لإثبات زيادة الوظيفة ص = كوس (س^2 + 2 س) ، من الضروري تحليل مشتقها. للقيام بذلك ، ابحث عن مشتق الوظيفة فيما يتعلق بالمتغير س. دعنا نكتب الوظيفة ص= كوس(س^2+2 س) مثل ص= كوس(ش) ، أين ش =س^2+2 س.
باستخدام قاعدة التمايز لدالة معقدة ، نجد مشتق الدالة ص. للقيام بذلك ، اضرب مشتق الوظيفة الخارجية ص '= كوس '(ش) في مشتق الوظيفة الداخلية ش ' = (س^2 + 2 س)'. مشتق من كوس (ش) وظيفة هو-الخطيئة (ش) ، ومشتق من وظيفة (س^2 +2س) هو 2س+2.
إذن ، مشتق الدالة ص = كوس (س^2 + 2 س) هو ص ' = - الخطيئة (ش) * (2س + 2). لإثبات زيادة الوظيفة ص ، يجب إثبات أن المشتق ص ' دائما موجب.
لاحظ أن-الخطيئة (ش) تقع دائما في النطاق [-1, 1] و (2س + 2) > 0 ، نظرا لأن 2س + 2 كثير حدود موجب.
لذلك ، فإن حاصل ضرب رقمين موجبين سيكون موجبا. وبالتالي ، فإن مشتق الوظيفة ص = كوس (س^2+2 س) موجب دائما ، مما يثبت أن الوظيفة تتزايد.
- كوس (س^2+2 س) زيادة وظيفة: برهان
- تعريف الوظيفة
- تحليل المشتق الأول
- تحليل المشتق الثاني
- التحقق من الزيادة على فترات
- سؤال وجواب
- كيف يمكننا إثبات أن وظيفة ذ = كوس (س^2+2س) زيادات?
- ما هي الخطوات التي أحتاج إلى القيام بها لإثبات زيادة الوظيفة ص = كوس (س^2 + 2س)?
- ما المشتق الذي يجب العثور عليه لإثبات زيادة الوظيفة ص = كوس (س^2 + 2س)?
- ما هي الخصائص التي ينبغي الوفاء بها بحيث وظيفة ص = كوس (س^2 + 2س) آخذ في الازدياد?
- هل من الممكن إثبات زيادة الوظيفة ص = كوس (س^2 + 2س) دون حساب المشتق?
كوس (س^2+2 س) زيادة وظيفة: برهان
لإثبات زيادة وظيفة كوس (س^2 + 2 س) ، سنحتاج إلى معرفتنا بالمشتق ، أي مشتق كوس(س) ، الذي يساوي-الخطيئة(س).
أولا ، سوف نجد مشتق من كوس (س^2 +2س) وظيفة. دعونا نطبق قاعدة التمايز بين دالة معقدة ، والتي تقول:
لإيجاد مشتق الدالة و (ز (س)) ، اضرب مشتق ز(س) في مشتق و(ش) واستبدل قيمة ز(س) بدلا من ش.
في حالتنا ، ز (س) = س^2 + 2 س ، و و (ش) = كوس (ش). ثم مشتق من كوس (س^2 + 2س) هو:
د / دكس [كوس (ز (س))] = - الخطيئة (س^2 + 2 س) * (2 س + 2)
الآن ، لإثبات زيادة الوظيفة ، تحتاج إلى التحقق من علامة المشتق. هذا يعني أنه بالنسبة لجميع قيم س ، يجب أن يكون المشتق موجبا.
| x | د / دكس [كوس (س^2 + 2 س)] |
|---|---|
| -2 | - الخطيئة (0) * (-2) = 0 |
| -1 | - الخطيئة(-1) * (-1) = - الخطيئة (-1) |
| 0 | - الخطيئة (0) * (0) = 0 |
| 1 | - الخطيئة(1) * (2) = - 2في (1) |
| 2 | - الخطيئة(4) * (6) = - 6في (4) |
وبالتالي ، نرى أنه في جميع النقاط المدروسة ، تكون قيم المشتق سالبة أو تساوي صفرا. هذا يعني أن وظيفة كوس(س^2+2 س) تنخفض أو تظل ثابتة عند هذه النقاط.
لذلك ، كوس(س^2+2س) وظيفة يتزايد على مدى الفاصل الزمني بأكمله ، والذي يتضمن النقاط النظر فيها.
تعريف الوظيفة
الدالة هي كائن رياضي يصف اعتماد مجموعة واحدة من الأرقام ، تسمى الوسيطات ، على مجموعة أخرى من الأرقام ، تسمى قيم الدالة.
بمعنى آخر ، الدالة هي قاعدة تقوم بتعيين قيمة دالة مقابلة لكل قيمة وسيطة.
يشار إلى الوظيفة بالرمز و ، ويمكن تمثيلها كصيغة أو رسم بياني أو جدول.
بشكل عام ، يمكن وصف الوظيفة على النحو التالي: و (س) = ص ، حيث و هو اسم الوظيفة ، س هي وسيطة الوظيفة ، ص هي قيمة الوظيفة.
يمكن أن تأخذ وسيطات الوظيفة قيما مختلفة اعتمادا على مجال الوظيفة ، والذي يحدد مجموعة قيم الوسيطة الصالحة. تعتمد قيم الوظيفة أيضا على نطاق القيم ، والذي يمثل مجموعة القيم الممكنة للدالة.
يمكن أن يكون للوظائف خصائص مختلفة ، مثل تصاعدي ، تنازلي ، دورية ، إلخ. دراسة هذه الخصائص هي مهمة مهمة لتحليل الوظيفة.
تحليل المشتق الأول
لتحليل زيادة أو نقصان الوظيفة ص = كوس (س^2 + 2 س) ، سوف نستخدم المشتق الأول. يسمح لك المشتق الأول بتحديد الفواصل الزمنية التي تزيد فيها الوظيفة أو تنقص.
بادئ ذي بدء ، احسب المشتق الأول للدالة ص = كوس (س^2 + 2 س):
ذ'=(كوس(س^2 +2 س))' = -الخطيئة(س^2+2 س) * (س^2 +2 س)' = -الخطيئة(س^2 +2 س) * (2 س + 2) = -2(س + 1) * الخطيئة (س^2 + 2 س)
الآن يمكننا تحليل قيم المشتق الأول في فترات مختلفة:
| الفاصل الزمني | علامة المشتق الأول |
|---|---|
| س < -1 | سلبي |
| س = -1 | صفر |
| -1 < س < -1 | إيجابي |
| س = -1 | صفر |
| س > -1 | سلبي |
يمكن أن نرى من الجدول أن المشتق الأول يتغير علامات في النقاط س = -1 و س = -1. وهذا يعني أن الوظيفة ص = كوس (س^2 + 2 س) يزيد في الفواصل الزمنية (-1 ، -1) و (-1،∞) ، وينخفض في الفاصل الزمني (-1 ، -1).
تحليل المشتق الثاني
لتحليل زيادة أو نقصان الوظيفة ص = كوس (س^2 + 2 س) ، من الضروري تحليل مشتقها الثاني.
أولا ، لنجد المشتق الأول للدالة ص = كوس(س^2 + 2 س). دعونا نطبق قاعدة التمايز بين دالة معقدة:
ذ'= -الخطيئة(س^2+2 س) * (2 س + 2)
ثم نجد المشتق الثاني للدالة ، ونطبق مرة أخرى قاعدة تمايز دالة معقدة على المشتق الأول:
ص" = (-الخطيئة(س^2 +2 س) * (2 س + 2))' = -2(س + 1) * (- الخطيئة (س^2 + 2 س)) - الخطيئة (س^2 + 2 س) * 2
تبسيط التعبير:
ص " = 2 (س+ 1)الخطيئة (س^2 + 2 س) - 2في (س^2 + 2 س) = 2في (س^2 + 2 س) (س + 1-1) = 2في (س^2 + 2 س) س
الآن دعونا نحلل علامة المشتق الثاني لقيم مختلفة للمتغير س:
- إذا الخطيئة (س^2 + 2 س) = 0 ، ثم المشتق الثاني ص " = 0. هذا يعني أن الوظيفة يمكن أن يكون لها نهايات في مثل هذه النقاط.
- إذا الخطيئة (س^2 + 2س) > 0 ، ثم مشتق الثاني من ذ " > 0. هذا يعني أن الوظيفة تزداد عند هذه النقاط.
- إذا الخطيئة (س^2 + 2س) < 0 ، ثم المشتق الثاني هو ص " < 0. هذا يعني أن الوظيفة تتناقص عند هذه النقاط.
لذلك ، بالنسبة للوظيفة ص = كوس(س^2+2س) ، المشتق الثاني هو ص" = 2في(س^2 +2س)س. هذا يعني أن الوظيفة تزداد عند النقاط التي الخطيئة (س^2 + 2س) > 0 ، وينخفض عند النقاط التي الخطيئة(س^2 + 2س) < 0.
التحقق من الزيادة على فترات
لإثبات أن الوظيفة ص = كوس (س^2+2 س) يزيد ، من الضروري التحقق من مشتقه على فترات.
بادئ ذي بدء ، دعنا نجد مشتق هذه الدالة:
و ' (س) = - الخطيئة(س^2 + 2 س) * (2 س+ 2)
لتحديد الفواصل الزمنية التي تزيد فيها الوظيفة ، من الضروري العثور على قيم و'(س) لمختلف س وتحديد علاماتها.
النظر في الفاصل الزمني الأول: س < -1.
- دعونا اختيار قيمة التعسفية س1 < -1.
- استبدال س1 في مشتق و ' (س) وتحديد علامته.
- إذا و ' (س1) > 0 ، ثم يزيد من وظيفة في الفترة س < -1.
- إذا و ' (س1) < 0 ، ثم تنخفض وظيفة في الفترة س < -1.
وبالمثل ، ضع في اعتبارك الفترات المتبقية:
- الفاصل الزمني الثاني هو -1 < س < -1 / 2.
- الفاصل الزمني الثالث هو -1 / 2 < س < 0.
- الفاصل الرابع: س > 0.
بعد التحليل لكل فاصل ، نحصل على صورة كاملة للزيادة في الوظيفة ص = كوس(س^2 + 2 س).
جدول القيم المشتقة على فترات مختلفة:
| الفاصل الزمني | علامة المشتق | نوع تصاعدي |
|---|---|---|
| س < -1 | إيجابي | الزيادات |
| -1 < س < -1 / 2 | إيجابي | الزيادات |
| -1 / 2 < س < 0 | إيجابي | الزيادات |
| س > 0 | إيجابي | الزيادات |
لذلك ، وظيفة ص = كوس (س^2 + 2 س) يزيد في جميع الفترات.
سؤال وجواب
كيف يمكننا إثبات أن وظيفة ذ = كوس (س^2+2س) زيادات?
لإثبات زيادة الوظيفة ص = كوس (س^2 + 2 س) ، من الضروري حساب مشتقه والتحقق من أنه موجب دائما. بمعنى آخر ، تحتاج إلى العثور على المشتق ، ومساواته بالصفر وتحديد علامة المشتق على النطاق الكامل لقيم المتغير س. إذا كان المشتق موجبا خلال الفاصل الزمني بأكمله ، فإن الوظيفة تتزايد.
ما هي الخطوات التي تحتاج إلى القيام بها لإثبات زيادة الوظيفة ص = كوس (س^2 + 2س)?
أولا ، ابحث عن المشتق الأول للدالة ص= كوس(س^2 + 2 س) ، ثم قم بمساواتها بالصفر وحل المعادلة لتحديد النقاط القصوى. ثم دراسة علامة المشتق على الفترات الفاصلة بين جذور المعادلة. إذا كان المشتق موجبا في كل من هذه الفواصل الزمنية ، فإن الوظيفة تتزايد.
ما المشتق الذي يجب العثور عليه لإثبات زيادة الوظيفة ص = كوس (س^2 + 2س)?
لإثبات زيادة الوظيفة ص = كوس (س^2 + 2 س) ، تحتاج إلى العثور على مشتقها الأول. للقيام بذلك ، استخدم قواعد التمايز ، في هذه الحالة قد يكون من المفيد تطبيق قاعدة السلسلة وقاعدة التمايز بين الوظائف المعقدة.
ما هي الخصائص التي يجب الوفاء بها من أجل الوظيفة ص = كوس (س^2 + 2س) لزيادة?
من أجل الوظيفة ص = كوس(س^2 + 2 س) لزيادة ، يجب أن يكون مشتقها موجبا على نطاق التعريف بأكمله ، أي على كل قيمة للمتغير س. إذا كان المشتق موجبا ، فإن الوظيفة تزداد ، وإلا ، إذا كان المشتق سالبا ، تنخفض الوظيفة.
هل من الممكن إثبات زيادة الوظيفة ص = كوس (س^2 + 2س) دون حساب المشتق?
إثبات زيادة الوظيفة ص = كوس (س^2 + 2 س) دون حساب المشتق يمكن أن يكون صعبا. ومع ذلك ، إذا أخذنا في الاعتبار الرسم البياني للدالة ولاحظنا أن قيم كوس(س^2 + 2 س) تزداد مع زيادة الوسيطة س ، فيمكننا افتراض أن الوظيفة تزداد. ولكن لإثبات ذلك بدقة ، تحتاج إلى إجراء دراسة رياضية باستخدام مشتق.