ما هو احتمال الحصول على نسر واحد على الأقل عند رمي عملة معدنية 4 مرات?

إرم العملة هو مثال كلاسيكي لتجربة عشوائية. أبسط شيء يمكن الحصول عليه عن طريق رمي عملة معدنية هو فقدان "شعار النبالة" أو "النسر". وأتساءل ما هو احتمال الحصول على نسر واحد على الأقل على أربع قذفات عملة?

لحل هذه المشكلة ، تحتاج إلى تطبيق التوافقية. لدينا ثلاث حالات: 1) برمية عملة واحدة ، سقط نسر ؛ 2) برميتين ، سقط نسر ؛ 3) بثلاث رميات ، سقط نسر. في كل حالة من هذه الحالات ، قد يكون هناك عدد مختلف من الخيارات المختلفة ، ونحتاج إلى إيجاد العدد الإجمالي لها.

احتمال سقوط نسر على عملة واحدة هو 1/2. أي ، من بين الخيارين (النسر أو شعار النبالة) ، هناك خيار واحد فقط يفضل حالتنا. وإذا كنت رمي عملة مرتين? هنا يجدر استخدام ما يسمى بقاعدة الضرب الاحتمالي: احتمال سقوط نسر بقذفتين من العملات المعدنية سيكون 1/2 مضروبا في 1/2 ، أي 1/4.

وبالتالي ، للعثور على احتمال سقوط نسر واحد على الأقل على أربع لفات من العملات المعدنية ، تحتاج إلى إيجاد مجموع احتمالات سقوط نسر على لفة واحدة واثنتين وثلاث لفات. سيكون مساويا ل 1/2 + 1/4 + 1/8 = 7/8. وبالتالي ، فإن احتمال سقوط نسر واحد على الأقل عند رمي عملة معدنية 4 مرات هو 7/8 أو حوالي 0.875 ، مما يعني أنه في 87.5 ٪ من الحالات سوف يسقط نسر واحد على الأقل.

1. احتمال سقوط نسر على عملة معدنية
2. تحديد الاحتمال
3. كيف يمكنني حساب احتمال?
4. احتمال سقوط نسر على 4 لفات
5. سؤال وجواب

احتمال سقوط نسر على عملة معدنية

العملة هي واحدة من أبسط الوسائل وأكثرها شيوعا لإجراء تجارب عشوائية. هناك نتيجتان محتملتان عند رمي عملة معدنية-رؤوس أو ذيول. في هذه الحالة ، سننظر في احتمال سقوط نسر عند رمي عملة معدنية 4 مرات.

يمكن تمثيل احتمال حدوث حدث كنسبة من عدد النتائج الإيجابية إلى العدد الإجمالي للنتائج المحتملة. في هذه المشكلة ، لدينا 2 النتائج المحتملة-رؤساء وذيول. مع كل رمية عملة ، تكون كلتا النتيجتين ممكنتين ، وبالتالي فإن العدد الإجمالي للنتائج المحتملة هو 2^4 = 16.

الآن من الضروري تحديد عدد النتائج الإيجابية ، أي عدد المرات التي سقط فيها نسر واحد على الأقل. للقيام بذلك ، يمكنك استخدام مبدأ التكميل ، مع حساب عدد النتائج عندما لا تسقط الرؤوس.

إذا ظهرت ذيول على كل عملة إرم ، فهذا يعني أننا بحاجة إلى اختيار ذيول على كل من 4 لفات. في نفس الوقت ، عدد ذيول كل لفة هو 1. وبالتالي ، فإن عدد النتائج الإيجابية يساوي 1 * 1 * 1 * 1 = 1.

باستخدام المبدأ التكميلي ، يمكننا حساب عدد النتائج الإيجابية عند سقوط نسر واحد على الأقل. نظرا لأن العدد الإجمالي للنتائج هو 16 ، وعدد النتائج الإيجابية عند عدم سقوط الرؤوس هو 1 ، فإن عدد النتائج الإيجابية عند سقوط نسر واحد على الأقل هو 16 — 1 = 15.

الآن يمكننا حساب احتمال سقوط النسر عند رمي عملة معدنية 4 مرات. للقيام بذلك ، تحتاج إلى تقسيم عدد النتائج الإيجابية على العدد الإجمالي للنتائج. وبالتالي ، فإن احتمال سقوط النسر عند رمي عملة معدنية 4 مرات هو 15/16.

تحديد الاحتمال

الاحتمال هو خاصية عددية لتجربة عشوائية توضح مدى احتمال حدوث حدث معين. في حالة رمي العملة ، يعكس الاحتمال فرصة نتيجة معينة-رؤوس أو ذيول.

لتحديد احتمال سقوط نسر واحد على الأقل عند رمي عملة معدنية 4 مرات ، من الضروري مراعاة جميع التوليفات الممكنة لنتيجة الرميات. يتم تحديد العدد الإجمالي للمجموعات بواسطة الصيغة 2 إلى قوة ن ، أين ن هو عدد الرميات. في هذه الحالة ، ن = 4 ، لذلك سيكون هناك 2 مجموعات ممكنة لقوة 4 ، أي 16.

الآن من الضروري تحديد عدد المجموعات التي ستسقط فيها الرؤوس مرة واحدة على الأقل. هناك عدة طرق لحساب هذه المجموعات:

1. باستخدام صيغة التوافقية. في هذه الحالة ، سيكون عدد المجموعات بدون نسر 1 (مجموعة تكون فيها جميع الرميات ذات ذيول) ، وبالتالي فإن عدد المجموعات مع نسر واحد على الأقل سيكون مساويا لإجمالي عدد المجموعات (16) مطروحا منه عدد المجموعات بدون نسر (1) ، أي 15.
2. باستخدام الوظيفة الإضافية. مع احتمال سقوط نسر على لفة واحدة تساوي 0.5 ، فإن احتمال سقوط نسر لن يكون أبدا 0.5 إلى قوة 4 ، أي 0.0625. لذلك ، فإن احتمال سقوط نسر واحد على الأقل سيكون 1 مطروحا منه احتمال سقوط نسر أبدا ، أي 1 — 0.0625 ، أي 0.9375.
3. عد جميع التوليفات الممكنة باستخدام جدول أو شجرة قرار. وهي مناسبة للحالات الأكثر صعوبة عندما يكون عدد الرميات والتركيبات أكبر.

في هذه الحالة ، فإن احتمال سقوط نسر واحد على الأقل عند رمي عملة معدنية 4 مرات سيكون 15/16 أو 0.9375.

كيف يمكنني حساب احتمال?

من أجل حساب احتمال الحصول على نسر واحد على الأقل عند رمي عملة معدنية 4 مرات ، تحتاج إلى اتباع هذه الخطوات:

1. تحديد العدد الإجمالي للنتائج. في هذه الحالة ، هناك نتيجتان محتملتان عند رمي عملة معدنية: الرؤوس (س) أو ذيول (ع). وبالتالي ، فإن العدد الإجمالي للنتائج هو 2^4 = 16.
2. حدد عدد النتائج الإيجابية-أي عدد النتائج التي يسقط فيها نسر واحد على الأقل. يمكن استخدام التوافقيات للعثور على هذا الرقم. في هذه الحالة ، لدينا 4 قذفات عملة ، ونريد إيجاد عدد النتائج التي يسقط فيها نسر واحد على الأقل. هذا يعني أنه يمكن أن يكون هناك رؤوس أو ذيول على كل عملة معدنية. وبالتالي ، يمكننا اختيار إحدى نتيجتين لكل رمية ، وبالتالي فإن عدد النتائج الإيجابية هو 2^4-1 = 15.
3. احسب احتمال فقدان نسر واحد على الأقل بقسمة عدد النتائج الإيجابية على العدد الإجمالي للنتائج: ع = (عدد النتائج الإيجابية) / (إجمالي عدد النتائج) = 15/16 = 0.9375.

وبالتالي ، فإن احتمال سقوط نسر واحد على الأقل عند رمي عملة معدنية 4 مرات هو 0.9375 أو حوالي 93.75٪.

احتمال سقوط نسر على 4 رميات

يعد فقدان الرؤوس أو الذيول على رمي العملة مثالا على حدث له نتيجتان محتملتان مع احتمال متساو. احتمال سقوط الرؤوس أو الذيول على عملة واحدة هو 0.5.

لحساب احتمال سقوط الرؤوس على 4 قذفات عملة ، يمكنك استخدام التوافقية. في هذه الحالة ، نحتاج إلى حساب عدد النتائج الناجحة (خسارة النسر) وتقسيمها على العدد الإجمالي للنتائج المحتملة.

نظرا لأن لدينا نتيجتين محتملتين (رؤوس أو ذيول) لكل رمية عملة ، في 4 رميات سيكون لدينا 2 إلى القوة الرابعة (2^4) النتائج المحتملة.

لحساب عدد النتائج الناجحة (تسقط الرؤوس مرة واحدة على الأقل على 4 لفات) ، يمكننا استخدام مبدأ التكميل. أي أننا نحسب أولا احتمال سقوط ذيول على 4 لفات (0.5^4) ، ثم نطرح هذه القيمة من 1 للحصول على احتمال سقوط الرؤوس مرة واحدة على الأقل.

لذا ، فإن احتمال سقوط نسر مرة واحدة على الأقل مع 4 قذفات عملة يساوي:

ص (النسر) = 1-ص (ذيول) = 1 — 0.5^4 = 1 — 0.0625 = 0.9375

وبالتالي ، فإن احتمال سقوط النسر مرة واحدة على الأقل مع 4 قذفات عملة هو 0.9375 أو 93.75٪.

سؤال وجواب