في الجبر الخطي ، يعتبر مفهوم الفضاء الجزئي الخطي أساسيا ويستخدم على نطاق واسع في مختلف التخصصات الرياضية والهندسية. يصف مجموعة من المتجهات التي لها خصائص خاصة. ومع ذلك ، فإن مهمة تحديد ما إذا كانت مجموعة معينة عبارة عن مساحة فرعية خطية قد تكون غير تافهة وتتطلب طرق تحقق خاصة.
هناك عدة طرق للتحقق من الفضاء الجزئي الخطي. ويستند واحد منهم على التحقق من تحقيق اثنين من البديهيات: التقارب فيما يتعلق الجمع والضرب من قبل العددية. يعني الإغلاق فيما يتعلق بالإضافة أن مجموع أي متجهين من المجموعة ينتمي أيضا إلى هذه المجموعة. الإغلاق فيما يتعلق بالضرب بواسطة عددي يعني أن حاصل ضرب أي متجه من المجموعة بأي رقم ينتمي أيضا إلى هذه المجموعة.
تعتمد طريقة أخرى على التحقق من استيفاء شروط أساس معين من الفضاء الجزئي الخطي. تسمح لك هذه الطريقة بتمثيل بنية المجموعة بشكل أكثر وضوحا وهي ملائمة للتفكير التحليلي. إذا كان من الممكن التعبير عن مجموعة من المتجهات كمزيج خطي من بعض الأسس ، فهي مساحة جزئية خطية.
- طرق فحص الفضاء الجزئي الخطي
- معيار الاستقلال الخطي
- نظام المعادلات وفحص الإغلاق
- سؤال وجواب
- ما هو الفضاء الجزئي الخطي?
- كيف يمكنني تحديد ما إذا كانت المجموعة عبارة عن فضاء جزئي خطي?
- ما هي الطرق التي يمكن استخدامها للتحقق من الخطية من مجموعة?
طرق فحص الفضاء الجزئي الخطي
قبل تحديد ما إذا كانت مجموعة معينة عبارة عن مساحة فرعية خطية ، من الضروري التحقق من استيفاء الشروط التالية:
- الإغلاق فيما يتعلق بالإضافة: يجب أن ينتمي مجموع أي عنصرين من المجموعة أيضا إلى هذه المجموعة.
- إغلاق فيما يتعلق الضرب من قبل العددية: يجب أن تنتمي نتيجة ضرب أي عنصر من المجموعة بأي رقم (عددي) أيضا إلى هذه المجموعة.
- وجود متجه صفري: يجب أن يكون هناك عنصر في المجموعة لا يتغير عند إضافته إلى أي عنصر آخر في المجموعة.
يمكن إجراء التحقق بالطرق التالية:
- النهج التحليلي: إجراء حساب تحليلي لجميع الشروط المطلوبة.
- النهج الهندسي: تمثل مجموعة هندسيا وتحقق من خصائصها.
- نهج المصفوفة: تمثيل عناصر المجموعة كمصفوفات وتطبيق طرق جبر المصفوفة للتحقق من الشروط.
في النهج التحليلي ، من الضروري إجراء عمليات حسابية على عناصر المجموعة والتحقق مما إذا كانت النتائج التي تم الحصول عليها تتوافق مع شروط الإغلاق. يسمح لك النهج الهندسي بتصور مجموعة وإنشاء خصائصها ، على سبيل المثال ، الإغلاق فيما يتعلق بالجمع أو الضرب بواسطة عددي. مع نهج المصفوفة ، من الضروري تمثيل عناصر المجموعة في شكل مصفوفات وإجراء عمليات مع المصفوفات للتحقق من الشروط.
أمثلة على المساحات الفرعية الخطية:
- مجموعة جميع المتجهات في الفضاء ثلاثي الأبعاد.
- مجموعة جميع الوظائف المستمرة في فترة زمنية معينة.
- مجموعة من جميع المصفوفات مربع من حجم معين.
في جميع الأمثلة المقدمة ، يتم استيفاء شروط الإغلاق فيما يتعلق بالجمع والضرب بواسطة العددية ، وهناك أيضا متجه صفري.
من المهم ملاحظة أن التحقق من وجود مساحة فرعية خطية يتطلب استيفاء جميع الشروط المذكورة أعلاه. إذا لم يتم استيفاء أحد الشروط على الأقل ، فإن المجموعة ليست مساحة فرعية خطية.
معيار الاستقلال الخطي
لتحديد الاستقلال الخطي لمجموعة من المتجهات ، يوجد معيار يعتمد على تعريف المجموعة الخطية. تسمى مجموعة المتجهات مستقلة خطيا إذا تم تحديد المعاملات بالطريقة الوحيدة لأي مجموعة خطية منها بخلاف الصفر.
رسميا ، مجموعة المتجهات {الخامس1, الخامس2,...، فن} يسمى خطيا مستقلة إذا كان البيان صحيحا:
| المعاملات ج1, ج2,..., ن | |
| 0 | |
| ج1 * الإصدار 1 + ج2 * الإصدار 2 + ... + ن * فن = | = > ج1 = ج2 =n = جن = |
| 0 |
إذا كانت هناك معاملات بحيث تكون التركيبة الخطية صفرا ، بينما يختلف واحد على الأقل من المعاملات عن الصفر ، فإن مجموعة المتجهات تعتبر معتمدة خطيا.
أي أن معيار الاستقلال الخطي يتكون من إيجاد مثل هذه المعاملات التي لا يمكن عندها سوى تركيبة خطية صفرية.
إذا كانت مجموعة المتجهات مستقلة خطيا،فيمكن أن تكون هذه المتجهات بمثابة أساس للفضاء الجزئي الذي تشكله. إذا كانت مجموعة المتجهات تعتمد خطيا ، فإن مثل هذا الفضاء الجزئي غير موجود ، ولا يمكن أن تكون المتجهات بمثابة أساس.
نظام المعادلات وفحص الإغلاق
للتحقق مما إذا كانت مجموعة معينة عبارة عن مساحة فرعية خطية ، يمكنك استخدام نظام المعادلات التي تحتاج إلى حلها. إذا كان لنظام معين حل واحد وكانت جميع الحلول تنتمي إلى مجموعة معينة ، فسيتم إغلاق المجموعة فيما يتعلق بعمليات الجمع والضرب بواسطة عددي.
يمكن تمثيل نظام المعادلات كمصفوفة ، حيث تكون كل معادلة صف من المصفوفة ، والمعاملات أمام المجهول هي أعمدة المصفوفة.
للتحقق من إغلاق المجموعة ، تحتاج إلى:
- قم بإنشاء نظام من المعادلات بناء على العمليات التي يجب إجراؤها في الفضاء الجزئي (على سبيل المثال ، الضرب بالعدد القياسي أو إضافة العناصر).
- حل نظام المعادلات وإيجاد حلها العام.
- تأكد من أن كل حل لنظام المعادلات ينتمي إلى مجموعة معينة.
مثال على فحص الإغلاق:
نظرا لمجموعة الخامس = {(س ، ص) / س + ص = 0}
دعونا نتحقق مما إذا كانت المجموعة الخامس هي مساحة فرعية خطية.
نحن نشكل نظام المعادلات:
س + ص = 0
حل نظام المعادلات:
| x | y |
|---|---|
| 1 | -1 |
الحل العام لنظام المعادلات: (س ، ص) = (ر ، - ر)
نتحقق من أن كل حل ينتمي إلى المجموعة الخامس:
(ر ، - ر): ر + (- ر) = 0
وبالتالي ، فإن كل حل ينتمي إلى المجموعة الخامس.
هذا يعني أن المجموعة الخامس مغلق فيما يتعلق بعمليات الجمع والضرب بواسطة عددي ، وهو فضاء جزئي خطي.
سؤال وجواب
ما هو الفضاء الجزئي الخطي?
الفضاء الجزئي الخطي هو مجموعة فرعية من مساحة المتجه ، والتي هي في حد ذاتها مساحة متجهة فيما يتعلق بنفس عملية إضافة المتجهات وضرب المتجه في رقم مثل مساحة المتجه الأصلية.
كيف يمكنني تحديد ما إذا كانت المجموعة عبارة عن فضاء جزئي خطي?
للتحقق مما إذا كانت المجموعة عبارة عن فضاء جزئي خطي ، يجب استيفاء شرطين: الإغلاق فيما يتعلق بعمليات إضافة المتجهات وضرب المتجه في رقم ؛ محتوى المتجه الصفري في المجموعة. إذا تم استيفاء كلا الشرطين ، فإن المجموعة هي مساحة فرعية خطية.
ما هي الطرق التي يمكن استخدامها للتحقق من الخطية من مجموعة?
هناك عدة طرق للتحقق من خطية المجموعة. واحد منهم هو التحقق من إغلاق مجموعة فيما يتعلق بعمليات الجمع والضرب من قبل عدد. طريقة أخرى هي التحقق من إدراج متجه الصفر في المجموعة. إذا تم استيفاء كلا الشرطين ، فإن المجموعة هي مساحة فرعية خطية.