الشكل الرباعي هو شكل هندسي مسطح يتكون من أربعة جوانب وأربع زوايا. أحد الأسئلة التي غالبا ما تنشأ عند دراسة الهندسة هو: كيفية العثور على الجانب الرابع من الرباعي إذا كانت الجوانب الثلاثة الأخرى معروفة? هناك عدة طرق لحل هذه المشكلة ، كل منها مناسب لأنواع معينة من الزوايا الرباعية.
من أسهل الطرق لإيجاد الضلع الرابع من الشكل الرباعي استخدام نظرية فيثاغورس. إذا كانت أطوال ضلعين وطول قطري واحد من رباعي الأضلاع معروفة ، يمكنك استخدام نظرية فيثاغورس لإيجاد طول الضلع الرابع. للقيام بذلك ، تحتاج إلى مربع أطوال اثنين من الجانبين المعروفة ، إضافة لهم ، ومن ثم حساب الجذر التربيعي للمجموع الناتج. سيكون الرقم الناتج هو طول الضلع الرابع من الشكل الرباعي.
هناك طريقة أخرى لإيجاد الضلع الرابع من الشكل الرباعي وهي استخدام نظرية جيب التمام. إذا كانت أطوال الأضلاع الثلاثة وقيمة أحد أركان الشكل الرباعي معروفة ، فيمكنك استخدام نظرية جيب التمام لحساب طول الضلع الرابع. للقيام بذلك ، تحتاج إلى معرفة أطوال الأضلاع الثلاثة المعروفة ، والزوايا بين هذه الأضلاع ، وقيمة أحد أركان الشكل الرباعي. وفقا لصيغة نظرية جيب التمام ، يمكن حساب طول الجانب الرابع.
هناك أيضا حالة خاصة من الرباعي-مستطيل مع جميع الزوايا تساوي 90 درجة. في هذه الحالة ، الجانب الرابع هو ببساطة جذر مجموع مربعات الجانبين التي هي جانبي المستطيل. يتم التعبير عن هذا في نظرية فيثاغورس الشهيرة: مربع طول الوتر للمثلث الأيمن يساوي مجموع مربعات أطوال ساقيه. وبالتالي ، من السهل العثور على الجانب الرابع من المستطيل إذا كان الجانبان الآخران معروفين.
- طرق لتحديد الجانب الرابع من الرباعي
- باستخدام نظرية فيثاغورس
- باستخدام أطوال الجوانب المتبقية والزاوية
- على طول الأقطار وزوايا الرباعي
- باستخدام صيغة مالك الحزين
- وفقا لطول معروف من الجانب ومنطقة من رباعي الزوايا
- سؤال وجواب
- كيف يمكنني العثور على الجانب الرابع من الرباعي?
- ما هي الطرق للعثور على الجانب الرابع من الرباعي?
- في أي الحالات يمكن استخدام نظرية فيثاغورس لإيجاد الجانب الرابع من الشكل الرباعي?
- كيفية تطبيق نظرية جيب التمام للعثور على الجانب الرابع من الرباعي?
- ما هي الخصائص الأخرى للأشكال الرباعية التي يمكن استخدامها للعثور على الجانب الرابع?
طرق لتحديد الجانب الرابع من الرباعي
يحتوي الشكل الرباعي ، مثل أي شكل هندسي آخر ، على خصائص معينة تسمح لك بتحديد أبعاده. تتناول هذه المقالة عدة طرق لتحديد الجانب الرابع من الشكل الرباعي.
1. مجموع الزوايا. يحتوي الشكل الرباعي على أربع زوايا ، ومجموعها دائما 360 درجة. إذا كانت هناك ثلاث زوايا معروفة ، فيمكن إيجاد الزاوية الرابعة بطرح مجموع الزوايا المعروفة من 360 درجة.
2. الجانبين والأقطار. إذا كانت أطوال جميع الأضلاع والأقطار للرباعي معروفة ، فيمكن العثور على الجانب الرابع باستخدام نظرية فيثاغورس أو نظرية جيب التمام ، اعتمادا على نوع الرباعي.
3. المستطيل. إذا كان الشكل الرباعي مستطيلا ، فعندئذ لتحديد الجانب الرابع ، يكفي معرفة أطوال الأضلاع الثلاثة.
4. متوازي الاضلاع. إذا كان الرباعي هو متوازي الأضلاع ، ثم لتحديد الجانب الرابع ، وهو ما يكفي لمعرفة أطوال الأضلاع الثلاثة.
5. أرجوحة. إذا كان الرباعي هو شبه منحرف ، ثم لتحديد الجانب الرابع ، وهو ما يكفي لمعرفة أطوال الجانبين الثلاثة والارتفاع خفضت إلى القاعدة.
تنطبق الطرق المذكورة أعلاه على أنواع مختلفة من الأشكال الرباعية وتسمح لك بتحديد الجانب الرابع بدرجات متفاوتة من الدقة. عند حل المشكلات المتعلقة بالأشكال الرباعية ، من المهم استخدام الطريقة الصحيحة ومراعاة جميع البيانات المعروفة للحصول على نتيجة موثوقة.
باستخدام نظرية فيثاغورس
تستخدم نظرية فيثاغورس عادة لإيجاد طول أضلاع المثلث القائم الزاوية. ومع ذلك ، يمكن استخدامه أيضا لإيجاد طول الضلع الرابع من الشكل الرباعي إذا كانت أطوال الأضلاع الثلاثة الأخرى معروفة.
لاستخدام نظرية فيثاغورس في حالة الشكل الرباعي ، من الضروري معرفة أن هذا الشكل الرباعي مستطيل وله جانبان متوازيان يمكن رسم الارتفاعات على طولهما. تقسم الارتفاعات الشكل الرباعي إلى مثلثين قائمين الزاوية.
لذلك ، لإيجاد طول الضلع الرابع من الشكل الرباعي ، باستخدام نظرية فيثاغورس ، من الضروري:
- أوجد أطوال ضلعين متوازيين لشكل رباعي.
- استخدم نظرية فيثاغورس لكل من المثلثات القائمة الزاوية المكونة من هذه الأضلاع.
- أضف النتائج من مثلثين للحصول على طول الضلع الرابع من الشكل الرباعي.
مثال:
| الجانب | الطول |
|---|---|
| أب | 5 |
| قبل الميلاد | 12 |
| مؤتمر نزع السلاح | — |
| دا | — |
في هذا المثال ، نفترض أن الجانبين أب والقرص المضغوط متوازيان.
باستخدام نظرية فيثاغورس ، نجد طول الجانب أس لمثلث قائم الزاوية أبك:
التيار المتردد = √(أب 2 + ب 2) = √(52 + 122) = √(25 + 144) = √169 = 13
وبالمثل ، نجد طول الإعلان الجانبي لمثلث قائم الزاوية:
م = √(أب 2-ب 2) = √(52 — 122) = √(25 — 144) = √(-119)
نظرا لأن الحجة الموجودة أسفل الجذر سالبة ، فإننا نفهم أن الشكل الرباعي ليس مستطيلا.
كما ترى من المثال ، فإن استخدام نظرية فيثاغورس لإيجاد الضلع الرابع من الشكل الرباعي يمكن أن يؤدي في بعض الحالات إلى أعداد مركبة أو جذور تربيعية لأعداد سالبة. لذلك ، قبل استخدام هذه الطريقة ، يوصى بالتحقق مما إذا كان الشكل الرباعي مستطيلا وله جانبان متوازيان.
باستخدام أطوال الجوانب المتبقية والزاوية
لإيجاد طول الضلع الرابع من الشكل الرباعي ، يمكنك استخدام نظرية جيب التمام. تعتمد هذه الطريقة على معرفة أطوال الأضلاع الأخرى وقيمة أحد أركان الشكل الرباعي. دعونا ننظر إلى هذه الطريقة بمزيد من التفصيل.
- أطوال الأضلاع الثلاثة للرباعي معروفة: أ ، ب ، ج.
- قيمة واحدة من زوايا الرباعي معروفة ، دعنا نشير إليها α.
- باستخدام نظرية جيب التمام ، نجد قيمة جيب التمام لهذه الزاوية:
كوس (α) = (أ^2 + ب^2-ج^2) / (2 أ * ب )
- لنجد قيمة جيب الزاوية α:
الخطيئة (α) = الجذر التربيعي (1-كوس^2 ()))
- صيغة لإيجاد الجانب الرابع من الرباعي:
د = الجذر التربيعي (أ^2 + ب^2-2 * أ * ب * كوس (α))
أين د هو الطول المطلوب للضلع الرابع من الرباعي.
باستخدام هذه الصيغة ، يمكنك إيجاد طول الضلع الرابع من الشكل الرباعي ، مع معرفة أطوال الأضلاع الأخرى وقيمة أحد الزوايا.
ملاحظة: تستخدم هذه الصيغة جيب تمام الزاوية represented ، ممثلة بالراديان. إذا تم ضبط الزاوية بالدرجات ، فيجب أولا تحويلها إلى راديان.
على طول الأقطار وزوايا الرباعي
أقطار الشكل الرباعي هي خطوط تربط الرؤوس المتقابلة. يمكن أن تساعد دراسة أقطار الشكل الرباعي في إيجاد جانبه الرابع.
الطريقة 1: الأقطار والزوايا وجوانب المثلث معروفة.
- إذا كان أبسد الرباعي تعسفيا ، يمكننا تقسيمه إلى مثلثين أبك و أسد عن طريق توصيل أس قطري.
- إذا كانت زوايا وجوانب مثلثات أبك و أسد معروفة ، فضلا عن طول أس قطري ، ثم باستخدام نظرية جيب التمام وقانون الجيوب ، يمكنك العثور على الجانبين المفقودين بك و سد من مثلثات أبك و أسد ، على التوالي.
- الجانب الرابع من م يساوي مجموع الجانبين وجدت قبل الميلاد والقرص المضغوط.
الطريقة 2: الأقطار وجوانب المثلث معروفة.
- مرة أخرى ، نحصل على مثلثين أبك و أسد بقسمة أبسد الرباعي قطريا أس.
- إذا كنت تعرف طول أس قطري وجوانب المثلث أبك ، فضلا عن أطوال الجانبين قبل الميلاد و أب ، يمكنك استخدام صيغة هيرون لإيجاد مساحة المثلث أبك.
- يمكن أيضا العثور على مساحة مثلث أسد باستخدام أطوال الجانبين و أس قطري.
- معرفة مساحة المثلث أبك ، مساحة المثلث أسد وطول أس قطري ، يمكننا العثور على مساحة أبسد الرباعي.
- باستخدام صيغة منطقة الرباعي (س = س (أبسد) = س(أبك) + س (أسد)) ، يمكننا العثور على الجانب المفقود من أد.
الطريقة 3: الأقطار والجوانب الأخرى للرباعي معروفة.
- إذا كانت أطوال الأقطار أس و بد معروفة ، فضلا عن أطوال الجانبين أب و بك ، ثم يمكنك استخدام نظرية فيثاغورس للعثور على الجانب الثالث من سد.
- الجانب الرابع من م يساوي مجموع الجانبين وجدت قبل الميلاد والقرص المضغوط.
تقدم هذه المقالة الطرق الرئيسية للعثور على الجانب الرابع من الشكل الرباعي على طول الأقطار والزوايا.
باستخدام صيغة مالك الحزين
هناك طريقة أخرى لتحديد الضلع الرابع من الشكل الرباعي وهي استخدام صيغة هيرون. تسمح لك صيغة مالك الحزين بحساب مساحة المثلث بأطوال أضلاعه.
لتطبيق صيغة هيرون على شكل رباعي ، تحتاج أولا إلى تقسيمها إلى مثلثين. بعد ذلك ، يمكنك حساب مساحة كل مثلث على حدة باستخدام صيغة هيرون.
لحساب مساحة المثلث ذات الأضلاع المحددة أ ، ب ، ج ، استخدم الصيغة التالية:
احسب نصف محيط المثلث باستخدام الصيغة ص = (أ + ب + ج) / 2.
احسب مساحة المثلث باستخدام الصيغة س = p (ص * (ص-أ) * (ص — ب) * (ص — ج)) ، أين √ هي علامة الجذر.
بعد حساب مساحات كلا المثلثين ، يمكنك إضافتهما للحصول على مساحة الشكل الرباعي بأكمله. يمكن استخدام المنطقة الناتجة لإجراء مزيد من العمليات الحسابية ، على سبيل المثال ، لتحديد الجانب الرابع من الشكل الرباعي على النحو التالي:
إذا تم إعطاء جوانب المثلثات أ ، ب ، ج والمساحة س ، فيمكن إيجاد قيمة الضلع الرابع بواسطة الصيغة:
| a | b | c | S |
| a | b | c | S |
في هذا الجدول ، أ ، ب ، ج هي أطوال أضلاع المثلث ، و س هي مساحة المثلث. للعثور على الجانب الرابع ، تحتاج إلى استبدال القيم المعروفة وحل المعادلة فيما يتعلق بالجانب المجهول.
صيغة هيرون هي إحدى طرق إيجاد الضلع الرابع من الشكل الرباعي. يمكن أن يكون استخدامه مفيدا في حل المشكلات الهندسية حيث يلزم العثور على معلمات الشكل بناء على البيانات المعروفة.
وفقا لطول معروف من الجانب ومنطقة من رباعي الزوايا
إذا كان طول أحد الأضلاع ومساحة الشكل الرباعي معروفين ، فيمكن استخدام الطريقة التالية لإيجاد أطوال الأضلاع الأخرى.
- ابحث عن مربع السلسلة المعروفة.
- اضرب مساحة الشكل الرباعي في 4.
- اقسم الرقم الناتج على مربع الضلع المعروف.
- استخراج الجذر التربيعي للرقم الناتج.
ونتيجة لذلك ، سوف تحصل على طول واحد من الجانبين المتبقية من الرباعي.
عند استخدام هذه الطريقة ، من المهم أن تضع في اعتبارك أنه في بعض الحالات يمكن الحصول على حلين مختلفين ، لذلك من الضروري التحقق من نتائج الامتثال. يجب أن نتذكر أيضا أنه لتطبيق هذه الطريقة ، يجب أن يكون الشكل الرباعي محدبا وأن تكون جميع جوانبه أجزاء محدودة من خط مستقيم.
سؤال وجواب
كيف يمكنني العثور على الجانب الرابع من الرباعي?
يمكن العثور على الضلع الرابع من الشكل الرباعي من خلال معرفة أطوال الأضلاع الثلاثة الأخرى وأحد الأقطار. للقيام بذلك ، يمكنك استخدام نظرية فيثاغورس أو نظرية جيب التمام.
ما هي الطرق للعثور على الجانب الرابع من الرباعي?
هناك عدة طرق. واحد منهم هو استخدام نظرية فيثاغورس. طريقة أخرى هي تطبيق نظرية جيب التمام. يمكنك أيضا استخدام خصائص متوازي الأضلاع أو شبه المنحرف.
في أي الحالات يمكن استخدام نظرية فيثاغورس لإيجاد الجانب الرابع من الشكل الرباعي?
يمكن استخدام نظرية فيثاغورس في الحالة التي يكون فيها الشكل الرباعي مستطيلا أو مربعا. في هذه الحالات ، سيكون أحد الجانبين هو الوتر ، والجانبان الآخران هما القسطرة.
كيفية تطبيق نظرية جيب التمام للعثور على الجانب الرابع من الرباعي?
لتطبيق نظرية جيب التمام ، تحتاج إلى معرفة أطوال الأضلاع الثلاثة والزاوية بين اثنين منهم. يمكن استخدام الصيغة للتعبير عن الجانب الرابع من الشكل الرباعي. يمكن استخدام هذه الطريقة في أي حال ، ليس فقط للمستطيلات أو المربعات.
ما هي الخصائص الأخرى للأشكال الرباعية التي يمكن استخدامها للعثور على الجانب الرابع?
بالإضافة إلى نظريات فيثاغورس وجيب التمام ، يمكنك استخدام خصائص متوازي الأضلاع وشبه المنحرف. على سبيل المثال ، إذا كان رباعي الأضلاع متوازي أضلاع ، فإن الأضلاع المتقابلة متساوية مع بعضها البعض. في شبه منحرف ، مجموع أطوال القواعد يساوي مجموع أطوال الجانبين.