصر في المجموعة.

على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك المجموعة {أ ، ب ، ج}. هناك ثلاثة عناصر في هذه المجموعة-أ ، ب ، ج. هناك 2^3 = 8 مجموعات فرعية من هذه المجموعة في المجموع:

• set (مجموعة فارغة)
• {أ}
• {ب}
• {ج}
• {أ ، ب}
• {أ ، ج}
• {ب ، ج}
• {أ ، ب ، ج}

وهكذا ، في هذا المثال ، المجموعة ص يحتوي على 8 مجموعات فرعية.

بشكل مبسط ، يمكننا القول أن كل عنصر من عناصر المجموعة ص يمكن أن تأخذ حالتين محتملتين: مضمنة في مجموعة فرعية أو غير مضمنة. وبالتالي ، هناك نوعان مختلفان محتملان لكل عنصر ، وعدد جميع المجموعات الفرعية الممكنة يساوي ناتج هذه المتغيرات لجميع عناصر المجموعة.

إذا كنت تريد العثور على مجموعات فرعية غير فارغة فقط ، فسيكون عدد المجموعات الفرعية 2^ف -1.

ومن الجدير بالذكر أيضا أن المجموعة الفارغة تعتبر أيضا مجموعة فرعية من المجموعة ص.

عدد المجموعات الفرعية التي تفي بالشروط

في الرياضيات ، هناك عدد مختلف من المجموعات الفرعية التي يمكن تشكيلها من مجموعة معينة. يعتمد عدد المجموعات الفرعية على عدد العناصر في المجموعة الأصلية.

دعونا نفكر في بعض الحالات الخاصة حيث يكون من الضروري حساب عدد المجموعات الفرعية التي تلبي شروطا معينة.

مجموعة من العناصر ن:

إذا كانت المجموعة تحتوي على عناصر ن ، فإن عدد المجموعات الفرعية هو 2 لقوة ن.

يمكن أن تحتوي المجموعة الفرعية على أي مجموعة من العناصر من المجموعة الأصلية ، بما في ذلك مجموعة فرعية فارغة والمجموعة الأصلية نفسها. على سبيل المثال ، إذا كانت المجموعة تحتوي على 3 عناصر ، فسيكون عدد المجموعات الفرعية 8.

مجموعة من ن العناصر التي تحتوي على مجموعات فرعية فقط من حجم معين:

إذا كنت تريد حساب عدد المجموعات الفرعية للمجموعة الأصلية التي تحتوي فقط على مجموعات فرعية بحجم معين ك ، فيمكنك استخدام صيغة المجموعة.

صيغة الجمع لإيجاد عدد المجموعات الفرعية من ن عناصر الحجم ك يبدو كما يلي:

1. أولا ، تحتاج إلى تحديد عدد مجموعات ن العناصر بواسطة ك باستخدام الصيغة ج (ن ، ك) = ن! / (ك! * (ن-ك)!) ، حيث"!"يدل على مضروب.
2. سيكون العدد الناتج من المجموعات هو عدد المجموعات الفرعية للحجم ك.

على سبيل المثال ، بالنسبة لمجموعة من 4 عناصر وحجم المجموعة الفرعية المطلوبة 2 ، سيكون عدد المجموعات الفرعية ج(4 ، 2) = 4! / (2! * (4 — 2)!) = 6.

مجموعة من ن العناصر التي تحتوي على مجموعات فرعية من الحجم ك أو أقل:

إذا كنت تريد حساب عدد المجموعات الفرعية للمجموعة الأصلية التي تحتوي على مجموعات فرعية من الحجم ك أو أقل ، فيمكنك استخدام صيغة مجموع المجموعات.

صيغة مجموع التوليفات لإيجاد عدد المجموعات الفرعية من ن العناصر التي تحتوي على مجموعات فرعية من الحجم ك أو أقل كما يلي:

1. أولا ، تحتاج إلى تحديد مجموع مجموعات ن العناصر بواسطة أنا ، حيث أنا يختلف من 0 إلى ك.
2. سيكون عدد المجموعات الفرعية مساويا للمبلغ المستلم.

على سبيل المثال ، بالنسبة لمجموعة من 4 عناصر وحجم المجموعة الفرعية المطلوبة هو 2 أو أقل ، سيكون عدد المجموعات الفرعية ج (4 ، 0) + ج(4 ، 1) + ج(4, 2) = 1 + 4 + 6 = 11.

مجموعة من ن عناصر بدون مجموعة فرعية فارغة والمجموعة نفسها:

إذا كنت تريد حساب عدد المجموعات الفرعية للمجموعة الأصلية ، باستثناء المجموعة الفرعية الفارغة والمجموعة الأصلية نفسها ، فسيكون عدد المجموعات الفرعية 2 إلى قوة ن ، ناقص 2.

وبالتالي ، فإن عدد المجموعات الفرعية سيكون 2 إلى قوة ن ناقص 2.

مجموعة من ن العناصر التي تحتوي على مجموعات فرعية غير فارغة فقط:

إذا كنت تريد حساب عدد المجموعات الفرعية للمجموعة الأصلية التي تحتوي على مجموعات فرعية غير فارغة فقط ، فسيكون عدد المجموعات الفرعية 2 إلى قوة ن ناقص 1.

وبالتالي ، فإن عدد المجموعات الفرعية سيكون 2 إلى قوة ن ناقص 1.

بالنظر إلى هذه الصيغ والقواعد ، من الممكن حساب عدد المجموعات الفرعية التي تفي بالشروط المحددة لأي مجموعة من ن عناصر.

أمثلة على حساب عدد المجموعات الفرعية

يمكن حساب عدد المجموعات الفرعية للمجموعة باستخدام الصيغة:

1. لمجموعة مع ن عناصر ، عدد المجموعات الفرعية هو 2^ن.
2. لمجموعة مع ن العناصر المحددة بواسطة م العناصر في كل مرة ، عدد المجموعات الفرعية هو ج (ن, م) ، أين ج(ن, م) هو عدد مجموعات ن بواسطة م.
3. لدمج مجموعتين مع ن و م العناصر ، عدد المجموعات الفرعية هو 2^(ن + م).
4. لتقاطع مجموعتين مع ن و م العناصر ، عدد المجموعات الفرعية هو 2^(دقيقة (ن ، م)).

لنفترض أن لدينا مجموعة من {1 ، 2 ، 3}:

عدد المجموعات الفرعية لهذه المجموعة هو: 2^3 = 8.

إذا اخترنا عناصر 2 فقط من هذه المجموعة ، فسيكون عدد المجموعات الفرعية: ج(3 ، 2) = 3.

إذا قمنا بدمج هذه المجموعة مع مجموعة أخرى {4 ، 5} ، فسيكون عدد المجموعات الفرعية: 2^(3+2) = 32.

إذا وجدنا تقاطع المجموعة {1 ، 2 ، 3} والمجموعة {2 ، 3 ، 4} ، فسيكون عدد المجموعات الفرعية: 2^(دقيقة(3 ، 3)) = 8.

سؤال وجواب

ما هو العدد الإجمالي للمجموعات الفرعية لمجموعة من 10 عناصر?

العدد الإجمالي للمجموعات الفرعية لمجموعة من 10 عناصر هو 2 إلى قوة 10 ، أي 1024.

هل يمكنك شرح كيفية حساب عدد المجموعات الفرعية لمجموعة عشوائية?

يمكن حساب عدد المجموعات الفرعية لمجموعة عشوائية باستخدام الصيغة 2 إلى قوة ن ، أين ن هو عدد العناصر في المجموعة. ويرجع ذلك إلى حقيقة أن كل عنصر يمكن أن يكون موجودا أو غائبا في مجموعة فرعية ، وسيكون هناك خياران من هذا القبيل لكل عنصر.

كم عدد مجموعات فرعية ومجموعة فارغة لها?

ستحتوي المجموعة الفارغة على مجموعة فرعية واحدة فقط — هي نفسها. تتطلب جميع المجموعات الفرعية الأخرى الممكنة عنصرا واحدا على الأقل.