المسافة من النقطة أ إلى مركز الدائرة أقل من نصف القطر: دليل خط مستقيم

الدائرة هي مكان هندسي للنقاط التي تقع على نفس المسافة من المركز. نصف قطر الدائرة هو المسافة من مركز الدائرة إلى أي نقطة على محيطها. بالنسبة لأي نقطة داخل الدائرة ، ستكون المسافة إلى مركز الدائرة أقل من نصف القطر.

لإثبات هذه الحقيقة ، ستكون مهمتنا هي النظر في نقطة تعسفية داخل دائرة. افترض أن المسافة من النقطة أ إلى مركز الدائرة أكبر من نصف القطر. نظرا لأن أ داخل الدائرة ، فهناك نقطة ب على الدائرة تتصل بمركز الدائرة والنقطة أ. عند هذه الزاوية ، يمكننا وضع نقطة ج بحيث يكون جزء من با يساوي جزءا من كا.

افترض أن المسافة من النقطة أ إلى مركز الدائرة أكبر من نصف القطر. عند هذه الزاوية ، يمكننا وضع نقطة ج بحيث يكون جزء من با يساوي جزءا من كا.

لاحظ أن النقطتين ج و ج خارج الدائرة. أيضا ، منذ قبل الميلاد > با ، ثم قبل الميلاد > أب. لكن هذا يتناقض مع تعريف الدائرة ، حيث تكون جميع النقاط على نفس المسافة من المركز. لذلك ، فإن الافتراض بأن المسافة من النقطة أ إلى مركز الدائرة أكبر من نصف القطر هو افتراض خاطئ. أي أن المسافة من أي نقطة داخل الدائرة إلى المركز ستكون أقل من نصف القطر.

1. التعريف
2. دليل مباشر
3. أمثلة على الرسوم التوضيحية
4. سؤال وجواب
5. كيف يمكنني إثبات أن المسافة من النقطة أ إلى مركز الدائرة أقل من نصف القطر?
6. كيف يمكننا إثبات أن المسافة من النقطة أ إلى مركز الدائرة أقل من نصف القطر دون استخدام نظرية فيثاغورس?
7. ما هي الخاصية الهندسية التي تسمح لنا باستنتاج أن المسافة من النقطة أ إلى مركز الدائرة أقل من نصف القطر?

التعريف

يتم تعريف المسافة من النقطة أ إلى مركز الدائرة على أنها طول المقطع الذي يربط هذه النقطة أ ومركز الدائرة. يشار إلى المسافة على أنها د (أ ، ج).

يتم تعريف نصف قطر الدائرة على أنه المسافة من مركز الدائرة إلى أي نقطة على حدودها. يشار إلى نصف القطر باسم ص.

إذا كانت المسافة من النقطة أ إلى مركز الدائرة أقل من نصف القطر ، فسيتم تحقيق عدم المساواة: د(أ ، ج) < ص.

دليل مباشر

ضع في اعتبارك دائرة متمركزة عند ا ومع نصف القطر ر. دع النقطة أ تكون خارج الدائرة. علينا أن نثبت أن المسافة من النقطة ألف إلى مركز الدائرة أقل من نصف القطر.

افترض أن المسافة من النقطة أ إلى مركز الدائرة أكبر من نصف القطر. وهذا هو ، دعونا الزراعة العضوية > ر. ثم النقطة أ خارج الدائرة ويمكننا رسم خط مستقيم أب الذي يتقاطع مع الدائرة.

دع النقطة ب تكون نقطة تقاطع الخط أب مع الدائرة. ثم أب هو الظل للدائرة عند النقطة ب.

النظر في مثلث أواب. زاوية أوبا هو 90 درجة ، منذ أب هو الظل إلى الدائرة. أيضا ، زاوية أواب هو 90 درجة ، منذ أوا هو نصف قطر الدائرة.

اتضح أنه في مثلث أواب ، زاويتان تساوي 90 درجة. لذلك ، الزاوية الثالثة (زاوية أوبا)هي أيضا 90 درجة ، مما يعني أن مثلث أواب مستطيل.

منذ في مثلث قائم الزاوية الوتر هو دائما أكبر من أي من الساقين ، في هذه الحالة الزراعة العضوية يجب أن تكون أكبر من أب. ومع ذلك ، من خلال البناء ، أب هو جزء من النقطة ألف إلى دائرة ، مما يعني أنه يجب أن يكون أكبر من الزراعة العضوية.

تناقض! هذا لا يمكن أن يكون ، لذلك كان افتراضنا خاطئا. هذا يعني أن المسافة من النقطة أ إلى مركز الدائرة يجب أن تكون أقل من نصف القطر.

أمثلة على الرسوم التوضيحية

من أجل الوضوح ، دعنا نلقي نظرة على بعض الأمثلة التي ستساعدك على فهم وتذكر الفكرة الرئيسية للإثبات في خط مستقيم.

1. مثال 1:

   دعونا نعطي دائرة نصف قطرها 5 ونشير إلى داخل هذه الدائرة.

   ثم ستكون المسافة من النقطة أ إلى مركز الدائرة أقل من نصف القطر:

   المسافة من أ إلى المركز: 3

   أقل من نصف القطر: 5

2. المثال 2:

   دعونا نعطي دائرة نصف قطرها 7 ونشير إلى داخل هذه الدائرة.

   ثم ستكون المسافة من النقطة أ إلى مركز الدائرة أقل من نصف القطر:

   المسافة من أ إلى المركز: 4

   أقل من نصف القطر: 7

3. المثال 3:

   دعونا نعطي دائرة نصف قطرها 10 ونقطة داخل هذه الدائرة.

   ثم ستكون المسافة من النقطة أ إلى مركز الدائرة أقل من نصف القطر:

   المسافة من أ إلى المركز: 6

   أقل من نصف القطر: 10

وبالتالي ، فإن الأمثلة المقدمة توضح بوضوح أن المسافة من النقطة أ إلى مركز الدائرة ستكون دائما أقل من نصف القطر. يمكن إجراء التحقق من هذه الحقيقة على أي مثال آخر ، وستكون النتيجة هي نفسها.

سؤال وجواب

كيف يمكنني إثبات أن المسافة من النقطة أ إلى مركز الدائرة أقل من نصف القطر?

لإثبات هذا البيان ، يمكنك استخدام نظرية فيثاغورس. إذا اعتبرنا مثلثا قائم الزاوية ، يكون فيه أحد الأرجل مساويا لنصف قطر الدائرة ، والوتر هو الجزء من مركز الدائرة إلى النقطة أ ، فإنه يتبع من نظرية فيثاغورس أن مربع الوتر يساوي مجموع مربعات الساقين. إذا كانت القسطرة تساوي نصف القطر ، والوتر هو المسافة من النقطة أ إلى مركز الدائرة ، فإننا نحصل على عدم المساواة: مربع نصف القطر أكبر من المسافة من النقطة أ إلى مركز الدائرة المربعة. أي أن المسافة من النقطة أ إلى مركز الدائرة أقل من نصف القطر.

كيف يمكننا إثبات أن المسافة من النقطة أ إلى مركز الدائرة أقل من نصف القطر دون استخدام نظرية فيثاغورس?

هناك دليل آخر على هذه الحقيقة. تخيل دائرة على مستوى وارسم نصف القطر من مركز الدائرة للإشارة أ. ثم نرسم نصف قطر آخر مواز للمحور الإحداثي. وبالتالي ، سوف نقسم الدائرة إلى قوسين. لاحظ أن المسافة من النقطة أ إلى مركز الدائرة تساوي المسافة بين أنصاف أقطار متوازية. في الوقت نفسه ، سيكون قوس واحد من الدائرة أسفل المحور الإحداثي ، والثاني سيكون أعلى. نظرا لأن نصف القطر ينزل من مركز الدائرة إلى نقطة على القوس السفلي ، يجب أن تكون المسافة من النقطة أ إلى المركز أقل من نصف القطر ، لأنها تقع داخل الدائرة.

ما هي الخاصية الهندسية التي تسمح لنا باستنتاج أن المسافة من النقطة أ إلى مركز الدائرة أقل من نصف القطر?

تسمى هذه الخاصية "نظرية العمودي المرسوم من مركز الدائرة إلى الوتر". تدعي أن عموديا مرسوما من مركز الدائرة إلى الوتر يقسم الوتر إلى نصفين. إذا قسمنا الوتر إلى جزأين متساويين ، فسيكون أحدهما نصف قطر الدائرة ، والآخر سيكون المسافة من النقطة أ إلى مركز الدائرة. نظرا لأن نصف القطر هو نصف الوتر ، والمسافة من النقطة أ إلى مركز الدائرة هي النصف الثاني من الوتر ، يجب أن تكون أقل من نصف القطر.