الانتقال إلى المحتوى الرئيسي

إيجاد زوايا ومحيط ومساحة مثلث برؤوس عند النقاط أ(1 ، 1 ، 3) ، ب(3 ، 1 ، 1)

  • عبد الصّمد الخطيب بني جماعة الكناني
  • المقالات

المثلث هو مضلع يتكون من ثلاثة جوانب. إنه أحد أكثر الشخصيات التي تمت دراستها في الهندسة. يتميز المثلث بخصائص معينة ، مثل زواياه ومحيطه ومساحته.

يمكن استخدام طرق مختلفة لإيجاد زوايا ومحيط ومساحة المثلث برؤوس عند النقاط أ(1 ، 1 ، 3) ، ب (3 ، 1 ، 1). تعتمد إحدى هذه الطرق على معرفة إحداثيات رؤوس المثلث في الفضاء. بمعرفة إحداثيات الرؤوس ، يمكنك حساب أطوال أضلاع المثلث ثم حساب زواياه ومحيطه ومساحته.

أولا ، تحتاج إلى إيجاد أطوال جوانب المثلث. للقيام بذلك ، نستخدم صيغة المسافة بين نقطتين في الفضاء ثلاثي الأبعاد. من خلال تحديد أطوال أضلاع المثلث ، يمكننا بعد ذلك إيجاد زوايا المثلث باستخدام نظرية جيب التمام أو نظرية الجيب. أيضا ، بمعرفة أطوال أضلاع المثلث ، يمكننا حساب محيطه بجمع أطوال جميع أضلاعه ، والمساحة باستخدام صيغة هيرون أو صيغة مساحة المثلث بأطوال أضلاعه.

  1. زوايا المثلث
  2. تحديد زوايا المثلث
  3. الصيغ لحساب زوايا المثلث
  4. محيط المثلث
  5. تحديد محيط المثلث
  6. الصيغ لحساب محيط المثلث
  7. منطقة المثلث
  8. تحديد مساحة المثلث
  9. الصيغ لحساب مساحة المثلث
  10. 1. صيغة هيرون
  11. 2. الصيغة من حيث إحداثيات القمم
  12. مثال على حساب مساحة المثلث بناء على إحداثيات الرؤوس:
  13. سؤال وجواب
  14. كيف يمكنني العثور على محيط مثلث مع القمم المحددة?
  15. كيف يمكنني العثور على مساحة مثلث مع القمم نظرا?

زوايا المثلث

للعثور على زوايا مثلث برؤوس عند النقاط أ(1 ، 1 ، 3) ، ب(3 ، 1 ، 1) ، يمكنك استخدام طرق مختلفة. أسهل طريقة هي استخدام الدوال المثلثية.

أولا ، لنجد أطوال أضلاع المثلث:

الجانبالطول
أب√((3-1)^2 + (1-1)^2 + (1-3)^2) = √((2)^2 + (0)^2 + (-2)^2) = √(4 + 0 + 4) = √8 = 2√2
قبل الميلاد√((3-3)^2 + (1-1)^2 + (1-3)^2) = √((0)^2 + (0)^2 + (-2)^2) = √(0 + 0 + 4) = √4 = 2
كاليفورنيا√((1-3)^2 + (1-1)^2 + (3-1)^2) = √((-2)^2 + (0)^2 + (2)^2) = √(4 + 0 + 4) = √8 = 2√2

بعد ذلك ، باستخدام نظرية جيب التمام ، نجد زوايا المثلث:

زاويةالقيمة
من A أarccos((2√2)^2 + 2^2 — (2√2)^2) / (2 * 2√2 * 2) = arccos(8 + 4 — 8) / (2 * 4√2) = arccos(4 / (8√2)) = arccos(1 / (2√2)) ≈ 30°
∠Barccos(2^2 + (2√2)^2 — 2^2) / (2 * 2 * 2√2) = arccos(4 + 8 — 8) / (4√2) = arccos(4 / (4√2)) = arccos(1 / √2) ≈ 45°
∠C180° — ∠A — ∠B = 180° — 30° — 45° = 105°

Таким образом, углы треугольника ABC равны примерно 30°, 45° и 105°.

Определение углов треугольника

زوايا المثلث هي الزوايا المكونة من جوانب المثلث.

في الفضاء ثلاثي الأبعاد ، لتحديد زوايا المثلث ، نحتاج إلى معرفة إحداثيات رؤوس المثلث.

بالنسبة للمثلث ذي الرؤوس عند النقاط أ (1 ، 1 ، 3) ، ب (3 ، 1 ، 1) و ج(س ، ص ، ض) ، يمكننا حساب أطوال أضلاعه باستخدام الصيغة:

  1. طول الجانب أب: √((x2 — x1)^2 + (y2 — y1)^2 + (z2 — z1)^2)
  2. Длина стороны BC: √((x3 — x2)^2 + (y3 — y2)^2 + (z3 — z2)^2)
  3. Длина стороны CA: √((x1 — x3)^2 + (y1 — y3)^2 + (z1 — z3)^2)

Зная длины сторон треугольника, мы можем применить закон косинусов для определения углов:

  1. Угол A: arccos((b^2 + c^2 — a^2) / (2*b*c))
  2. Угол B: arccos((c^2 + a^2 — b^2) / (2*c*a))
  3. Угол C: arccos((a^2 + b^2 — c^2) / (2*a*b))

Где a, b и c — длины сторон треугольника.

باستخدام هذه الصيغة ، بالنسبة للمثلث ذي الأضلاع أب ، قبل الميلاد و كاليفورنيا ، يمكننا حساب جميع زواياه.

وهكذا ، بالنسبة للمثلث ذي الرؤوس عند النقاط أ(1 ، 1 ، 3) ، ب(3 ، 1 ، 1) و ج (س ، ص ، ض) ، يمكننا تحديد قيم زواياه الثلاثة.

الصيغ لحساب زوايا المثلث

لحساب زوايا مثلث برؤوس عند النقاط أ (1 ، 1 ، 3) ، ب(3 ، 1 ، 1) و ج(س ، ص ، ض) ، يمكن استخدام عدة صيغ:

  1. صيغة جيب التمام:

    2. حساب أطوال الجانبين من المثلث:

    • أب = √((3-1)^2 + (1-1)^2 + (1-3)^2) = √8
    • قبل الميلاد = √((س-3)^2 +(ص-1)^2 +(ض-1)^2)
    • كاليفورنيا = √((1-س)^2 +(1-ص)^2 +(3-ض)^2)

    ثم نجد جيب التمام من زوايا المثلث:

    • كوس (أ) = (قبل الميلاد^2 + كاليفورنيا^2-أب^2) / (2 * قبل الميلاد * كاليفورنيا)
    • cos(B) = (AB^2 + CA^2 — BC^2) / (2 * AB * CA)
    • cos(C) = (AB^2 + BC^2 — CA^2) / (2 * AB * BC)
  2. Формула скалярного произведения:

    3. Рассмотрим векторы AB и AC:

    • AB = (3-1, 1-1, 1-3) = (2, 0, -2)
    • AC = (x-1, y-1, z-3)

    Тогда скалярное произведение этих векторов равно:

    AB ⋅ AC = (2, 0, -2) ⋅ (x-1, y-1, z-3) = 2(x-1) + 0(y-1) + -2(z-3)

    AB ⋅ AC = 2x — 2 + -2z + 6 = 2x — 2z + 4

    معرفة أطوال الجانبين أب و أس ، يمكنك التعبير عنها من حيث المنتج العددية:

    • ألف-ألف-ألف-ألف-ألف-ألف-ألف-ألف-ألف-ألف-ألف-ألف-ألف-ألف-ألف
    • أب AC أس = 8 8 * co ((س-3)^2 + (ص-1)^2 + (ض-1)^2) * كوس (أ)
    • 2س-2ض + 4 =8 8 * ^((س-3) ^ 2 +(ص-1)^2 +(ض-1)^2) * كوس (أ)
  3. صيغة جيبية:

    4. باستخدام صيغة الجيب ، يمكننا التعبير عن زوايا الجيب من حيث أطوال الأضلاع ومساحة المثلث:

    • أب / الخطيئة (ج) = قبل الميلاد / الخطيئة (أ)
    • قبل الميلاد / الخطيئة (أ) = كاليفورنيا / الخطيئة (ب)
    • كاليفورنيا / الخطيئة (ب) = أب / الخطيئة (ج)

    ثم:

    • الخطيئة (أ) = قبل الميلاد / أب * الخطيئة (ج)
    • الخطيئة (ب) = كاليفورنيا / أب * الخطيئة (ج)
    • الخطيئة (ج) = أب / قبل الميلاد * الخطيئة (أ)

باستخدام هذه الصيغ ، يمكنك حساب قيم زوايا المثلث ، ومعرفة إحداثيات الرؤوس أ (1 ، 1 ، 3) ، ب(3 ، 1 ، 1) و ج(س ، ص ، ض).

محيط المثلث

يمكن العثور على محيط المثلث عن طريق جمع أطوال جميع أضلاعه.

لإيجاد أطوال أضلاع مثلث برؤوس عند النقاط أ (1 ، 1 ، 3) ، ب (3 ، 1 ، 1) ، من الضروري حساب المسافات بين هذه النقاط.

باستخدام صيغة لحساب المسافة بين نقطتين في الفضاء ثلاثي الأبعاد:

د = √((س2-س1)^2 + (ص2-ص1)^2 +(ض2-ض1)^2)

أين (س1, ص1, ض1) و (س2, ص2, ض2) هي إحداثيات نقطتين ، فلنجد المسافات بين النقطتين أ و ب:

الداب = √((3-1)^2 + (1-1)^2 + (1-3)^2) = √((-2)^2 + 0^2 + (-2)^2) = √(4 + 0 + 4) = 2√2

منذ مثلث أبك يحتوي على الجانب أب ، محيطه يساوي مجموع أطوال الجانبين أب ، قبل الميلاد و كاليفورنيا:

  1. أب = 2 2 2
  2. قبل الميلاد = ???
  3. كاليفورنيا =???

للعثور على أطوال الجانبين قبل الميلاد وكاليفورنيا ، سنقوم بإجراء حسابات مماثلة.

ولذلك ، فإن محيط المطلوب من اي بي سي مثلث يمكن العثور عليها عن طريق إضافة أطوال وجدت من الجانبين أب ، قبل الميلاد وكاليفورنيا:

اقرأ أيضًا