دعونا نتخيل موقفا: يتكون القطار الكهربائي من 8 سيارات وكل سيارة بها مقاعد للركاب. والسؤال هو ، ما هو احتمال أن اثنين من الركاب الذين اختاروا عربات بشكل مستقل عن بعضها البعض في نهاية المطاف في عربات مختلفة.
لحل هذه المشكلة ، تذكر أولا أن عدد طرق اختيار عربة للراكب الأول هو 8 ، نظرا لأن لدينا 8 عربات ويمكن اختيار كل منها. أيضا ، عدد الطرق لاختيار عربة للراكب الثاني هو أيضا 8.
الآن ، للعثور على العدد الإجمالي لمجموعات اختيار السيارة الممكنة لراكبين ، علينا مضاعفة عدد الخيارات الممكنة لكل راكب. اتضح: 8 * 8 = 64.
لكننا مهتمون فقط باحتمال أن ينتهي المطاف براكبين في عربات مختلفة. أي أننا بحاجة إلى إيجاد عدد المجموعات التي سيكون فيها الركاب الأول والثاني في سيارات مختلفة وتقسيمها على العدد الإجمالي للتركيبات الممكنة.
- احتمال وضع راكبين في عربات مختلفة من قطار كهربائي من أصل 8
- الأسس الرياضية للاحتمال
- النظر الكمي في المشكلة
- العشوائية في اختيار مقعد في العربة
- الاستنتاجات والتطبيق العملي
- سؤال وجواب
- ما هو احتمال أن اثنين من الركاب, تسلق في قطار 8 سيارات, سوف ينتهي في مختلف منها?
- كيفية حساب احتمال أن اثنين من الركاب, تسلق في قطار 8 سيارات, سوف ينتهي في مختلف منها?
احتمال وضع راكبين في عربات مختلفة من قطار كهربائي من أصل 8
دعونا نتخيل أن هناك 8 سيارات في القطار. يمكن لكل راكب ، في القطار ، اختيار أي من هذه السيارات. يمكن حساب احتمال أن ينتهي المطاف براكبين في عربات مختلفة على النحو التالي:
- يمكن للراكب الأول اختيار أي من 8 عربات. احتمال اختيار أي سيارة هو 1.
- يجب على الراكب الثاني اختيار عربة مختلفة عن تلك التي اختارها الراكب الأول. هناك 7 عربات المتاحة اليسار. احتمال اختيار واحد منهم هو 7/8.
وبالتالي ، فإن احتمال أن ينتهي المطاف براكبين في عربات مختلفة يساوي ناتج احتمالات هذين الحدثين: 1 * 7/8 = 7/8.
وبالتالي ، فإن احتمال وضع راكبين في سيارات مختلفة من قطار 8 قطار هو 7/8 أو حوالي 0.875.
الأسس الرياضية للاحتمال
الاحتمال هو خاصية عددية تجعل من الممكن تقييم إمكانية حدوث حدث أو ظاهرة.
التعريف الرياضي للاحتمال هو أن احتمال وقوع حدث يساوي نسبة عدد النتائج الأولية المواتية للحدث إلى العدد الإجمالي للنتائج. إذا كان يمكن تنفيذ الحدث في ن طرق ، والعدد الإجمالي للنتائج هو م ، ثم احتمال الحدث ص يساوي:
ع = ن / م
في هذه الحالة ، يجب أن ينتمي الاحتمال دائما إلى النطاق من 0 إلى 1:
0 P ص 1 1
العمليات الحسابية الأساسية مع الاحتمالات:
- إضافة الاحتمالات. إذا كان أ و ب حدثان غير متوافقين ، فإن احتمال اتحادهما يساوي مجموع احتمالات كل حدث من الأحداث:
ع (أ B ب) = ع(أ) + ع (ب)
- مضاعفة الاحتمالات. إذا كان أ و ب حدثان مستقلان ، فإن احتمال تقاطعهما يساوي حاصل ضرب احتمالات كل حدث من الأحداث:
ع (أ B ب) = ع(أ) * ع (ب)
تطبيق هذه العمليات الحسابية الأساسية يسمح لك لحساب احتمال وقوع أحداث مختلفة. على سبيل المثال ، يمكن التعبير عن احتمال صعود راكبين إلى قطار مكون من 8 سيارات في قطار مختلف على النحو التالي:
احتمال أن يشغل الراكب الأول أيا من 8 سيارات هو 8/8 = 1.
احتمال أن يشغل الراكب الثاني عربة أخرى غير تلك التي يشغلها الراكب الأول هو (8-1) / 8 = 7/8.
ثم احتمال أن اثنين من الركاب في نهاية المطاف في عربات مختلفة يساوي:
ع = (8/8) * (7/8) = 7/8
وبالتالي ، فإن احتمال أن ينتهي المطاف براكبين في عربات مختلفة هو 7/8.
النظر الكمي في المشكلة
لتحديد مشكلة احتمال أن ينتهي المطاف براكبين يصعدان إلى قطار مكون من 8 سيارات في قطار مختلف ، يمكننا استخدام التوافقية.
في هذه الحالة ، نحتاج إلى إيجاد عدد جميع الخيارات الممكنة لاستيعاب راكبين في 8 عربات. بعد ذلك ، نحتاج إلى العثور على عدد الخيارات التي سينتهي فيها راكبان في عربات مختلفة.
للعثور على عدد جميع خيارات الإقامة الممكنة لراكبين في 8 عربات ، يمكننا استخدام صيغة التقليب. نظرا لأن أمر وضع الركاب مهم ، فإننا نستخدم التباديل:
الإذاعة الوطنية العامة = ن! / (ن — ص)!
أين ن هو عدد العربات و ص هو عدد الركاب.
في حالتنا ، ن = 8 و ص = 2:
8 ص 2 = 8! / (8 — 2)! = 8! / 6! = 8 * 7 = 56
وبالتالي ، فإن عدد جميع الخيارات الممكنة لاستيعاب راكبين في 8 عربات هو 56.
الآن ، للعثور على عدد الخيارات التي سينتهي فيها راكبان في سيارات مختلفة ، يجب أن نأخذ في الاعتبار أن الراكب الأول يمكنه اختيار أي من 8 سيارات ، ويمكن للراكب الثاني اختيار أي من 7 سيارات (بشرط أن يكون الراكب الأول قد شغل بالفعل إحدى السيارات). وبالتالي ، فإن عدد الخيارات التي سينتهي فيها راكبان في عربات مختلفة هو:
8 * 7 = 56
لذلك ، نحصل على أن عدد جميع الخيارات الممكنة لوضع راكبين في 8 سيارات هو 56 ، وعدد الخيارات التي سينتهي فيها راكبان في سيارات مختلفة هو أيضا 56.
الآن يمكننا حساب احتمال أن ينتهي الأمر براكبين في عربات مختلفة باستخدام الصيغة:
الاحتمال = عدد النتائج الإيجابية / إجمالي عدد النتائج
الاحتمال = 56/56 = 1
وبالتالي ، فإن احتمال أن يصعد راكبان إلى قطار مكون من 8 سيارات في قطار مختلف هو 1 أو 100٪.
العشوائية في اختيار مقعد في العربة
عندما نركب القطار ونختار المقاعد ، يبدو أن هذا اختيار عشوائي بسيط. ومع ذلك, ما هو احتمال أن اثنين من الركاب في نهاية المطاف في عربات مختلفة?
لفهم احتمال اثنين من الركاب الدخول في عربات مختلفة ، فمن الضروري النظر في جميع التوليفات الممكنة. في هذه الحالة ، لدينا 8 عربات وراكبين ، لذلك توجد المجموعات التالية:
- الركاب 1 في النقل 1 ، الركاب 2 في النقل 2
- الركاب 1 في النقل 1 ، الركاب 2 في النقل 3
- الركاب 1 في النقل 1 ، الركاب 2 في النقل 4
- الركاب 1 في النقل 1 ، الركاب 2 في النقل 5
- الركاب 1 في النقل 1 ، الركاب 2 في النقل 6
- الركاب 1 في النقل 1 ، الركاب 2 في النقل 7
- الركاب 1 في النقل 1 ، الركاب 2 في النقل 8
- الركاب 1 في النقل 2 ، الركاب 2 في النقل 1
- وهلم جرا…
ما مجموعه 64 مجموعة ممكنة ، حيث يمكن لكل راكب اختيار أي من 8 عربات. من بين هذه المجموعات ، تتوافق 56 مجموعة مع الموقف عندما يجد راكبان نفسيهما في عربات مختلفة.
وبالتالي ، فإن احتمال صعود راكبين إلى قطار مكون من 8 سيارات في قطار مختلف هو 56/64 أو 0.875.
خاتمة: احتمال اختيار مقعد عشوائيا في عربة هو أن اثنين من الركاب سوف ينتهي في عربات مختلفة ما يقرب من 0.875 أو 87.5٪.
الاستنتاجات والتطبيق العملي
بناء على التحليل السابق ، يمكن استخلاص الاستنتاجات التالية:
- احتمال أن ينتهي الأمر براكبين في سيارات مختلفة هو 71٪. هذا يعني أنه في معظم الحالات يختار الركاب عربات مختلفة عند ركوب القطار.
- كلما زاد عدد السيارات الموجودة في القطار ، قل احتمال أن ينتهي الأمر بالركاب في نفس السيارة. ويرجع ذلك إلى حقيقة أنه مع زيادة عدد العربات ، يزداد عدد التوليفات الممكنة لتوزيع الركاب.
- يمكن حساب احتمال توزيع الركاب بين العربات باستخدام التوافقية. ستساعدك الصيغ المناسبة على حساب احتمالية الأحداث المتعلقة بتوزيع الركاب.
قد يكون التطبيق العملي لهذه الدراسة على النحو التالي:
- تحسين توزيع الركاب في القطارات الكهربائية. إن معرفة احتمال فصل الركاب إلى عربات يمكن أن يساعد تدفق الركاب على أن يكون أكثر اتساقا ويمنع التحميل الزائد للعربات الفردية.
- تخطيط الطريق وتحسين الرحلة. يمكن أن تساعد نمذجة احتمالات توزيع الركاب بالسيارة في تخطيط الطرق وتردد الرحلات ، مع مراعاة حركة الركاب.
- تحسين جودة الخدمة. معرفة احتمال فصل الركاب إلى عربات ، يمكن اتخاذ تدابير لتحسين راحة وسلامة الركاب في القطارات ، والحد من الوقت للصعود والنزول.
وبالتالي ، فإن تحليل احتمال فصل الركاب عن طريق العربات في القطارات الكهربائية له تطبيق عملي ويمكن أن يساعد في تحسين جودة خدمة الركاب وتحسين تدفقات الركاب.
سؤال وجواب
ما هو احتمال أن اثنين من الركاب, تسلق في قطار 8 سيارات, سوف ينتهي في مختلف منها?
يمكن حساب احتمال أن ينتهي الأمر براكبين في سيارات مختلفة كنسبة لعدد الخيارات عندما ينتهي بهم الأمر في سيارات مختلفة إلى إجمالي عدد الخيارات. السماح للراكب الأول اختيار واحد من 8 عربات ، والثانية — أي من 7 عربات المتبقية. ثم العدد الإجمالي للخيارات سيارة لراكبين يساوي المنتج من عدد من الخيارات لكل راكب: 8 * 7 = 56. وعدد الخيارات عندما يجدون أنفسهم في سيارات مختلفة يساوي ناتج عدد اختيارات الراكب الأول (8) وعدد اختيارات الراكب الثاني (7) ، حيث أن لكل منهم 7 سيارات قد لا يكونون فيها. لذلك ، فإن احتمال أن ينتهي المطاف براكبين في سيارات مختلفة هو 7/8 أو حوالي 0.875 (87.5٪).
كيفية حساب احتمال أن اثنين من الركاب, تسلق في قطار 8 سيارات, سوف ينتهي في مختلف منها?
لحساب احتمال أن ينتهي الأمر براكبين في عربات مختلفة ، من الضروري معرفة العدد الإجمالي للخيارات وعدد النتائج الإيجابية. في هذه المشكلة ، يمكن التعبير عن العدد الإجمالي للخيارات كمنتج لعدد العربات لكل راكب: 8 * 8 = 64. عدد النتائج الإيجابية هو عدد المجموعات عندما يختار كل راكب عربات مختلفة. يمكن تمثيل ذلك كمنتج لعدد العربات المخفضة بعدد العربات التي يختارها الراكب الأول: 8 * 7 = 56. وبالتالي ، فإن احتمال أن ينتهي المطاف براكبين في عربات مختلفة هو 56/64 أو حوالي 0.875 (87.5٪).