التعيين الخطي الكسري هو دالة رياضية تمثل تعيين خط مستقيم إلى خط مستقيم آخر ، على غرار تحويل موبيوس. لديها العديد من التطبيقات ، بما في ذلك الهندسة ونظرية الوظيفة ورسومات الكمبيوتر والمزيد.
قد يبدو بناء خريطة خطية كسرية مهمة صعبة ، ولكن بمساعدة هذه التعليمات خطوة بخطوة ، ستتمكن من إتقان أساسيات هذه العملية. سوف تحتاج فقط ورقة ، قلم رصاص وحاكم.
الخطوة الأولى هي تحديد نقطتين على السطر الأصلي الذي تريد تعيينه إلى سطر آخر. ضع علامة على هذه النقاط على أنها أ و ب.
الخطوة التالية هي رسم خطوط مستقيمة تربط النقطة أ والنقطة ب بنقاط نهاية خطك الأصلي. تأكد من أن الخطوط تتقاطع مع خطك الأصلي.
- كيفية إنشاء عرض خطي كسري
- الخطوة 1: تحديد التعيين الخطي الكسري
- الخطوة 2: تعريف نطاق التعريف ونطاق القيم
- الخطوة 3: إيجاد معاملات التعيين الخطي الكسري
- الخطوة 4: رسم عرض خطي كسري
- الخطوة 5: تحديد خصائص العرض الخطي الكسري
- الخطوة 6: تطبيق رسم الخرائط الخطية الكسرية في المهام العملية
- سؤال وجواب
- ما هي الأدوات اللازمة لبناء عرض خطي كسري?
- كيف أبدأ في بناء خريطة خطية كسرية?
- هل من الممكن استخدام رسم الخرائط الخطية كسور لعرض ثلاث نقاط?
- كيف يمكنني التحقق من صحة الخرائط الخطية كسور شيدت?
كيفية إنشاء عرض خطي كسري
رسم الخرائط الخطية الكسرية ، المعروف أيضا باسم تحويل موبيوس ، هو شكل خاص من أشكال رسم الخرائط الرياضية التي يمكن استخدامها لترجمة الأرقام من مجموعة إلى أخرى. في هذا القسم ، سننظر في الخطوات اللازمة لإنشاء عرض خطي كسري.
الآن بعد أن عرفت خطوات إنشاء عرض خطي كسري ، يمكنك استخدامها لحل العديد من المشكلات الرياضية.
الخطوة 1: تحديد التعيين الخطي الكسري
التعيين الخطي الكسري (أو التحويل) هو نوع خاص من الوظائف التي تحدد كسرا واحدا إلى كسر آخر. يمكن تمثيله على النحو التالي:
واو (خ) = | ألف * س + باء |
جيم * س + د |
حيث أ ، ب ، ج ، د هي أرقام تسمى المعاملات. يمكن أن تكون أي أرقام منطقية.
غالبا ما يستخدم رسم الخرائط الخطية الكسرية في الرياضيات والفيزياء والاقتصاد وغيرها من المجالات التي تتطلب نمذجة العمليات المختلفة.
لبناء رسم خرائط خطية كسرية ، من الضروري معرفة قيم المعاملات أ ، ب ، ج ، د. يحددون شكل وخصائص العرض.
في الخطوات التالية ، سننظر في كيفية استخدام هذه المعاملات لإنشاء عرض خطي كسري.
الخطوة 2: تحديد منطقة التعريف ومنطقة القيمة
عند إنشاء تعيين خطي كسري ، من الضروري تحديد منطقة التعريف ونطاق قيم الوظيفة. مجال التعريف هو مجموعة القيم التي يتم تعريف الوظيفة من أجلها وتعطي نتيجة واحدة. مجال القيمة هو مجموعة من القيم التي تقبلها الدالة في مجال التعريف الخاص بها.
يحتوي التعيين الخطي الكسري على الشكل:
| واو (خ) = | الفأس + ب | سك + د |
أين أ, ب, ج و د هي معاملات الوظيفة ، س هو متغير مستقل.
يتم تحديد مجال تعريف الوظيفة من خلال قيم س ، حيث لا يكون مقام الكسر صفرا. في هذه الحالة ، يكون مقام الدالة (س + د) ولا يمكن أن يكون صفرا ، لأن القسمة على صفر غير محددة. لذلك ، فإن مجال تعريف الوظيفة هو مجموعة جميع حلول المعادلة (س + د) 0 0.
يتم تحديد نطاق قيم الدالة من خلال هذه القيم ص التي تتوافق مع قيم الدالة و (س) لجميع القيم الممكنة لـ س من مجال التعريف. لتحديد نطاق من القيم ، يمكنك القيام بما يلي:
- ابحث عن نطاق تعريف الوظيفة.
- ابحث عن القيم القصوى والدنيا لـ س من منطقة التعريف.
- استبدال القيم التي تم العثور عليها من س في وظيفة و (س) والعثور على القيم المقابلة من ص.
- حدد الحد الأقصى والحد الأدنى لقيم ص بين قيم ص التي تم العثور عليها. سيكون نطاق قيم الدالة مساويا للنطاق (الفاصل الزمني) من الحد الأدنى إلى الحد الأقصى لقيمة ذ.
على سبيل المثال ، لنفترض أن لدينا التعيين الخطي الكسري التالي:
| واو (خ) = | 2 إكس-1 | 3 + 2 |
لتحديد مجال تعريف الوظيفة ، تحتاج إلى حل المعادلة:
(3س + 2) 0 0
حل هذه المعادلة ، نحصل على:
3س ≠ -2
س ≠ -2 / 3
وبالتالي ، فإن مجال تعريف الوظيفة هو مجموعة جميع قيم س باستثناء -2 / 3.
لتحديد نطاق قيم الدالة ، من الضروري إيجاد الحد الأدنى والحد الأقصى لقيم ص في نطاق معين من س. استبدال قيم س في الدالة و (س):
- س = -3: و(-3) = (2 * -3 — 1)/(3 * -3 + 2) = -7/7 = -1
- س = 0: واو(0) = (2 * 0 — 1)/(3 * 0 + 2) = -1/2
- س = 3: واو(3) = (2 * 3 — 1)/(3 * 3 + 2) = 5/11
الحد الأدنى لقيمة ذ هو -1 ، والحد الأقصى لقيمة ذ هو 5/11. وبالتالي ، فإن نطاق قيم الوظيفة هو الفاصل الزمني من -1 إلى 5/11.
الخطوة 3: إيجاد معاملات التعيين الخطي الكسري
بعد أن نحدد البيانات الأولية ونجد أولا المعامل ك. ثم نجد المعامل ب بناء على معادلة المعادلات الخطية الكسرية.
ضع في اعتبارك معادلة التعيين الخطي الكسري:
واو (خ) = |
a | |
— | (س-ج) |
—
b | |
— | (س-د) |
نعلم أن تعيين زوجين من النقاط يجب أن يكون مكافئا. لذلك ، نحصل على معادلتين عن طريق استبدال س و و(س) بقيم نقطة معروفة.
أولا ، استبدل س1 في المعادلة الأولى:
ص1 = |
a | |
— | (س 1-ج) |
—
b | |
— | (س1-د) |
وبالمثل ، استبدل س2 في المعادلة الثانية:
ص2 = |
a | |
— | (س 2-ج) |
—
b | |
— | (س2-د) |
من خلال حل هذه المعادلات فيما يتعلق أ ، ب ، ج ، د ، سنجد قيم معاملات التعيين الخطي الكسري. ستسمح لنا هذه المعاملات ببناء دالة تقوم بتحويل قيم س إلى القيم المقابلة لـ و (س).
ومع ذلك ، يرجى ملاحظة أنه في بعض الحالات قد لا يكون هناك حل لـ أ ، ب ، ج و د. على سبيل المثال ، إذا س1 = س2 أو ص1 = ص2.
الخطوة 4: رسم عرض خطي كسري
بعد العثور على القيم الأولية والهدف لرسم الخرائط الخطية الكسرية وحساب معاملات التحويل ، يمكننا البدء في رسم هذا التعيين. الرسم البياني لرسم الخرائط الخطية الكسرية هو رسم بياني لوظيفة يتم تحديدها بواسطة المعاملات التي تم الحصول عليها.
لرسم عرض خطي كسري ، يمكننا استخدام جدول القيم. في هذا الجدول ، سنقوم باستبدال قيم مختلفة من منطقة تعريف العرض الأصلي وحساب القيم المقابلة في منطقة القيمة. ثم ، باستخدام القيم التي تم الحصول عليها ، سنقوم ببناء رسم بياني.
لنبدأ بإنشاء جدول قيم. في العمود الأول من الجدول ، سنقوم بتسجيل القيم من منطقة تعريف العرض الأصلي ، وفي العمود الثاني ، القيم المقابلة في منطقة القيمة.
| نطاق التعريف | نطاق القيم |
|---|---|
| القيمة 1 | القيمة 1 محولة |
| القيمة 2 | القيمة 2 محولة |
| القيمة 3 | القيمة 3 محولة |
| … | … |
باستبدال القيم من مجال التعريف في التعيين الخطي الكسري الأصلي ، نحصل على القيم المقابلة في مجال القيمة. نكتب هذه القيم في العمود الثاني من الجدول.
بعد ملء الجدول ، يمكننا بناء رسم بياني. للقيام بذلك ، نضع جانبا القيم من منطقة التعريف على طول المحور الأفقي (المحور السيني) والقيم المقابلة من منطقة القيمة على طول المحور الرأسي (المحور ص).
باستخدام النقاط التي تم الحصول عليها للرسم البياني ، نقوم بتوصيلها بخطوط أو أقواس للحصول على رسم بياني لرسم الخرائط الخطية الكسرية. من المهم أن تتذكر أن الرسم البياني للعرض الخطي الكسري يمكن أن يكون خطا مستقيما أو قطعا مكافئا أو قطعا زائدا ، اعتمادا على معاملات التحويل.
من خلال إنشاء رسم بياني لعرض خطي كسري ، يمكننا تحليل خصائصه والحصول على معلومات حول سلوكه في مجال التعريف ومجال القيم.
وهكذا ، في الخطوة الرابعة ، قمنا ببناء رسم بياني لرسم الخرائط الخطية الكسرية باستخدام جدول القيم ومعاملات التحويل الناتجة. الآن يمكننا استخدام هذا الرسم البياني لتحليل هذا التعيين والتحقيق فيه.
الخطوة 5: تحديد خصائص العرض الخطي الكسري
- حدد ما إذا كان هناك خط مقارب عمودي. للقيام بذلك ، قم بتعيين قيمة المتغير س ، مما يؤدي إلى اللانهاية عند حساب قيمة الوظيفة. إذا اتضح أن الوظيفة تميل إلى اللانهاية ، فإن الخط المقارب الرأسي موجود.
- في حالة وجود خط مقارب عمودي ، حدد معادلته. للقيام بذلك ، استخدم الدالة الأسية في ب +ج التنسيق ، حيث ب و ج هي ثوابت مشتقة من معادلة التعيين.
- تحديد الخط المقارب الأفقي. يمكن تحديد الخط المقارب الأفقي من خلال تحليل حد الوظيفة مثل س يميل إلى ما لا نهاية. إذا كان الحد هو عدد محدود أو لانهائي ، فإن الخط المقارب الأفقي موجود.
- في حالة وجود خط مقارب أفقي ، حدد معادلته. للقيام بذلك ، استخدم الدالة الأسية في تنسيق الفأس + ب ، حيث أ و ب هي ثوابت مشتقة من معادلة التعيين.
- تحديد نقاط التقاطع مع محاور الإحداثيات. للقيام بذلك ، حل نظام المعادلات التي تتكون من معادلات رسم الخرائط وتنسيق معادلات المحور. التقاطعات مع المحور السيني تتوافق مع قيم الدالة عندما ص هو صفر ، والتقاطعات مع المحور الصادي تتوافق مع قيم الدالة عندما س هو صفر.
- تحليل علامات التعبيرات التي تم الحصول عليها باستخدام رسم الخرائط الخطية الكسرية. حدد الفواصل الزمنية التي تكون فيها التعبيرات إيجابية وسلبية. سيساعد هذا في تحديد اتجاه الوظيفة وزيادتها أو نقصانها في هذه الفواصل الزمنية.
- ارسم الدالة باستخدام القيم والفواصل الزمنية التي تم العثور عليها. انتبه إلى الخطوط المقاربة ونقاط التقاطع واتجاه الوظيفة في أقسام مختلفة من الرسم البياني. سيساعدك هذا على تصور التعيين الخطي الكسري وفهم خصائصه.
الخطوة 6: تطبيق رسم الخرائط الخطية الكسرية في المهام العملية
يعد التعيين الخطي الكسري أداة قوية لحل المشكلات العملية المختلفة. في هذا القسم ، سنلقي نظرة على بعض الأمثلة المحددة لتطبيقه.
تحويل الفجوات
يسمح لك التعيين الخطي الكسري بتحويل الفواصل الزمنية على خط رقمي. على سبيل المثال ، إذا احتجنا إلى تحويل الفاصل الزمني [-1 ، 1] إلى الفاصل الزمني [0 ، 2] ، فيمكننا استخدام تعيين خطي كسري.
للقيام بذلك ، نختار أربع نقاط على السطر الرقمي: نقطتان في الفاصل الزمني الأولي [-1 ، 1] ونقطتين في الفاصل الزمني المستهدف [0 ، 2]. ثم نبني خريطة خطية كسرية باستخدام هذه النقاط ونطبقها على الفاصل الزمني الأصلي.
الفاصل الزمني الأولي الفاصل الزمني المستهدف [-1, 1] [0, 2] وبالتالي ، نحصل على تعيين خطي كسري يحول الفاصل الزمني للمصدر [-1 ، 1] إلى الفاصل الزمني المستهدف [0 ، 2]. يمكن أن يكون هذا مفيدا ، على سبيل المثال ، عند قياس البيانات.
حل المعادلات الخطية
يمكن استخدام الخرائط الخطية الكسرية لحل المعادلات الخطية. على سبيل المثال ، إذا كانت لدينا معادلة النموذج فأس + بواسطة = ج ، يمكننا تطبيق تعيين خطي كسري لتقليله إلى شكل أبسط.
للقيام بذلك ، يمكننا تحديد نقطتين على مستوى الإحداثيات وإنشاء تعيين خطي كسري يحول المعادلة الأصلية إلى شكل أبسط ، على سبيل المثال ، إلى معادلة النموذج س = ك. وبالتالي ، يمكننا إيجاد قيمة س التي تفي بالمعادلة الأصلية.
يمكن أن يكون هذا مفيدا ، على سبيل المثال ، عند تحديد نقطة تقاطع سطرين أو عند حل مشكلة العثور على قيمة غير معروفة.
تحويل وظائف معقدة
يمكن أيضا استخدام الخرائط الخطية الكسرية لتحويل الوظائف المعقدة. على سبيل المثال ، إذا كانت لدينا دالة و(س) =(فأس+ ب) /(س +د) ، يمكننا تطبيق رسم تخطيطي كسري لتبسيط تنفيذه وتحليله.
للقيام بذلك ، نختار أربع نقاط على مستوى الإحداثيات: نقطتان توافقان مع الوظيفة الأصلية ونقطتين توافقان مع الوظيفة المحولة. ثم نقوم ببناء خريطة خطية كسرية باستخدام هذه النقاط وتطبيقها على الوظيفة الأصلية.
يمكن أن يكون هذا مفيدا ، على سبيل المثال ، عند إيجاد الدالة العكسية أو عند حل مشكلة تحديد قيمة دالة عند نقطة معينة.
يعد التعيين الخطي الكسري أداة قوية يمكن استخدامها في العديد من المهام العملية. يسمح لك بتحويل الفجوات وحل المعادلات الخطية وتحويل الوظائف المعقدة. يتيح لك استخدام التعيين الخطي الكسري إيجاد حلول أكثر كفاءة ودقة للعديد من المهام.
سؤال وجواب
ما هي الأدوات اللازمة لبناء عرض خطي كسري?
لبناء عرض خطي كسري ، ستحتاج إلى قلم رصاص ومسطرة وورقة وبوصلة (لرسم الدوائر).
كيف أبدأ في بناء خريطة خطية كسرية?
أولا ، حدد زوجين من النقاط على المستوى الذي تريد مطابقته باستخدام تعيين خطي كسري.
هل من الممكن استخدام رسم الخرائط الخطية كسور لعرض ثلاث نقاط?
لا ، يتم استخدام التعيين الخطي الكسري لتعيين نقطتين على بعضهما البعض. إذا كنت بحاجة إلى عرض ثلاث نقاط ، فستحتاج إلى طريقة أخرى ، على سبيل المثال ، تعيين إسقاطي.
كيف يمكنني التحقق من صحة الخرائط الخطية كسور شيدت?
للتحقق من صحة التعيين الخطي الكسري الذي تم إنشاؤه ، تحتاج إلى تحديد زوج آخر من النقاط وتطبيق التعيين الذي تم إنشاؤه عليه. إذا كانت النتيجة هي نفسها كما هو متوقع ، فسيتم إنشاء الشاشة بشكل صحيح.