كيفية بناء دائرة مع 3 نقاط: الخطوات والخوارزميات

بناء دائرة في ثلاث نقاط معينة هي مهمة غالبا ما تتم مواجهتها عند العمل مع الهندسة. تسمى هذه الدائرة "دائرة مقيدة"وهي دائرة تمر عبر النقاط الثلاث.

يمكن أن يكون بناء دائرة محدودة مفيدا في مختلف المجالات ، بما في ذلك الجيوديسيا ورسم الخرائط ورسومات الكمبيوتر ونظرية الخوارزميات. لحل هذه المشكلة ، يمكننا استخدام عدة خطوات وخوارزميات.

الخطوة الأولى لبناء دائرة حول ثلاث نقاط هي إيجاد منتصف الأجزاء التي تربط هذه النقاط. بعد ذلك ، يمكننا إنشاء عمودي على كل جزء من هذه الأجزاء عند نقطة المنتصف ونفس العمودي تماما عند نقطة المقطع الآخر.

1. الخطوة 1: تحديد المهمة
2. الخطوة 2: استيراد المكتبات اللازمة
3. الخطوة 3: إنشاء قائمة بإحداثيات النقاط
4. الخطوة 4: بناء خطوط مستقيمة من خلال نقطتين
5. الخطوة 5: العثور على منتصف الجزء
6. الخطوة 6: إيجاد العمودي
7. الخطوة 7: إيجاد مركز الدائرة
8. الخطوة 8: حساب نصف قطر الدائرة
9. سؤال وجواب
10. هل من الممكن لبناء دائرة مع 3 يشير إذا كانت تقع على نفس الخط المستقيم?
11. كيف يمكنني التحقق مما إذا كانت النقطة تنتمي إلى دائرة مبنية من 3 نقاط?

الخطوة 1: تحديد المهمة

قبل الشروع في بناء دائرة من 3 نقاط ، من الضروري تحديد ما يجب القيام به بالضبط وما هي المعلومات التي لدينا بالفعل.

المهمة هي بناء دائرة تمر عبر ثلاث نقاط معينة في الطائرة. لدينا إحداثيات هذه النقاط الثلاث ، والتي نشير إليها على أنها أ(س1, ص1), ب(س2, ص2) و ج(س3, ص3).

ستعتمد خوارزمية حل هذه المشكلة على مفهوم مركز الدائرة ونصف القطر.

مركز الدائرة هو نقطة في المستوى تقع على نفس المسافة من النقاط الثلاث المحددة. هذا نوع من النقاط المشتركة التي تمر من خلالها الدائرة.

نصف قطر الدائرة هو المسافة من مركز الدائرة إلى أي نقطة على الدائرة.

لذلك ، ستكون مهمتنا تحديد إحداثيات مركز الدائرة (س0 ، ص0) ونصف قطرها ر.

قبل المتابعة إلى الخطوة 2 ، من الضروري التحقق من أن النقاط أ ، ب ، ج لا تقع على نفس الخط المستقيم. إذا استلقوا على نفس الخط المستقيم ، فإن الدائرة التي تمر عبرهم مستحيلة.

الخطوة 2: استيراد المكتبات اللازمة

لبناء دائرة من 3 نقاط ، سنحتاج إلى مكتبات متخصصة للعمل مع الكائنات الهندسية والحسابات. في هذه الخوارزمية ، سوف نستخدم المكتبات التالية:

• نومبي-مكتبة للعمل مع المصفوفات وأداء العمليات الحسابية;
• ماتبلوتليب هي مكتبة لتصور البيانات ، بما في ذلك الرسوم البيانية والرسوم البيانية;
• سسيبي هي مكتبة للحوسبة العلمية التي تحتوي على وظائف مختلفة للعمل مع الهندسة والتحسين.

لاستيراد هذه المكتبات ، قم بتشغيل الأوامر التالية:

استيراد نومبي كما نب

استيراد ماتلوتليب.بيبلوت كما بلت

من سسيبي.تحسين الاستيراد تصغير

يستورد الأمر الأول مكتبة نومبي ويعطيها الاسم المستعار نب للوصول إليه أكثر سهولة. يستورد الأمر الثاني مكتبة ماتلوتليب ويعطيها الاسم المستعار بلت. يستورد الأمر الثالث وظيفة تصغير من مكتبة سسيبي لتحسين الوظيفة.

الخطوة 3: إنشاء قائمة بإحداثيات النقاط

بعد أن نحدد إحداثيات النقاط الثلاث ، نحتاج إلى إنشاء قائمة لتخزين هذه الإحداثيات.

يمكن تقديم قائمة النقاط في شكل جدول ، حيث يتم تمثيل كل نقطة بصف مع إحداثياتها. سيحتوي كل عمود في الجدول على إحداثي واحد. يمكنك استخدام الخطوات التالية لإنشاء قائمة:

1. إنشاء قائمة فارغة من النقاط.
2. أضف النقطة الأولى إلى القائمة باستخدام إحداثياتها.
3. أضف نقطة ثانية إلى القائمة.
4. أضف نقطة ثالثة إلى القائمة.

نتيجة لذلك ، سيكون لدينا قائمة من ثلاث نقاط ، سيتم تمثيل كل منها بإحداثياتها الخاصة.

ستسمح لنا هذه الخطوة بالعمل بشكل ملائم مع إحداثيات النقاط وإجراء المزيد من العمليات الحسابية لبناء دائرة.

الخطوة 4: بناء خطوط مستقيمة من خلال نقطتين

بعد أن حددنا 3 نقاط نريد من خلالها بناء دائرة ، يمكننا الانتقال إلى الخطوة التالية — خطوط البناء من خلال نقطتين. ستسمح لنا هذه الخطوط بإيجاد مركز الدائرة ونصف قطرها.

لبناء خط مستقيم من خلال نقطتين ، نحتاج إلى الخطوات التالية:

1. حدد النقطتين اللتين تخطط من خلالهما لرسم خط مستقيم. دعونا نشير إلى هذه النقاط على أنها أ و ب.
2. بناء طائرة تنسيق ووضع علامة على النقاط أ و ب على ذلك.
3. بناء الجزء أب من خلال ربط هاتين النقطتين. الجزء أب سيكون الجزء الكذب على الخط المستقيم المطلوب.
4. العثور على منتصف الجزء أب ووضع علامة عليه مع نقطة م.
5. ارسم خطا مستقيما يمر عبر النقطة م وعمودي على الجزء أب. سيتقاطع هذا الخط المستقيم مع الدائرة المطلوبة في المركز.

ستساعدنا الخطوط المستقيمة المرسومة من خلال نقطتين في العثور على مركز الدائرة والمضي قدما في بناء الدائرة نفسها.

الخطوة 5: العثور على منتصف الجزء

بعد أن نحدد جميع الإحداثيات الضرورية للنقاط ، يمكننا المضي قدما في إيجاد منتصف المقطع. منتصف المقطع هو نقطة متساوية البعد عن النقطتين المتطرفتين للجزء.

للعثور على منتصف المقطع ، سنستخدم الصيغ التالية:

• للعثور على تنسيق س من منتصف الجزء: (س1 + س2) / 2
• للعثور على تنسيق ص من منتصف الجزء: (ص1 + ص2) / 2

أين س1 و ص1 هي إحداثيات النقطة الأولى ، و س2 و ص2 هي إحداثيات النقطة الثانية.

باستبدال قيم الإحداثيات في هذه الصيغ ، نحصل على قيم س و ص لنقطة منتصف المقطع.

وبالتالي ، يمكننا إيجاد منتصف المقطع بناء على إحداثيات النقطتين المتطرفتين. ستكون هذه المعلومات مفيدة عند رسم دائرة من خلال ثلاث نقاط.

الخطوة 6: إيجاد العمودي

بعد إيجاد مركز الدائرة ونصف القطر ، يمكننا إيجاد العمودي على الخط الذي يمر عبر نقطتين معروفتين باستخدام الخوارزمية التالية:

1. ابحث عن منتصف المقطع بين نقطتين معروفتين. للقيام بذلك ، وحساب متوسط قيمة الإحداثيات س و ص من كلا النقطتين.
2. احسب المعامل الزاوي لخط مستقيم يمر عبر نقطتين معروفتين. للقيام بذلك ، استخدم الصيغة:

م = (ص2-ص1) / (س2-س1)

3. احسب المعامل الزاوي للعمودي عن طريق قلب وتغيير علامة المعامل الزاوي للخط المستقيم. للقيام بذلك ، استخدم الصيغة:

مب = -1 / م

4. استخدم المعامل الزاوي الموجود للعمودي ووسط المقطع لإيجاد معادلة خط مستقيم يمر عبر مركز الدائرة وعمودي على هذا الخط. معادلة الخط المستقيم لها الشكل:

ذ = مبيرب (س — س 0) + ص 0

أين (س0 ، ص0) هي إحداثيات مركز الدائرة.

الآن لدينا معادلة خط مستقيم يمر عبر مركز الدائرة وعموديا على هذا الخط. يمكننا استخدام هذه المعادلة لإيجاد نقطة تقاطع الخطوط.

الخطوة 7: إيجاد مركز الدائرة

بعد تحديد نصف قطر الدائرة في الخطوة السابقة ، فإن الخطوة التالية هي العثور على مركزها. للقيام بذلك ، نحتاج إلى استخدام إحداثيات ثلاث نقاط معروفة يجب أن تمر من خلالها الدائرة.

لإيجاد مركز الدائرة ، يمكننا استخدام إحدى الطرق التالية:

1. طريقة تقاطع نقاط المنتصف
2. طريقة التبعية
3. طريقة الخطين

دعونا نلقي نظرة على كل طريقة بمزيد من التفصيل:

• طريقة تقاطع نقاط المنتصف

  جوهر هذه الطريقة هو رسم نقطتي منتصف بين أزواج من النقاط وإيجاد نقطة تقاطعها. هذه النقطة ستكون مركز الدائرة.

  نقطة	الإحداثيات (س ، ص)
  A	(س1 ، ص1)
  B	(س2 ، ص2)
  C	(س3 ، ص3)

  ثم إحداثيات نقاط الوسط أب و أس سيكون:

  • ساب: س = (س1 + س2) / 2 ، ص = (ص1 + ص2) / 2
  • كيس: س = (س 1 + س 3) / 2 ، ص = (ص 1 + ص 3) / 2

  Найдем уравнение прямой AB и AC:

  • AB: y = kAB * (x — SAB.x) + SAB.y
  • AC: y = kAC * (x — SAC.x) + SAC.y

  где k — наклон прямой:

  • kAB = (SAB.y — y1) / (SAB.x — x1)
  • kAC = (SAC.y — y1) / (SAC.x — x1)

  Теперь найдем точку пересечения этих прямых. Решим систему уравнений:

  • kAB * (x — SAB.x) + SAB.y = kAC * (x — SAC.x) + SAC.y
  • y = kAB * (x — SAB.x) + SAB.y

  Решив эту систему, получим координаты центра окружности.

• طريقة التبعية

  في هذه الطريقة ، سوف نبني عمودي على قطاعات أب و أس تمر من خلال نقاط المنتصف. ستكون نقطة تقاطع هذه الخطوط العمودية هي مركز الدائرة.

  للقيام بذلك ، نحتاج أولا إلى إيجاد ميل الخطوط المستقيمة أب و أس:

  • كاب = (ص2-ص1) / (س2-س1)
  • شركة الخطوط الجوية الكويتية = (ص3-ص1) / (س3-س1)

  نجد إحداثيات نقاط المنتصف أب و أس:

  • ساب: س = (س 1 + س 2) / 2 ، ص = (ص 1 + ص 2) / 2
  • كيس: س = (س 1 + س 3) / 2 ، ص = (ص 1 + ص 3) / 2

  سنجد أيضا معاملات الخطوط العمودية على الخطوط المستقيمة أب و أس:

  • باب = -1 / كاب
  • باك = -1 / كاك

  ستكون معادلة الخطوط العمودية كما يلي:

  • المختبر: ص = باب * (س-ساب.س) + ساب.y
  • لاك: ص = باك * (كيس س.س) + كيس.y

  بعد حل نظام المعادلات العمودية ، نجد إحداثيات مركز الدائرة.

• طريقة الخطين

  تعتمد هذه الطريقة على إيجاد نقطتي المنتصف للقطاعات أب و أس وتقاطعها اللاحق.

  أولا ، ابحث عن إحداثيات نقطتي المنتصف أب و أس:

  • ساب: س = (س1 + س2) / 2 ، ص = (ص1 + ص2) / 2
  • كيس: س = (س 1 + س 3) / 2 ، ص = (ص 1 + ص 3) / 2

  لنأخذ المتجهات أب و أس:

  • فاب = (س2-س1 ، ص2-ص1)
  • بطالة = (س3-س1 ، ص3-ص1)

  لنجد الناتج المتجه لهذه المتجهات:

  • فابكساك = فاب.س * بطالة.واي فاب.ذ * بطالة.x

  العثور على إحداثيات مركز الدائرة:

  • س = ساب . س + (بطالة.ص * (ساب.(واي ساك).ذ) - بطالة.س * (ساب.كيس اكس.خ)) / فابكساك
  • سي واي = ساب.ص + (فاب.س * (ساب.(واي ساك).ص) - فاب.ص * (ساب.كيس اكس.خ)) / فابكساك

في هذه المرحلة ، نحصل على إحداثيات مركز الدائرة ، والتي ستحدد موقعها على المستوى.

الخطوة 8: حساب نصف قطر الدائرة

بعد أن نحدد مركز الدائرة ، الخطوة 7 ، ستكون الخطوة التالية هي حساب نصف قطرها. نصف قطر الدائرة هو المسافة من المركز إلى أي من النقاط التي تنتمي إلى الدائرة.

لحساب نصف قطر الدائرة باستخدام نقاط الإحداثيات أ (س1, ص1), ب (س2, ص2) و ج (س3, ص3) ، يمكننا استخدام الصيغة التالية:

باستخدام هذه الصيغة ، يمكننا حساب نصف قطر الدائرة على سبيل المثال.

1. دع النقطة أ لها إحداثيات أ (2 ، 3) ، تم العثور على مركز الدائرة في الخطوة السابقة — (ح ، ك) = (1 ، 2).
2. حساب نصف قطر الدائرة:

• نصف قطر الدائرة (ص) = √[(2 — 1)^2 + (3 — 2)^2]
• نصف قطر الدائرة (ص) = √[1 + 1]
• نصف قطر الدائرة (ص) =2 2

وبالتالي ، بالنسبة لدائرة معينة ، يكون نصف القطر 2 دولار.

سؤال وجواب

هل من الممكن لبناء دائرة مع 3 يشير إذا كانت تقع على نفس الخط المستقيم?

لا ، من المستحيل بناء دائرة إذا كانت جميع النقاط 3 تقع على نفس الخط المستقيم. تقع الدائرة القائمة على 3 نقاط دائما خارج الخط المستقيم الذي تشكله هذه النقاط.

كيف يمكنني التحقق مما إذا كانت النقطة تنتمي إلى دائرة مبنية من 3 نقاط?

للتحقق مما إذا كانت النقطة تنتمي إلى دائرة تم إنشاؤها من 3 نقاط بداية ، تحتاج إلى إيجاد المسافة من مركز الدائرة إلى هذه النقطة. ثم تتم مقارنة هذه المسافة مع نصف قطر الدائرة: إذا كانت المسافة مساوية لنصف القطر ، فإن النقطة تقع على الدائرة ، وإذا كانت المسافة أقل من نصف القطر ، فإن النقطة تقع داخل الدائرة ، وإذا كانت المسافة أكبر من نصف القطر ، فإن النقطة تقع خارج الدائرة.