التناقص هو خاصية مهمة تستخدم في تحليل وتصميم أنظمة التحكم. وهو مؤشر يميز معدل توهين اهتزازات النظام بعد حدوث اضطراب. التناقص مهم في تحديد درجة استقرار النظام وقدرته على التعافي من الاضطرابات.
أحد المفاهيم الأساسية في دراسة التناقص هو مفهوم جذوره. اعتمادا على معادلة النظام التذبذب ، يمكن تمييز جذرين متناقصين: جذور مترافقة حقيقية ومعقدة من التناقص.
الجذور الحقيقية للتناقص تميز تذبذبات النظام مع التوهين. إنها أرقام حقيقية تحدد المعدل الذي تتلاشى به التقلبات. هذه الجذور مهمة في تحليل أنظمة الإدارة لتحديد استدامتها.
الجذور المترافقة المعقدة للتناقص هي أرقام وهمية وتشير إلى السلوك التذبذب للنظام. تستخدم جذور التناقص هذه في الحالات التي يكون فيها النظام لديه القدرة على "الرنين المتسلسل" ، مما يعني أنه يمكن تخزين الطاقة في النظام في شكل تذبذبات دون توهين.
مثال على نظام له جذران متناقصان هو دائرة تذبذبية تتكون من الحث والسعة والمقاومة. في هذا النظام ، تشير الجذور الحقيقية للتناقص إلى استقرار الكفاف ، وتشير الجذور المترافقة المعقدة إلى إمكانية التذبذبات.
- أصل التناقص والجذور
- التناقص: المفهوم والشرح
- تاريخ افتتاح المرسوم
- أصل الجذر الأول من التناقص
- شرح معنى الجذر الأول من التناقص
- أمثلة على استخدام الجذر الأول للتناقص:
- أصل الجذر الثاني من التناقص
- شرح معنى الجذر الثاني من التناقص
- أمثلة على استخدام الجذر الثاني للتناقص
- سؤال وجواب
- ما هو جذر التناقص?
- ماذا أصل 2 جذور إنقاص يعني?
- كيف يحدث إنشاء اثنين من جذور التناقص?
أصل التناقص والجذور
التناقص هو مؤشر على توهين اتساع التذبذبات في النظام. إنها معلمة مهمة عند النظر في العمليات الديناميكية مثل التذبذبات ، خاصة في تحليل التذبذبات التوافقية.
هناك عدة طرق لتحديد الانخفاض ، واحدة منها هي "انخفاض التوهين" — نسبة اتساع اتساع كل تذبذب لاحق إلى اتساع التذبذب السابق. اعتمادا على قيمة هذه العلاقات ، يمكن تمييز نوعين من التناقص: انخفاض التوهين أكبر من واحد وانخفاض التوهين أقل من واحد.
يرتبط أصل التناقص والجذور بحل معادلة التذبذبات المبللة. معادلة التذبذبات المخففة لها الشكل:
س (ر) = أ * ه^(- δ) * كوس (بالوزن++)
أين أ هو اتساع التذبذبات ، is هو انخفاض التوهين ، is هو تردد التذبذب الدائري ، is هي المرحلة الأولية من التذبذبات.
باستبدال هذه المعادلة في معادلة التذبذب ، نحصل على الدالة التربيعية المميزة التالية:
^ ^ 2-2δω + ون ^ 2 = 0
أين ون هو التردد الدائري الطبيعي للنظام.
حل هذه المعادلة التربيعية ، نحصل على قيمتين δ1 و22 ، والتي تحدد تناقص وجذور المعادلة. إذا كان التناقص أكبر من واحد ، فإن النظام له جذران من الأعداد الحقيقية ، وإلا فإن النظام له جذران معقدان بجزء حقيقي سالب.
تشمل أمثلة الأنظمة التذبذبية ذات القيم المختلفة للتناقص والجذور البندولات والدوائر الكهربائية ذات التداخل والعديد من الأنظمة الأخرى حيث يلعب توهين السعة دورا مهما في ديناميكياتها.
التناقص: المفهوم والشرح
التناقص هو مؤشر على توهين اتساع التذبذبات في النظام ، أي انخفاض اتساع التذبذبات بمرور الوقت.
يعد التناقص مفهوما مهما في نظرية التذبذب ويستخدم لتحديد درجة توهين النظام التذبذب. يتميز بقيمتين: السعة في اللحظة الأولى من الزمن والسعة بعد وقت معين ، بعد أن بدأ النظام في التأرجح.
ويمثل نسبة اللوغاريتم لنسبة اتساع التذبذبات في اللحظة الأولى من الزمن إلى لوغاريتم نسبة السعة بعد وقت معين:
= = (لن (أ0 / في)) / (2 ن)
أين أ0 هو السعة الأولية للتذبذبات ، في هل سعة التذبذبات بعد وقت معين ر, ن هو عدد فترات التذبذب التي مرت خلال هذا الوقت.
يسمح لك حجم الانخفاض بتقدير مدى سرعة تلاشي التقلبات في النظام. كلما ارتفعت قيمة الانخفاض ، كلما تلاشت سعة التذبذبات بشكل أسرع.
يستخدم التناقص في مختلف المجالات حيث يتم دراسة الاهتزازات: الفيزياء والهندسة والإلكترونيات وغيرها الكثير.
تاريخ افتتاح المرسوم
ظهر مفهوم" التناقص " لأول مرة فيما يتعلق بدراسة عمليات التخميد الاهتزازي في الأنظمة المختلفة. نشأ مفهوم التناقص في منتصف القرن 19 ، عندما أصبح العلماء مهتمين بآليات التخميد الاهتزازي في الأنظمة الميكانيكية.
كان الفيزيائي الفرنسي لوران فورييه أول من أجرى دراسة منهجية للتناقص. في عام 1828 ، طور طريقة لحل المعادلات التفاضلية الخطية ذات المعاملات الثابتة ، بما في ذلك معادلة التذبذبات التوافقية مع التوهين.
أظهر فوري أنه عندما تتحلل التذبذبات التوافقية ، يتناقص اتساع التذبذبات مع مرور الوقت. واقترح إدخال مفهوم" التناقص " لقياس معدل توهين التذبذبات. تم تعريف الانخفاض على أنه نسبة اتساع اثنين من التذبذبات المتتالية.
في وقت لاحق ، استمرت دراسات التناقص من قبل علماء آخرين. قدمت المدرسة الرياضية الروسية العظيمة مساهمة كبيرة في تطوير هذا المفهوم. درس علماء الرياضيات والفيزيائيون التناقص في أنظمة مختلفة ، بدءا من الاهتزازات الميكانيكية والكهربائية إلى الظواهر البصرية وموجات الراديو.
اليوم ، يستخدم التناقص على نطاق واسع في مختلف مجالات العلوم والتكنولوجيا. إنها أداة مهمة لدراسة توهين الاهتزاز والتوهين ، وكذلك لتحليل التخميد في الأنظمة ذات الحركة. تسمح معرفة الانخفاض للعلماء بتحسين معايير النظام من أجل تحقيق الاستقرار والكفاءة في تشغيله.
أصل الجذر الأول من التناقص
التناقص هو أحد المعلمات التي تميز توهين التذبذبات في نظام التذبذب. يتم تعريفه على أنه اللوغاريتم الطبيعي لنسبة اتساع التذبذب الحالي إلى اتساع التذبذب السابق:
د = لن (ان/ان+1)
أين د هو التناقص ، و هو سعة نالتذبذب التاسع ، و +1 هو سعة التذبذب التالي (ن + 1).
إذا كان الانخفاض صفرا أو أقل من الصفر ، فمن المتوقع أن يتم الحفاظ على اتساع التذبذبات وعدم تخفيفها. ولكن هناك حالات عندما يكون هناك تخميد في النظام ، ويمكن أن يكون الانخفاض صفرا أو أقل من الصفر. في مثل هذه الحالات ، يقال أن هناك 2 جذور إنقاص.
أصل الجذر الأول من التناقص هو أن تذبذبات النظام لها ترددان ، أحدهما حقيقي والآخر خيالي. نتيجة لذلك ، قد يكون الانخفاض صفرا أو أقل من الصفر ، مما يشير إلى تخميد التذبذبات ، لكن النظام يستمر في التأرجح بسعة موجبة.
قد تكون أمثلة الأنظمة التي يحدث فيها الجذر الأول للتناقص هي الدوائر الكهربائية ذات الرنين أو الأنظمة الميكانيكية ذات الاقتران غير الخطي أو العناصر غير المتجانسة.
شرح معنى الجذر الأول من التناقص
الجذر الأول للتناقص هو معلمة تصف توهين الاهتزازات في النظام. يتم تعريفه على أنه نسبة اللوغاريتم لعدد طبيعي إلى السعة المزدوجة للتذبذبات وفترة التذبذب:
الجذر الأول للتناقص (التجمع الكونغولي من أجل الديمقراطية) = لن (السعة1 / السعة2) / (2 * * ن)
أين:
- السعة 1 هي سعة التذبذب الأول
- السعة 2 هي سعة التذبذب الثاني
- ن هو عدد فترات التذبذب بين قياسات السعة
تتيح لك قيمة الجذر الأول للتناقص تقدير مدى سرعة تلاشي التقلبات في النظام. إذا كانت قيمة التجمع الكونغولي من أجل الديمقراطية أكبر من الصفر ، فإن التذبذبات تتلاشى ، وإذا كانت صفرا ، فإن التذبذبات لا تتلاشى ويكون النظام في حالة صدى.
بمعرفة قيمة التجمع الكونغولي من أجل الديمقراطية ، من الممكن أيضا تحديد قيمة انخفاض التوهين ، الذي يميز معدل توهين الاهتزازات في النظام.
مثال:
| فترة التذبذب (ر) | اتساع التذبذب الأول (أ1) | اتساع التذبذب الثاني (أ2) | عدد الفترات الفاصلة بين القياسات (ن) | الجذر الأول من التناقص (التجمع الكونغولي من أجل الديمقراطية) | تخفيض التوهين (Δ) |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 ثانية | 5 م | 2 متر | 10 | لن (5/2) / (2 * * 10 ) 0 0.032 | - لن (5/2) / (2 * * 10) ≈ -0.032 |
في هذا المثال ، تبلغ قيمة الجذر الأول للتناقص حوالي 0.032. هذا يعني أن التقلبات في النظام سوف تتلاشى بمرور الوقت.
وبالتالي ، فإن الجذر الأول للتناقص هو معلمة مهمة لتحليل توهين الاهتزازات في النظام ويسمح لنا بتقدير معدل هذا التوهين.
أمثلة على استخدام جذر التناقص الأول:
غالبا ما يستخدم جذر التناقص الأول في مجال الفيزياء والهندسة لتحليل التذبذبات المخففة. التناقص هو مقياس لتوهين التذبذبات أو انخفاض السعة أثناء عملية التذبذب. يتيح لك استخدام الجذر الأول للتناقص تحديد معدل توهين الاهتزازات وتقدير فقد الطاقة في النظام.
فيما يلي بعض الأمثلة على استخدام الجذر الأول للتناقص:
البطارية القابلة لإعادة الشحن:
عند شحن البطارية ، يمكن استخدام الجذر الأول للتناقص لتقدير وقت التوهين لجهد البطارية بعد إيقاف الشحن. هذا يسمح لك بتحديد متى تكون البطارية مشحونة بالكامل.
دائرة تتأرجح:
في الدوائر التذبذبية ، يتم استخدام الجذر الأول للانخفاض لتحديد معامل فقدان الطاقة وجودة التذبذبات. يسمح لك بتقييم مدى فعالية الدائرة في تخزين الطاقة أثناء عملية التذبذب ومدى سرعة حدوث توهين السعة.
الاهتزازات الميكانيكية:
في الأنظمة الميكانيكية ، يتم استخدام الجذر الأول للتناقص لقياس توهين سعة التذبذب. هذا مفيد بشكل خاص عند دراسة التذبذبات المخففة في أنظمة الرنين أو عند تحليل الاضطرابات المخففة في أنظمة البندولات والربيع.
وبالتالي ، فإن استخدام جذر التناقص الأول هو أداة مهمة لتقدير فقد الطاقة وتوهين الاهتزاز في مختلف الأنظمة الفيزيائية والهندسية.
أصل الجذر الثاني من التناقص
التناقص هو معلمة تستخدم في نظرية التحكم الآلي لوصف استقرار الأنظمة الديناميكية الخطية. إنه انعكاس لمعدل توهين الاهتزازات في النظام ويحدد الوقت الذي ستنخفض فيه سعة الاهتزازات بعامل ه (الأس).
عادة ، يكون للتناقص جذر واحد فقط ، والذي يحدد معدل توهين التذبذب. ومع ذلك ، في بعض الحالات ، قد تنشأ أنظمة ذات جذرين متناقص ، مما يؤدي إلى ديناميكيات نظام أكثر تعقيدا.
قد يكون أصل الجذر الثاني من التناقص يرجع إلى الأسباب التالية:
- الاضطراب المضاعف: يمكن أن يحدث هذا الاضطراب عندما يتم ضرب إشارة الدخل في دالة لا تنخفض بمرور الوقت. قد يؤدي هذا إلى جذر إنقاص إضافي.
- قنوات منفصلة: في الحالة التي يكون فيها للنظام عدة قنوات منفصلة ، كل منها يساهم في التناقص ، قد ينشأ موقف يكون فيه لكل قناة جذر تناقص خاص بها.
- معاملات حقول الدولة: في نظام به معاملات غير خطية لحقول الحالة ، قد ينشأ موقف حيث قد يكون لجذور التناقص قيم مختلفة.
مثال على نظام له جذران متناقصان قد يكون الاتصال المتوازي لدائرتين كهربائيتين متطابقتين غير مطفأتين. في هذه الحالة ، يكون كل كفاف مسؤولا عن جذر التناقص الخاص به ، مما يؤدي إلى ظهور جذرين.
| كونتور 1 | كونتور 2 |
| 1 + آر1 سي1 | 1 + آر2 سي2 |
في هذا المثال ، كل دائرة لها السعة الخاصة بها ج و المقاومة ص ، المساهمة في إنقاص النظام.
وبالتالي ، يمكن أن يرتبط أصل جذر التناقص الثاني بعوامل مختلفة ، بما في ذلك الاضطرابات المضاعفة والقنوات المنفصلة والمعاملات غير الخطية لحقول الحالة.
شرح معنى الجذر الثاني من التناقص
التناقص هو مؤشر على توهين اتساع التذبذبات الذاتية في نظام التذبذب. يتم التعبير عنها من حيث نسبة اللوغاريتم الطبيعي للسعة / ص (ر) / التذبذبات الذاتية على ن و (ن+1)ال التذبذبات:
= = - لن (/ين+1|/| ين|)
يمكن أن يكون للتناقص جذران مختلفان: δ 1 و δ 2. الجذر الثاني للانخفاض ، δ 2 ، أقل أهمية وأكثر أهمية في سياق تحليل ديناميكيات النظام. يتم استخدامه لتحديد عدد التذبذبات المطلوبة لتخفيف السعة بعامل ه.
تعتمد قيمة الجذر الثاني للتناقص على عوامل مختلفة مثل التوهين والصلابة وكتلة النظام ، بالإضافة إلى مقدار الخسائر في النظام. يسمح لك بتحديد مدى سرعة حدوث توهين السعة في النظام ومدى سرعة تحول التذبذبات من وضع التذبذب الذاتي إلى وضع التوهين.
يمكن تحديد اختيار طريقة الحساب للجذر الثاني للتناقص من خلال المتطلبات والأهداف المحددة للتحليل. واحدة من أكثر الطرق شيوعا هي استخدام الرسوم البيانية بناء على البيانات التجريبية أو النماذج الرياضية للنظام.
من المهم ملاحظة أنه يجب تفسير قيمة الجذر الثاني للتناقص في سياق نظام معين مع مراعاة ميزاته. يمكن استخدامه لتحديد استقرار النظام وخصائص التردد والمشاكل المحتملة المرتبطة بتوهين السعة ومتانة التذبذبات الذاتية.
أمثلة على استخدام الجذر الثاني للتناقص
جذر التناقص الثاني هو أداة مهمة في تحليل الأنظمة التذبذبية ، وكذلك في قياس وقت الاسترخاء وموثوقية الاستجابة. يتم إعطاء بعض الأمثلة على استخدام الجذر الثاني للتناقص:
تحديد استجابة تردد السعة: الجذر الثاني للتناقص يجعل من الممكن تحديد اعتماد اتساع تذبذبات النظام على تردد القوة المثيرة. من خلال قياس حجم التناقص عند قيم تردد مختلفة ، يمكن إنشاء استجابة تردد السعة.
قياس وقت الاسترخاء: يمكن استخدام الجذر الثاني للتناقص لقياس وقت الاسترخاء في نظام التذبذب. تحدد قيمة وقت الاسترخاء معدل توهين الاهتزاز وهي مهمة ، على سبيل المثال ، في البصريات لوصف استرخاء الإشارات الضوئية.
تحليل استقرار النظام: باستخدام الجذر الثاني للتناقص ، من الممكن تحديد درجة استقرار النظام التذبذب. إذا كان الجذر الثاني للتناقص أقل من الصفر ، فإن النظام مستقر ويتقارب إلى حالة توازن. إذا كان الجذر الثاني للتناقص هو صفر ، فإن النظام على وشك الاستقرار. إذا كان الجذر الثاني للتناقص أكبر من الصفر ، فإن النظام غير مستقر.
وبالتالي ، فإن استخدام الجذر الثاني للتناقص يجعل من الممكن تحليل الأنظمة التذبذبية وقياس خصائص الوقت وتحديد استقرار النظام. إنها أداة مهمة في الفيزياء والهندسة والبصريات والعلوم الأخرى.
سؤال وجواب
ما هو جذر التناقص?
جذر التناقص هو معلمة تحدد مدى سرعة تحلل العملية التذبذبية بعد الإثارة. أثناء عملية التوهين ، يتناقص اتساع التذبذبات مع مرور الوقت. يسمح لك جذر التناقص بتقدير معدل توهين الاهتزاز.
ماذا أصل 2 جذور إنقاص يعني?
أصل جذور 2 من التناقص يعني أنه عندما تتلاشى التذبذبات ، يتغير السعة وفقا لقانون جيبي. يحدث هذا عندما يقع جذر التناقص بين صفر وواحد. لوحظ هذا النوع من التوهين ، على سبيل المثال ، في الدوائر التذبذبية الكهربائية.
كيف إنشاء اثنين من جذور إنقاص تأخذ مكان?
إنشاء اثنين من جذور إنقاص ممكن إذا كان النظام يحتوي على كل من امتصاص ومكون مثير. على سبيل المثال ، في الدائرة الكهربائية ، قد يكون هذا هو وجود عنصر نشط يخلق الطاقة. في ظل هذه الظروف ، سوف تتلاشى التذبذبات تدريجيا ، مما يجعل التذبذبات بسعة تتناقص تدريجيا. وتسمى هذه العملية التخميد اغلاق.