المحدد هو سمة مهمة للمصفوفة المستخدمة في الجبر الخطي ونظرية المجموعة والتخصصات الرياضية الأخرى. ومع ذلك ، عند تطبيق التحولات الأولية على المصفوفات ، قد يتغير المحدد. في هذه المقالة ، سننظر في القوانين الأساسية التي تحدد كيفية تغير المحدد أثناء هذه التحولات ، وكذلك إعطاء أمثلة لتفسير مرئي.
محدد المصفوفة هو أداة مفيدة لحساب الخصائص مثل الرتبة والمصفوفة العكسية والقيم الذاتية والمزيد. لذلك ، من المهم معرفة كيف يتغير المحدد أثناء التحولات الأولية. هناك ثلاثة قوانين أساسية تحدد هذه التغييرات: ط) إذا تمت إضافة صف (عمود) آخر مضروبا في رقم معين أو طرحه من أي صف (أو عمود) من المصفوفة ، فسيظل المحدد دون تغيير ؛ ب) إذا تم إعادة ترتيب صفوف (أو أعمدة) المصفوفة، فسيغير المحدد العلامة; ج) إذا تم ضرب أي صف (أو عمود) من المصفوفة برقم معين ، فسيتم ضرب المحدد في هذا الرقم.
على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك مصفوفة 3 3 3 أ:
| 2 4 6 |
| 1 3 5 |
| 0 -1 2 |
إذا طبقنا التحويل الأولي الأول بإضافة الصف الثاني مضروبا في -1 إلى الصف الأول ، فإن محدد المصفوفة أ يظل دون تغيير. بعد التحول الأولي ، نحصل على:
| 3 7 11 |
| 1 3 5 |
| 0 -1 2 |
في هذه المقالة ، سننظر في أمثلة أخرى للتحولات الأولية مع المصفوفات وتأثيرها على المحدد. سيسمح لنا الفهم الأعمق لهذه القوانين بتطبيق التحولات الأولية بشكل فعال في حل أنظمة المعادلات الخطية والمشكلات الأخرى التي يلعب فيها المحدد دورا مهما.
- القوانين الأساسية للتغيير المحدد في التحولات الأولية
- قانون الإضافة
- أمثلة على التحولات الأولية مع محدد
- سؤال وجواب
- كيف يتغير المحدد إذا تم إضافة صف آخر (عمود) أو طرحه إلى أحد الصفوف (أعمدة) من المصفوفة?
- كيف يتغير المحدد إذا تم ضرب أحد الصفوف (الأعمدة) من المصفوفة برقم?
- ماذا يحدث لمحدد إذا صفين (أعمدة) من المصفوفة يتم تبديل?
القوانين الأساسية للتغيير المحدد في التحولات الأولية
المحدد هو رقم يمكن العثور عليه لمصفوفة مربعة. إنه يعكس بعض الخصائص المهمة للمصفوفة ويمكن استخدامه ، على سبيل المثال ، لتحديد قابلية عكس المصفوفة ، وحل أنظمة المعادلات الخطية، إلخ
. عند إجراء تحويلات أولية على المصفوفة ، قد يتغير محددها. هناك العديد من القوانين التي تصف تغيير المحدد أثناء التحولات الأولية الأساسية:
قاعدة ضرب صف من المصفوفة في رقم: إذا تم ضرب جميع عناصر صف المصفوفة في الرقم ك ، ثم يتم ضرب محدد المصفوفة أيضا في ك.
قاعدة إضافة صف آخر مضروبا في رقم إلى صف واحد من المصفوفة: إذا أضفت صفا آخر مضروبا في الرقم ك إلى صف واحد من المصفوفة ، فلن يتغير محدد المصفوفة.
قاعدة التقليب من صفين من المصفوفة: إذا قمت بتبديل صفين من المصفوفة ، فإن محدد المصفوفة سيغير علامته إلى العكس.
عند إجراء تحويلات أولية أخرى ، مثل إعادة ترتيب عمودين أو ضرب عمود برقم ، تظل قوانين مماثلة للتغيير المحدد سارية ، ولكن مع تطبيق العمليات المناسبة على الأعمدة.
لنفكر في مثال للتمثيل المرئي للتغيير في المحدد أثناء التحولات الأولية. بالنسبة للمصفوفة:
| 1 | 2 | 3 |
| 4 | 5 | 6 |
| 7 | 8 | 9 |
لنقم بإجراء التحويل: أضف الصف الأول مضروبا في 2 إلى الصف الثالث. نحصل على مصفوفة جديدة:
| 1 | 2 | 3 |
| 4 | 5 | 6 |
| 9 | 12 | 15 |
محدد المصفوفة الجديدة يساوي أيضا محدد المصفوفة الأصلية ، حيث أجرينا تحولا من النوع الثاني ، حيث لا يتغير المحدد.
قانون الإضافة
قانون الإضافة هو أحد القوانين الأساسية التي تحدد التغيير في محدد المصفوفة أثناء التحولات الأولية. جوهر القانون هو أنه إذا قمت بإضافة صف آخر (عمود) إلى صف واحد (عمود) من المصفوفة ، فلن يتغير محدد المصفوفة.
رسميا ، إذا أعطيت مصفوفة أ من الحجم n:
A أ = \ابدأ {ماتريكس}
أ_{11} & أ_{12} & \ النقاط & أ_{1 م}\\
أ_{21} & أ_{22} & \ النقاط & أ_{2 م} \\
\فدوتس & \ فدوتس & \ ددوتس & \ فدوتس \\
أ_{ن1} & أ_{ن2} & \ النقاط & أ_{نانومتر} \\
\ نهاية {بياتريكس} $ $
и из нее получается матрица B, прибавлением к $i$-ой строке $j$-ой строки ($1 \leq i, j \leq n$):
$$ B = A + \begin{bmatrix}
0 & 0 & \dots & 0 \\
0 & 0 & \dots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & a_{i1} + a_{j1} & \dots & a_{im} + a_{jm} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \dots & 0 \\
\end{bmatrix} $$
Тогда определитель матрицы B будет равен определителю матрицы A.
Пример:
Матрица A:
| 1 | 2 |
| 3 | 4 |
أضف السطر الثاني إلى السطر الأول:
المصفوفة ب:
| 4 | 6 |
| 3 | 4 |
محدد المصفوفة ب هو أيضا 2.
أمثلة على التحولات الأولية مع محدد
تسمح لك التحولات الأولية بتغيير المصفوفة ، بينما يكون المحدد أيضا عرضة للتغيير. فيما يلي أمثلة على التحولات الأولية وتأثيرها على محدد المصفوفة:
إعادة ترتيب صفين (أعمدة).
إذا تم تبديل صفين (أعمدة) من المصفوفة ، فإن محدد المصفوفة يتغير علامة:
a b c d المحدد قبل التحويل: م-قبل الميلاد
c d a b المحدد بعد التحويل: بد-أس
ضرب صف (عمود) برقم.
إذا تم ضرب صف (عمود) المصفوفة برقم، فسيتم أيضا ضرب محدد المصفوفة بهذا الرقم:
a b c d المحدد قبل التحويل: م-قبل الميلاد
2 ألف 2 ب c d المحدد بعد التحويل: 2 (م-قبل الميلاد)
إضافة صف آخر (عمود) مضروبا في رقم إلى صف (عمود).
إذا قمت بإضافة صف آخر (عمود) مضروبا في رقم إلى صف واحد (عمود) من المصفوفة ، فلن يتغير محدد المصفوفة:
a b c d المحدد قبل التحويل: م-قبل الميلاد
ألف + 2 جيم باء + 2 دال c d المحدد بعد التحويل: م-قبل الميلاد
سؤال وجواب
كيف يتغير المحدد إذا
صف آخر (عمود) يضاف أو يطرح إلى أحد الصفوف (أعمدة) من المصفوفة? إذا تمت إضافة صف آخر (عمود) مضروبا في رقم معين أو طرحه من أحد صفوف (أعمدة) المصفوفة ، فلن تتغير قيمة المحدد.
كيف يتغير المحدد إذا تم ضرب أحد الصفوف (الأعمدة) من المصفوفة برقم?
إذا تم ضرب أحد الصفوف (الأعمدة) للمصفوفة برقم ، يتم ضرب قيمة المحدد في هذا الرقم.
ماذا يحدث لمحدد إذا صفين (أعمدة) من المصفوفة يتم تبديل?
إذا قمت بتبديل صفين (أعمدة) من المصفوفة ، فإن علامة المحدد تتغير إلى العكس.