العملة المعدنية هي واحدة من أبسط الأدوات المستخدمة لتوليد أرقام عشوائية أثناء التجارب أو الألعاب المختلفة. عندما يتم رمي عملة معدنية ، يمكن أن تسقط الرؤوس أو الذيول. أحد الأسئلة المثيرة للاهتمام التي تنشأ في العديد من المواقف هو حساب احتمال سقوط نتيجة معينة ، على سبيل المثال ، عدد معين من المرات التي يسقط فيها النسر بعدة رميات من العملات المعدنية.
من أجل حساب احتمال سقوط النسر بالضبط 2 مرات مع ثلاث قذفات عملة ، يمكنك استخدام صيغة بسيطة. احتمال وجود نسر في رمي عملة واحدة هو 1/2 (نصف الاحتمالات) ، نظرا لوجود نتيجتين محتملتين: الرؤوس أو الذيول. مع ثلاثة قذفات عملة ، مجموعات مختلفة من النتائج ممكنة: النسر النسر النسر ، النسر النسر ذيول ، النسر ذيول النسر ، الخ.
لحساب احتمال سقوط النسر بالضبط 2 مرات ، من الضروري حساب عدد النتائج الإيجابية (أي. مجموعات حيث سقط النسر بالضبط 2 مرات) وتقسيمه على العدد الإجمالي للنتائج المحتملة. هناك 8 النتائج المحتملة لثلاث قذفات عملة. من بين هؤلاء ، هناك 3 نتائج إيجابية: رؤوس-رؤوس-ذيول ، رؤوس-رؤوس-رؤوس وذيول-رؤوس-رؤوس.
- احتمال سقوط نسر على ثلاث قذفات عملة
- ما هو احتمال سقوط النسر بالضبط 2 مرات?
- سؤال وجواب
- ما هو احتمال نسر يسقط بالضبط 2 مرات مع ثلاثة قذفات عملة?
- كيفية حساب احتمال نسر سقوطه بالضبط 2 مرات مع ثلاثة قذفات عملة?
احتمال سقوط نسر بثلاث رميات من العملات المعدنية
واحدة من أبسط التجارب في نظرية الاحتمالات هي رمي العملة. العملة لها وجهان: رؤساء (س) وذيول (ع). كل إرم عملة هو حدث مستقل ، أي أن نتيجة إرم واحد لا تؤثر على نتيجة التالي.
لحساب احتمال سقوط نسر على ثلاث رميات عملات معدنية ، يمكننا استخدام التوافقية. التوافقية هي فرع من فروع الرياضيات يدرس تركيبات وتباديل العناصر.
هناك صيغة لحساب عدد مجموعات ن عناصر بواسطة ك عناصر:
C ج(ن ، ك) = \فارك{ن!{ك!(ن-ك)!}$$
أين "!"لتقف على مضروب. ال مضروب الرقم ن يشار إليه باسم ن! وهو يساوي حاصل ضرب جميع الأعداد الطبيعية من 1 إلى ن.
في حالتنا ، لدينا 2 النتائج المحتملة (رؤساء أو ذيول) و 3 قذفات عملة. نريد أن نجد احتمال أن النسر سوف تسقط بالضبط 2 مرات.
لحساب هذا ، نجد أولا عدد المجموعات التي يسقط فيها النسر 2 مرات من أصل 3 رميات. يمكننا استخدام الصيغة التوافقية:
C ج (3، 2) =\فارك {3!}{2!(3-2)!} = \ فارك{3 \ سدوت 2} {2 \سدوت 1} = 3 $ $
وبالتالي،هناك 3 مجموعات مختلفة يسقط فيها النسر 2 مرات على ثلاث قذفات عملة.
ثم سنجد احتمال كل مجموعة ، وهو ما يساوي احتمال رفع النسر (1/2) إلى قوة عدد الرؤوس (2) وإلى قوة عدد ذيول (1).
ونتيجة لذلك ، فإن احتمال سقوط النسر بالضبط 2 مرات مع ثلاث قذفات عملة هو:
P ع = ج(3 ، 2) \كدوت \اليسار(\فارك{1} {2}
إيغت)^2 \ كدوت \ اليسار (\فارك{1}{2}
آيت)^1 = 3 \ كدوت \ فارك{1}{4} \كدوت \ فارك{1}{2} = \ فارك{3}{8} $ $
وبالتالي ، فإن احتمال سقوط النسر بالضبط 2 مرات مع ثلاث قذفات عملة هو 3/8 أو 0.375 ، وهو 37.5٪.
ما هو احتمال سقوط النسر بالضبط 2 مرات?
احتمال سقوط الرؤوس أو الذيول بإرم عملة واحدة هو 0.5. لحساب احتمال سقوط الرؤوس بالضبط 2 مرات مع ثلاث رميات ، تحتاج إلى النظر في جميع التوليفات الممكنة وحساب احتمالاتها.
هناك عدة طرق لحل هذه المشكلة. واحد منهم هو استخدام التوافقية. في هذه الحالة ، يمكنك اعتبار فقدان الرؤوس نجاحا ، وفقدان الذيل بمثابة فشل. ثم تتلخص المهمة في حساب عدد الطرق للحصول على 2 نجاحات و 1 فشل.
باستخدام صيغة الجمع ، يمكنك حساب عدد المجموعات: ج (3 ، 2) = 3. وهذا هو ، هناك 3 طرق لاختيار 2 وظائف من أصل 3 ممكن منها للنجاح.
الآن نحن بحاجة إلى أن تأخذ في الاعتبار احتمال كل من هذه المجموعات. احتمال النجاح (سقوط الرؤوس) هو 0.5 ، واحتمال الفشل (سقوط الذيول) هو أيضا 0.5.
دعونا حساب احتمال لكل تركيبة وإضافتها:
| مزيج | الاحتمال |
|---|---|
| أور | 0,5 س 0,5 س 0,5 = 0,125 |
| أورو | 0,5 س 0,5 س 0,5 = 0,125 |
| رو | 0,5 س 0,5 س 0,5 = 0,125 |
تلخيص احتمالات كل مجموعة ، نحصل على: 0,125 + 0,125 + 0,125 = 0.375. وبالتالي ، فإن احتمال سقوط النسر بالضبط 2 مرات مع ثلاث قذفات عملة هو 0.375 أو 37.5٪.
سؤال وجواب
ما هو احتمال سقوط الرؤوس بالضبط 2 مرات بثلاث قذفات عملة?
احتمال سقوط الرؤوس أو الذيول بإرم عملة واحدة هو 0.5. باستخدام صيغة التوزيع ذات الحدين ، يمكنك حساب احتمال سقوط النسر بالضبط 2 مرات مع ثلاث قذفات عملة. الصيغة لها الشكل ص (س=ك) = ج(ن ، ك) * ص^ك * (1-ص)^(ن-ك) ، أين ن هو عدد الرميات ، ك هو عدد النسور ، ص هو احتمال سقوط نسر. في هذه الحالة ، ن = 3 ، ك = 2 و ص = 0.5. استبدال القيم في الصيغة ، نحصل على: ف (س = 2) = ج(3, 2) * 0,5^2 * (1-0,5)^(3-2) = 3 * 0,5^2 * 0,5^1 = 3 * 0,25 * 0,5 = 0,375 أو 37.5٪. وبالتالي ، فإن احتمال سقوط النسر بالضبط 2 مرات مع ثلاث قذفات عملة هو 0.375 أو 37.5%
كيفية حساب احتمال سقوط النسر بالضبط 2 مرات مع ثلاث قذفات عملة?
لحساب احتمال سقوط النسر بالضبط 2 مرات مع ثلاث قذفات عملة ، يمكنك استخدام صيغة التوزيع ذات الحدين. أولا ، تحتاج إلى تحديد عدد الطرق التي يمكنك من خلالها اختيار 2 نسور من 3 رميات. يمكن القيام بذلك باستخدام صيغة الجمع: ج (ن ، ك) = ن! / (ك! * (ن-ك)!) ، أين ن هو عدد الرميات ، ك هو عدد النسور. في هذه الحالة ، ن = 3 و ك = 2 ، لذلك ج (3 ، 2) = 3! / (2! * (3-2)!) = 3. ثم تحتاج إلى ضرب عدد من الطرق لاختيار 2 رؤساء من أصل 3 من احتمال النسر (0.5) إلى قوة 2 واحتمال ذيول (0.5) إلى قوة 1 (لأن هناك رمي واحد فقط اليسار ، يمكن أن يكون فقط ذيول). الصيغة النهائية لها الشكل ص (س=ك) = ج(ن ، ك) * ص^ك * (1-ص)^(ن-ك). استبدال القيم ، نحصل على: ص (س=2) = 3 * 0,5^2 * (1-0,5)^(3-2) = 0,375 أو 37.5٪. وبالتالي ، فإن احتمال سقوط النسر بالضبط 2 مرات مع ثلاث قذفات عملة هو 0.375 أو 37.5%