الدوائر هي أحد الأشكال الهندسية الرئيسية التي تمت دراستها في الرياضيات. إنها مجموعة من النقاط على مسافة متساوية من نقطة معينة تسمى مركز الدائرة. نصف قطر الدائرة هو المسافة من المركز إلى أي نقطة على الدائرة.
لمس دائرتين يعني أن لديهم نقطة مشتركة على الحدود أو داخل الدوائر. في هذه المقالة ، سننظر في الحالة عندما تلمس دائرتان مع نصف قطر 1 و 3 في نفس النقطة.
واحدة من المشاكل المثيرة للاهتمام المرتبطة الدوائر لمس هو العثور على قوس مشترك في حدود الدوائر لمس. القوس المشترك هو جزء من دائرة تنتمي إلى كلتا الدائرتين. في هذه الحالة ، سيتكون القوس الكلي من نقطة واحدة تلامس كلتا الدائرتين. إذا عرفنا نصف قطر الدوائر ونقطة اتصالها ، يمكننا إيجاد طول القوس المشترك.
- الدوائر مع أنصاف أقطار 1 و 3 لمس عند النقطة ج
- وصف المشكلة وحلها
- تفسير هندسي
- كيفية العثور على قوس مشترك من الدوائر
- صيغة المسافة إلى النقطة الخارجية
- مثال على حل مشكلة
- التطبيق العملي والاستنتاجات
- سؤال وجواب
- كيف يمكنني العثور على قوس مشترك من الدوائر?
- ما هي المسافة من ظل الدوائر إلى النقطة الخارجية?
- هل من الممكن العثور على إجمالي القوس والمسافة دون استخدام الصيغ?
- هل هناك أي طريقة أخرى للعثور على القوس المشترك للدوائر?
- كيفية استخدام القوس المشترك وجدت من الدوائر?
الدوائر مع أنصاف أقطار 1 و 3 لمس عند النقطة ج
الدوائر ذات نصف القطر 1 و 3 تلمس عند النقطة ج إذا تزامنت نواقلها الرئيسية والمعايير الرئيسية في هذه المرحلة. ومن المعروف أيضا أنه عند نقطة الاتصال ، يكون نصف قطر الدوائر عموديا ويمكن ضبط أطوالها على النحو التالي: ر1 = 1 و ر2 = 3.
للعثور على القوس العام للدوائر ، تحتاج إلى استخدام صيغة القوس:
س = ص r
أين س هو طول القوس المشترك ، ص هو نصف قطر الدائرة ، is هي الزاوية المركزية بالراديان. في هذه الحالة ، بالنسبة لدائرة نصف قطرها 1 ، سيكون طول القوس الكلي:
S = ق / ص = ق / 1 = ق
وبالنسبة لدائرة نصف قطرها 3 ، فإن طول القوس الكلي سيكون:
S = ق / ص = ق / 3
وبالتالي ، للعثور على القوس العام للدوائر ، تحتاج إلى حل نظام المعادلات التالي:
س = س / 1
س = س / 3
حل هذا النظام ، نحصل على س = 0 . هذا يعني أن طول القوس المشترك هو 0 وأن الدوائر لا تحتوي على قوس مشترك.
لإيجاد المسافة إلى النقطة الخارجية ، يمكنك استخدام صيغة المسافة إلى الدائرة:
د = / ص-د|
أين د هي المسافة إلى الدائرة ، ص هو نصف قطر الدائرة | / / هو معامل الاختلاف. لحالتنا لدينا:
بالنسبة لدائرة نصف قطرها 1 ، ستكون المسافة إلى النقطة الخارجية
| الوصف | الصيغة |
|---|---|
| المسافة إلى الدائرة | / 1-د| |
بالنسبة للدائرة ذات نصف القطر 3 ، ستكون المسافة إلى النقطة الخارجية
| الوصف | الصيغة |
|---|---|
| المسافة إلى الدائرة | / 3-د| |
وبالتالي ، لإيجاد المسافة إلى النقطة الخارجية ، تحتاج إلى حل نظام المعادلات التالي:
/ 1-د / = / 3-د|
حل هذا النظام ، نحصل على د = 2. هذا يعني أن المسافة من النقطة الخارجية إلى الدوائر بنصف قطر 1 و 3 هي 2.
وصف المشكلة وحلها
تتمثل المهمة في العثور على القوس المشترك والمسافة من النقطة ج إلى النقطة الخارجية للسياق المحدد ، حيث تلامس الدوائر التي تحتوي على نصف قطر 1 و 3 بعضها البعض.
يمكن استخدام نهج هندسي لحل هذه المشكلة. ضع في اعتبارك الخطوات التالية:
- دع مراكز الدوائر تكون في النقطتين أ و ب.
- يشار إلى نقطة الاتصال من الدوائر كما ج.
- رسم شرائح أس و قبل الميلاد.
- وفقا لنظرية الظل ، تكون هذه الأجزاء متعامدة مع نصف قطر الدوائر المقابل.
- دعنا نشير إلى النقطة ج كنقطة تقاطع للقطاعات أس و قبل الميلاد.
- دعونا نجد طول الجزء أس.
- حرك النقطة ج إلى اليسار حتى تلامس دائرة أخرى عند النقطة د.
- مثلث كاد مستطيل ، لأن نصف قطر الدوائر هي ارتفاعات.
- من المستطيل ، يمكننا إيجاد أطوال القسطرة أد و دس.
- ومن الممكن أيضا العثور على زوايا باك و بكا باستخدام علم المثلثات.
وبالتالي ، لا يمكننا العثور على القوس العام فحسب ، بل أيضا المسافة إلى النقطة الخارجية لسياق معين.
تفسير هندسي
تخيل دائرتين بأنصاف أقطار 1 و 3 تلامسان بعضهما البعض عند النقطة س. مهمتنا هي العثور على القوس المشترك للدوائر وحساب المسافة من س إلى النقطة الخارجية.
دعنا ننتقل إلى الخصائص الهندسية للدوائر:
- القوس المشترك للدوائر هو جزء من دائرة تقع داخل كلتا الدائرتين وتحدها نقاط الاتصال. بالنسبة للدوائر المعطاة بنصف قطر 1 و 3 ، سيتم تشكيل قوس مشترك بواسطة قوس بين نقاط الاتصال في كل دائرة. سيكون لهذا القوس طول معين يمكننا إيجاده.
- النقطة الخارجية هي النقطة الموجودة على السطح الخارجي لكلتا الدائرتين. لهذه المهمة ، نحن نبحث عن المسافة من النقطة س (نقطة الاتصال) إلى النقطة الخارجية للدوائر.
لإيجاد قوس مشترك ، يمكننا استخدام صيغة المحيط إل = 2نر ، أين إل هو طول الدائرة و ص هو نصف قطر الدائرة. في هذه المشكلة ، يمكن العثور على القوس الكلي عن طريق جمع أطوال الأقواس في كلتا الدائرتين.
بالنسبة للدائرة الأولى ذات نصف القطر 1 ، يكون طول القوس إل 1 = 2 x س 1 = 2π.
بالنسبة للدائرة الثانية ذات نصف القطر 3 ، يكون طول القوس إل2 = 2 x س 3 = 6π.
وبالتالي ، سيكون للقوس الكلي للدوائر طول إل المجموع = إل1 + إل2 = 2 + + 6 = = 8π.
لحساب المسافة من س إلى النقطة الخارجية ، ضع في اعتبارك المثلث أسب ، حيث أ و ب هي نقاط الاتصال للدوائر ، و س هي نقطة الاتصال بالنقطة الخارجية.
بحكم تعريف المماس ، ستكون الزاوية زاوية قائمة. في هذه الحالة ، سيكون الجزء سا مساويا لنصف قطر الدائرة الأصغر (1) ، وسيكون الجزء سب مساويا لنصف قطر الدائرة الأكبر (3).
وبالتالي ، فإن المسافة من س إلى النقطة الخارجية هي سب-سا = 3 - 1 = 2.
كيفية العثور على قوس مشترك من الدوائر
القوس المشترك هو جزء من دائرة تقع بين نقطتين من تقاطع دائرتين. للعثور على القوس المشترك للدوائر ، اتبع الخطوات التالية:
- تحديد مراكز الدوائر. دع مراكز الدوائر تساوي النقطتين أ و ب.
- قياس المسافة بين مراكز الدوائر. دعنا نشير إلى هذه المسافة على أنها د.
- حدد ما إذا كانت الدوائر تتقاطع أم لا. إذا د > ص1 + ص2 ، ثم الدوائر لا تتقاطع وليس لها أقواس مشتركة. إذا د = ص1 + ص2 ، ثم تلمس الدوائر خارجيا ولها قوس واحد مشترك. إذا د < ص1 + ص2 ، ثم تتقاطع الدوائر ولها قوسان مشتركان.
- حساب طول القوس الكلي. يمكن حساب طول القوس الكلي باستخدام صيغة طول القوس الدائري: ل = ص * α ، أين ص هو نصف قطر الدائرة ، is هي الزاوية المركزية المقاسة بالراديان.
إذا تقاطعت الدوائر ، فإن طول القوس المشترك سيكون مساويا لمجموع أطوال الجزأين المحدودين بنقاط التقاطع. إذا كانت الدوائر تلمس فقط ، فإن طول القوس المشترك سيكون مساويا لطول جزء واحد.
وبالتالي ، للعثور على القوس المشترك للدوائر ، تحتاج إلى معرفة نصف قطرها وإحداثيات المراكز. باستخدام هذه البيانات ، يمكنك حساب طول القوس المشترك واستخدامه في مزيد من العمليات الحسابية أو الإنشاءات الهندسية.
صيغة المسافة إلى النقطة الخارجية
لإيجاد المسافة من النقطة الخارجية إلى دوائر الظل ، من الضروري استخدام صيغة تعتمد على خاصية الظل ونصف قطر الدائرة.
دعونا نعطي دائرتين بنصف قطر 1 و 3 تلامسان بعضهما البعض عند النقطة ج.من الضروري إيجاد المسافة من النقطة ج إلى نقطة خارجية عشوائية في إحدى الدوائر.
لحل هذه المشكلة ، يمكنك استخدام الصيغة التالية:
د = الجذر التربيعي ((ص1 + ص2)^2 — (ص2 — ص1)^2)
أين:
- د هي المسافة من النقطة ج إلى النقطة الخارجية
- ر1 هو نصف قطر الدائرة الأولى
- ر2 هو نصف قطر الدائرة الثانية
باستبدال قيم نصف قطر الدوائر في الصيغة ، يمكنك الحصول على قيمة عددية محددة للمسافة.
على سبيل المثال ، إذا كان نصف قطر الدائرة الأولى (ر1) هو 1 ونصف قطر الدائرة الثانية (ر2) هو 3 ، فيمكن حساب المسافة (د) على النحو التالي:
د = الجذر التربيعي((1 + 3)^2 — (3 — 1)^2) = الجذر التربيعي (16 — 4) = الجذر التربيعي (12) 3 3.464
وبالتالي ، فإن المسافة من النقطة ج إلى النقطة الخارجية على الدائرة تبلغ حوالي 3.464 وحدة طول.
مثال على حل مشكلة
تقترح هذه المشكلة النظر في دائرتين بأنصاف أقطار 1 و 3 تلامسان بعضهما البعض عند النقطة ج. علينا إيجاد القوس المشترك بين النقطتين أ و ب على الدائرة الخارجية والمسافة إلى النقطة ب.
لحل هذه المشكلة ، يمكننا استخدام العديد من الصيغ الرياضية وخصائص الهندسة.
- لنجد القوس المشترك بين النقطتين أ و ب على الدائرة الخارجية.
- دعنا ننتقل إلى الصيغة الخاصة بطول قوس الدائرة: إل = ص * * ، أين إل هو طول القوس ، ص هو نصف قطر الدائرة ، و is هي الزاوية المركزية المعبر عنها بالراديان.
- لإيجاد الزاوية المركزية use ، نستخدم خاصية الدوائر التي تلامس بعضها البعض عند نقطة واحدة: = = 2 * β ، حيث angle هي الزاوية المركزية بين النقطتين أ و ج أو ب و ج.
- في مثلث متساوي الساقين أكب ، يمكنك استخدام نظرية جيب التمام للعثور على قيمتها: كوس (β) = (أس^2 + قبل الميلاد^2-أب^2) / (2 * أس * قبل الميلاد).
- بمعرفة نصف قطر الدوائر (1 و 3) ، يمكننا إيجاد قيم التيار المتردد و قبل الميلاد: التيار المتردد = 1 و قبل الميلاد = 3.
- استبدل القيم في الصيغة لإيجاد الزاوية:: = = أكوس((1^2 + 3^2 — أب^2) / (2 * 1 * 3)).
- احسب قيمة الزاوية:: = = 2 * β.
- استبدل قيمة نصف قطر الدائرة (3) والزاوية α في صيغة إيجاد طول القوس: ل = 3 * α.
- أوجد المسافة إلى النقطة ب.
- دعنا ننتقل إلى الصيغة لإيجاد طول وتر الدائرة: د = 2 * ص * خطيئة (//2) ، أين د هو طول الوتر ، ص هو نصف قطر الدائرة ، is هي الزاوية المركزية بين النقطتين أ و ب ، معبرا عنها بالراديان.
- استبدل قيمة نصف قطر الدائرة(3) والزاوية α في صيغة إيجاد طول الوتر: د = 2 * 3 * خطيئة (//2).
التطبيق العملي والاستنتاجات
تتيح لك دراسة مشكلة لمس الدوائر بنصف قطر 1 و 3 تطبيق المعرفة المكتسبة في المواقف الحقيقية المتعلقة بالهندسة والفيزياء.
أحد التطبيقات المهمة لهذه المهمة هو تحديد القوس المشترك ، أي قسم الدائرة الموجود بين نقاط الاتصال. يمكن أن تكون هذه المعلومات مفيدة عند إنشاء أشكال هندسية خاصة أو عند حل المشكلات المتعلقة بالبصريات والانعكاس المرآوي للضوء.
في الممارسة العملية ، يمكن استخدام هذه المهمة لتحديد المسافة بين كائنين ، على سبيل المثال ، عند قياس طول سلك صلب أو تحديد المسافة بين جزأين دوارين.
الاستنتاجات التي يمكن استخلاصها من دراسة هذه المشكلة:
- يشكل نصف قطر الدوائر ونقطة الاتصال الخاصة بها مثلثا يمكن فيه العثور على الخصائص الهندسية مثل الزوايا والجوانب.
- يمكن العثور على القوس المشترك الموجود بين نقاط الاتصال باستخدام المعرفة حول أطوال أقواس الدوائر وأنصاف الأقطار.
- المشاكل المتعلقة بالدوائر لها تطبيقات في الهندسة والفيزياء والهندسة.
تساعد دراسة هذه المشكلة على تطوير التفكير الهندسي والمهارات التحليلية والقدرة على تطبيق المعرفة الرياضية في الممارسة العملية.
سؤال وجواب
كيف يمكنني العثور على قوس مشترك من الدوائر?
من أجل العثور على القوس العام للدوائر ، تحتاج إلى استخدام التحولات والصيغ الهندسية. في هذه الحالة ، يمكنك استخدام خاصية الظل: إذا لامست دائرتان عند نقطة ما ، فسيكون لهما ظل مشترك. دعونا نجد مماسا مشتركا ونبني خطا مستقيما يمر عبر المماس ومراكز الدوائر. ثم سنجد نقاط تقاطع الدوائر مع هذا الخط. من الواضح أن القوس المشترك سيقع بين هذه النقاط.
ما هي المسافة من ظل الدوائر إلى النقطة الخارجية?
لإيجاد المسافة من دوائر الظل إلى النقطة الخارجية ، يمكنك استخدام صيغة المسافة من النقطة إلى الخط المستقيم. بعد العثور على الظل المشترك ومعادلته ، نستبدل إحداثيات النقطة الخارجية فيه ونحسب المسافة.
هل من الممكن العثور على إجمالي القوس والمسافة دون استخدام الصيغ?
نعم ، من الممكن العثور على قوس ومسافة مشتركة دون استخدام الصيغ إذا تم استخدام نهج هندسي بدلا من طريقة تحليلية. هنا تحتاج إلى استخدام خصائص الدوائر والظلال والمثلثات. على سبيل المثال ، يمكنك بناء مثلث ، تكون رؤوسه مراكز الدوائر والنقطة الخارجية ، وتطبيق الصيغ المعروفة لنا لحساب أطوال أضلاع وزوايا المثلث.
هل هناك أي طريقة أخرى للعثور على القوس المشترك للدوائر?
نعم ، بالإضافة إلى استخدام التحولات والصيغ الهندسية ، يمكنك استخدام نظرية أنصاف الأقطار ومراكز الدوائر. إذا كان نصف قطر الدوائر والمسافة بين مراكزها معروفة ، يمكنك استخدام المعادلات المناسبة للعثور على القوس المشترك.
كيفية استخدام القوس المشترك وجدت من الدوائر?
يمكن استخدام قوس الدوائر المشترك الموجود لحل المشكلات الهندسية المختلفة. على سبيل المثال ، يمكن أن يساعدك في العثور على تقاطع دائرتين أو العثور على ظلال إضافية. أيضا ، مع معرفة القوس الكلي ، يمكنك حساب طول هذا القوس واستخدامه في حسابات أخرى. يحتوي القوس العام للدوائر على معلومات حول موقعها المتبادل والعلاقة بينها.