من أجل إثبات هذا البيان ، نستخدم طريقة الحث الرياضي. في البداية ، لنفكر في الحالة الأساسية عندما ن هو 0. في هذه الحالة ، ن^2 + 8ن = 0 + 0 = 0 ، و 0 هو مضاعف 16. وبالتالي ، تم إثبات الحالة الأساسية.
بعد ذلك ، نفترض أن العبارة صحيحة بالنسبة لبعض الأرقام ك ، أي ك^2+8 ك هو مضاعف 16. مهمتنا هي إثبات أن العبارة صحيحة أيضا بالنسبة للرقم ك + 4.
عند النظر في الرقم (ك + 4) ، يمكننا كتابته كـ (ك + 4)^2 + 8(ك + 4). فتح الأقواس ، نحصل على ك^2 + 8ك + 16 + 8ك + 32. الجمع بين هذه المصطلحات ، نحصل على ك^2 + 16ك + 48.
الآن دعونا ننظر إلى التعبير (ك^2 + 8ك) + (8ك +48). من افتراضنا ، الحد الأول هو مضاعف 16 ، منذ ك^2 + 8 ك هو مضاعف 16. والحد الثاني ، 8ك + 48 ، هو مضاعف 16 ، لأن كلا الحدين يقبلان القسمة على 8. لذلك ، مجموعهم (ك^2 + 16 ك + 48) هو أيضا من مضاعفات 16.
وهكذا ، أثبتنا أنه إذا كان الرقم ن هو مضاعف 4 ، ثم ن^2 + 8ن هو أيضا مضاعف 16. الدليل عن طريق الحث كامل.
- الأرقام هي مضاعفات 4
- البيان الأصلي
- دليل
- تعدد ن^2 + 8 ن إلى الرقم 16
- سؤال وجواب
- كيف يمكننا إثبات أن الرقم الذي هو من مضاعفات 4 سيكون أيضا من مضاعفات 16?
- هل من الممكن استخدام طريقة أخرى لإثبات أن ن^2 + 8ن هو من مضاعفات 16 للأرقام التي هي مضاعفات 4?
الأرقام هي مضاعفات 4
لإثبات أنه إذا كان الرقم ن هو مضاعف 4 ، ثم ن^2 + 8 ن هو أيضا مضاعف 16 ، يمكن استخدام الحث الرياضي.
يتكون دليل الحث من خطوتين:
- الخطوة الأساسية: نثبت بيان القيمة الأولية لل ن.
- خطوة الاستقراء: نفترض أن البيان صحيح بالنسبة للبعض ن وإثبات ذلك ن + 1.
الخطوة الأساسية. دع ن = 4ك ، أين ك هو عدد صحيح. ثم ح^2 + 8ن = (4ك)^2 +8(4ك) = 16ك^2 +32ك = 16(ك^2 +2ك).
كما ترى ، فإن التعبير الناتج هو مضاعف 16 ، لأنه حاصل ضرب الرقم 16 بعدد صحيح (ك^2+ 2 ك).
خطوة الاستقراء. دع العبارة تكون صحيحة بالنسبة للبعض ن = 4ك. دعنا نثبت ذلك ن + 1 = 4ك + 1.
(ن + 1)^2 + 8(ن + 1) = (4ك + 1)^2 + 8(4ك + 1) = 16ك^2 + 8ك + 1 + 32ك + 8 = 16ك^2 + 40ك + 9 = 16(ك^2 + 2.5 ك) + 9.
التعبير الناتج هو أيضا مضاعف 16 ، لأنه حاصل ضرب الرقم 16 في العدد الصحيح (ك^2 + 2.5 ك) +9.
وهكذا ، أظهرنا أنه إذا كان الرقم ن هو مضاعف 4 ، ثم ن^2 + 8ن هو أيضا مضاعف 16 باستخدام الحث.
البيان الأصلي
دعنا نثبت أنه إذا كان الرقم ن هو مضاعف 4 ، ثم ن^2 + 8ن هو مضاعف 16.
لإثبات هذا البيان ، سوف نستخدم طريقة الحث الرياضي.
- أساس الاستقراء: دعنا نتحقق من البيان ن = 4.
ل ن = 4 نحصل على:
| ن^2 + 8 ن = 4^2 + 8 * 4 = 16 + 32 = 48. |
نظرا لأن 48 هو مضاعف 16 (نتيجة القسمة على 16 نحصل على عدد صحيح) ، فإن قاعدة الحث صحيحة.
- افتراض الاستقراء: افترض أن العبارة صحيحة ن = ك ، أين ك هو مضاعف تعسفي لـ 4.
من افتراض الاستقراء نحصل على:
| ك^2 + 8 كيلو = 16 م, |
أين م هو عدد صحيح.
- خطوة الاستقراء: نظهر أن العبارة صحيحة ن=ك + 4.
ل ن = ك + 4 نحصل:
| (ك+4)^2 + 8(ك+4) = ك^2 + 8ك + 16 + 8ك + 32 = (ك^2 + 8ك) + (16 + 32) = 16 م + 48 = 16(م + 3). |
وهكذا ، اتضح أن التعبير ن^2 + 8ن هو 16 (م + 3) ، أين م + 3 هو عدد صحيح. أي أن الرقم ن^2 + 8ن هو مضاعف 16.
وهكذا ، وفقا لمبدأ الحث الرياضي ، ثبت أنه إذا كان الرقم ن هو مضاعف 4 ، ثم ن^2 + 8ن هو مضاعف 16.
دليل
لإثبات هذا البيان ، سوف نستخدم الطريقة الرياضية للإثبات "طريقة الحث الرياضي".
الخطوة 1: تحقق من الحالة الأساسية. إذا كان الرقم ن هو 0 ، ثم ن^2 + 8ن هو 0. نظرا لأن 0 يقبل القسمة على 16 بدون الباقي ، يتم استيفاء البيان للحالة الأساسية.
الخطوة 2: جعل الافتراض. لنفترض أن العبارة صحيحة بالنسبة لبعض الأعداد الصحيحة ك.
الخطوة 3: إثبات صلاحية الخدمة. دعونا نثبت أن العبارة صحيحة بالنسبة للرقم ك + 1.
لدينا:
- ن = ك
- ن^2 + 8ن = ك^2 + 8ك
ومن هنا:
- ن + 1 = ك + 1
- (ن + 1)^2 + 8 (ن + 1) = (ك + 1)^2 + 8 (ك + 1)
دعونا نفتح الأقواس:
- (ن + 1)^2 + 8 (ن + 1) = ن^2 + 2ن + 1 + 8ن + 8
- (ن + 1)^2 + 8 (ن + 1) = ن^2 + 10ن + 9
دعونا نفحص التعبير (ن + 1) ^ 2 + 8(ن + 1) مودولو 16:
| n | (ن + 1)^2 + 8 (ن + 1) | (ن + 1)^2 + 8 (ن + 1) (وزارة الدفاع 16) |
|---|---|---|
| 0 | 9 | 9 |
| 1 | 20 | 4 |
| 2 | 33 | 1 |
| 3 | 48 | 0 |
| 4 | 65 | 1 |
| 5 | 84 | 4 |
| 6 | 105 | 9 |
يمكن أن نرى من الجدول أن التعبير (ن + 1)^2 + 8(ن + 1) يقبل القسمة على 16 بدون الباقي لأي قيمة ن هذا مضاعف 4. لذلك ، إذا كان الرقم ن هو مضاعف 4 ، ثم ن^2 + 8ن سيكون أيضا مضاعفا لـ 16.
تعدد ن^2 + 8 ن إلى الرقم 16
لإثبات أنه إذا كان الرقم ن هو مضاعف 4 ، ثم ن^2 + 8 ن هو مضاعف 16 ، ضع في اعتبارك حالتين:
- إذا ن هو مضاعف 4 ، ثم هناك عدد صحيح ك مثل ذلك ن = 4ك.
- دليل:
- ن = 4 ك
- ن^2 + 8ن = (4ك)^2 + 8 (4ك)
- ن^2 + 8ن = 16ك^2 + 32ك
- ن^2 + 8ن = 16 (ك^2 + 2ك)
- وهكذا ، ن^2 + 8ن يقبل القسمة على 16 وبالتالي فهو من مضاعفات الرقم 16.
وهكذا ، ثبت أنه إذا كان الرقم ن هو مضاعف 4 ، ثم ن^2 + 8ن هو مضاعف 16.
سؤال وجواب
كيف يمكننا إثبات أن الرقم الذي هو من مضاعفات 4 سيكون أيضا من مضاعفات 16?
لإثبات أن الرقم ن ، مضاعف 4 ، سيكون أيضا مضاعفا لـ 16 ، نحتاج إلى النظر في التعبير ن^2 + 8 ن. إذا كان الرقم ن هو مضاعف 4 ، فيمكن كتابته كـ ن = 4 ك ، أين ك هو عدد صحيح. استبدل هذه القيمة بالتعبير: (4ك)^2 + 8 (4ك). عند فتح الأقواس ، نحصل على 16 كيلو^2 + 32 كيلو. لاحظ أن كل حد في هذا المجموع يقبل القسمة على 16 بدون الباقي. وبالتالي ، فإن التعبير ن^2 + 8ن يعادل 16ك^2 + 32ك. نظرا لأن كل مصطلح في هذا المجموع هو مضاعف 16 ، فإن المجموع نفسه هو مضاعف 16. لذلك ، إذا كان الرقم ن هو مضاعف 4 ، ثم ن^2 + 8ن سيكون مضاعف 16.
هل من الممكن استخدام طريقة أخرى لإثبات أن ن^2 + 8ن هو من مضاعفات 16 للأرقام التي هي مضاعفات 4?
نعم ، يمكنك استخدام طريقة أخرى للإثبات. يمكننا استخدام طريقة الحث الرياضي. للقيام بذلك ، أولا إثبات قاعدة الاستقراء: إذا ن = 4 ، ثم ن^2 + 8ن = 4^2 + 8*4 = 64, وهو مضاعف 16. لنفترض الآن أن العبارة صحيحة بالنسبة لبعض الأرقام ك: ك^2 + 8 ك هو مضاعف 16. نثبت أنه بعد ذلك ينطبق أيضا على (ك + 4). دعونا نفتح الأقواس في التعبير (ك + 4)^2 + 8 (ك + 4): (ك + 4)^2 + 8 (ك + 4) = ك^2 + 8ك + 16 + 8ك + 32 = (ك^2 + 8ك) + 48. منذ ك^2 + 8ك هو من مضاعفات 16 تحت افتراض الاستقراء ، ثم (ك + 4)^2 + 8(ك + 4) سيكون من مضاعفات 16. وهكذا ، أثبتنا أنه إذا كان الرقم ن هو مضاعف 4 ، ثم ن^2 + 8ن هو مضاعف 16.