في الرياضيات ، التكامل هو أحد المفاهيم الأساسية المستخدمة لحساب المناطق الواقعة تحت المنحنيات وقيم معينة للوظائف. ومع ذلك ، هناك نوعان من التكاملات التي لها بعض الاختلافات: تكامل محدد وتكامل غير محدد.
التكامل المحدد هو تكامل يمكن حساب قيمته بدقة لفترة أو وظيفة معينة. وهو يمثل القيمة العددية للمنطقة تحت المنحنى في فترة زمنية معينة. يمكن العثور على قيمة تكامل معين باستخدام طرق مختلفة ، مثل طريقة المستطيل أو طريقة شبه المنحرف أو طريقة مونت كارلو.
ال التكامل غير المحدود ، أو الوظيفة البدائية ، هي العملية العكسية للتمايز. يسمح لك بالعثور على دالة يكون مشتقها مساويا لوظيفة معينة. يرمز إلى التكامل غير المحدد بالرمز - وله الشكل-و (س) دكس ، أين و(س) هي دالة و دكس هو تفاضل المتغير س.
مثال على تكامل معين هو حساب المنطقة تحت المنحنى ص = س^2 في النطاق من 0 إلى 1. قيمة هذا التكامل المحدد هي 1/3. من ناحية أخرى ، قد يكون أحد الأمثلة على التكامل غير المحدد هو العثور على دالة مشتقة منها س^2. في هذه الحالة ، ستكون قيمة التكامل غير المحدد 1/3 * س^3 + ج ، أين ج هو ثابت التكامل.
- الاختلافات بين التكاملات المحددة وغير المحددة
- أمثلة على تطبيق التكاملات المحددة وغير المحددة
- سؤال وجواب
- ما هو الفرق بين لا يتجزأ واضح وإلى أجل غير مسمى واحد?
- ما هي بعض الأمثلة على التكاملات المحددة وغير المحددة?
- ما هي مساحة الشكل الذي يحده رسم بياني للدالة?
- كيفية حساب جزء لا يتجزأ معين?
الاختلافات بين التكاملات المحددة وغير المحددة
لا يتجزأ واضح:
- التكامل المحدد هو قيمة عددية تشير إلى المنطقة الموجودة أسفل الرسم البياني للدالة في فترة زمنية معينة.
- يحتوي تكامل معين على حدود تكامل علوية وسفلية ، والتي تحدد الفاصل الزمني الذي يحدث عنده التكامل.
- يتم حساب التكامل المحدد باستخدام صيغة نيوتن-لايبنيز ويمكن كتابته على النحو التالي: \ (\إنت_ أ ^ ب و (خ) \ ، دكس\) ، حيث \(و (خ)\) هي دالة قابلة للتكامل ، \(أ\) هو الحد الأدنى للتكامل ، \(ب\) هو الحد الأعلى للتكامل.
- لا تعتمد قيمة تكامل معين على متغير التكامل وهي دائما رقم.
التكامل غير المحدود:
- التكامل غير المحدود هو عائلة من الوظائف التي يكون مشتقها هو الوظيفة الأصلية.
- لا يوجد تكامل غير محدد له حدود تكامل علوية وسفلية ويشار إليه بالرمز \(\إنت و(س)\ ، دكس\).
- يتم حساب التكامل غير المحدد باستخدام طرق التكامل مثل صيغ التكامل الجزئي أو استبدال المتغير. والنتيجة هي عائلة من الوظائف ذات ثابت تعسفي.
- تعتمد قيمة التكامل غير المحدد على متغير التكامل وليست رقما ، ولكنها دالة.
على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك الوظيفة \(و(س) =2 س\). دعونا نحسب جزءا لا يتجزأ من هذه الوظيفة في النطاق من 0 إلى 1:
| المتكاملة | المعنى |
|---|---|
| \ (\إنت_0^1 2 س\ ، دكس\) | 1 |
الآن احسب التكامل غير المحدود لهذه الوظيفة:
| متكاملة | المعنى |
|---|---|
| \ (\إنت 2 \ ، دكس\) | \ (س^2 + ج\) ، حيث \(ج\) ثابت تعسفي |
كما يتضح من المثال ، يقوم تكامل معين بإرجاع رقم يوضح المنطقة الموجودة أسفل الرسم البياني للدالة في فترة زمنية معينة. يعيد التكامل غير المحدد دالة ذات ثابت تعسفي ، مشتقها هو الوظيفة الأصلية.
أمثلة على تطبيق التكاملات المحددة وغير المحددة
يتم استخدام تكامل معين لحساب مساحة الأرقام ، وحساب العمل ، والعثور على متوسط قيمة الوظيفة والمهام التطبيقية الأخرى. فيما يلي بعض الأمثلة:
- إيجاد مساحة الشكل أسفل الرسم البياني للدالة:
- حساب العمل بقوة ثابتة:
- حساب متوسط قيمة الدالة:
لنفترض أن لدينا وظيفة و (س) = س^2 في المقطع [0 ، 2]. يمكننا استخدام جزء لا يتجزأ معين لإيجاد مساحة الشكل التي يحدها الرسم البياني لهذه الوظيفة ومحور الثور في المقطع المحدد. ستكون صيغة هذا الحساب كما يلي:
س = ∫[0 ، 2] س^2 دكس
بعد حساب التكامل س ، نحصل على قيمة مساحة الشكل.
تخيل أن جسما يتحرك على طول محور الثور تحت تأثير قوة ثابتة و. لإيجاد العمل المنجز بالقوة عند تحريك جسم على مسافة معينة ، يمكننا استخدام صيغة تكامل معينة:
ث =[[أ ، ب] و دكس
أين و هي القوة ، و أ و ب هما نقطتا البداية والنهاية للحركة.
لنفترض أن لدينا دالة و (س) على المقطع [أ ، ب]. لإيجاد متوسط قيمة هذه الدالة في المقطع المحدد ، يمكننا استخدام صيغة تكامل معين:
= 1 / (ب-أ) *[[أ ، ب] و (خ) دكس
حيث ف_فغ هو متوسط قيمة الدالة.
يعمل التكامل غير المحدود كعملية عكسية للتمايز. يتم استخدامه للعثور على الوظيفة البدائية. أمثلة على استخدام تكامل غير محدد:
- إيجاد الوظيفة البدائية:
- ابحث عن تكامل محدد باستخدام البدائي:
دعونا نحدد التكامل في المقطع [أ ، س] ، حيث س هو متغير. ثم إذا و (س) هو وظيفة ، ثم لأنه يمكن أن نجد بدائية و(س) مثل أن و'(س) = و(س). ستبدو صيغة التكامل غير المحدد كما يلي:
f واو (خ) دكس = واو (خ) + جيم
حيث ج هو ثابت تعسفي.
إذا كان لدينا بالفعل وظيفة بدائية و (س) للدالة و(س) ، فيمكننا استخدام تكامل غير محدد لإيجاد تكامل محدد في المقطع [أ ، ب]. ستكون الصيغة كما يلي:
[[أ ، ب] و (خ) دكس = و (ب — - و (أ )
أين و (ب) و و(أ) هي قيم البدائية في نهايات المقطع [أ ، ب].
وبالتالي ، فإن التكاملات المحددة وغير المحددة لها تطبيقات مختلفة ، ويعتمد استخدامها على المهمة المحددة التي يتعين حلها.
سؤال وجواب
ما هو الفرق بين لا يتجزأ واضح وإلى أجل غير مسمى واحد?
التكامل المحدد والتكامل غير المحدود مفاهيم مختلفة في التحليل الرياضي. التكامل غير المحدد هو العملية العكسية للتمايز ويسمح لك بالعثور على الوظيفة التي تشتق منها هذه الوظيفة. على عكس التكامل غير المحدد ، فإن التكامل المحدد هو قيمة عددية تمثل مساحة الشكل الذي يحده رسم بياني لوظيفة ، ومحور الإحداثي السيني ، وحدود التكامل المحددة.
ما هي بعض الأمثلة على التكاملات المحددة وغير المحددة?
مثال على التكامل غير المحدد هو تكامل الوظيفة و (س) = 3 س^2-2 س + 1. العثور على التكامل إلى أجل غير مسمى ، نحصل على وظيفة و (س) = س^3-س^2 + س + ج ، حيث ج هو ثابت تعسفي. مثال على تكامل معين هو تكامل الوظيفة و (س) = س^2 على المقطع [0 ، 2]. بعد حساب تكامل معين ، نحصل على قيمة عددية 8/3 ، والتي تمثل مساحة الشكل الذي يحده الرسم البياني للدالة ومحور الإحداثي السيني ضمن الحدود المحددة.
ما هي مساحة الشكل الذي يحده رسم بياني للدالة?
مساحة الشكل الذي يحده رسم بياني لوظيفة ما هي قيمة رقمية توضح مقدار المساحة التي يشغلها هذا الشكل على المستوى. لحساب مساحة مثل هذا الرقم ، يمكنك استخدام تكامل معين يجد المنطقة بدقة تصل إلى خطأ معين. التكامل المحدد هو مجموع المساحات الأولية الصغيرة متناهية الصغر المحسوبة على كل جزء من الرسم البياني للدالة.
كيفية حساب جزء لا يتجزأ معين?
لحساب تكامل معين ، تحتاج إلى تنفيذ الخطوات التالية: 1) ابحث عن الوظيفة البدائية للوظيفة القابلة للتكامل. 2) استبدل الحد الأعلى للاندماج في البدائي واحسب قيمة الوظيفة في هذه المرحلة. 3) استبدل الحد الأدنى للاندماج في البدائي واحسب قيمة الوظيفة في هذه المرحلة. 4) اطرح قيمة الدالة عند الحد الأدنى من قيمة الدالة عند الحد الأعلى. ستكون النتيجة قيمة عددية ، وهي قيمة تكامل معين.