تلعب الاحتمالات دورا مهما في مختلف جوانب حياتنا ، بما في ذلك الألعاب ، وكذلك في حل المشكلات المختلفة. تتمثل إحدى هذه المهام في كيفية تحديد عدد معين من الكرات بلون معين من مجموعة معينة من الكرات. لنلق نظرة على مثال محدد: هناك 10 كرات بيضاء و 5 كرات سوداء ، وتحتاج إلى اختيار 7 كرات ، من بينها 3 كرات سوداء.
لحل هذه المشكلة ، نطبق التوافقية ، وهي فرع من فروع الرياضيات يدرس قواعد العد. هناك عدة طرق لتحديد 7 كرات من أصل 15 (العدد الإجمالي للكرات في المجموعة). في هذه الحالة ، نريد أيضا تحديد عدد معين من الكرات السوداء (3). لحل هذه المشكلة ، يمكننا استخدام صيغة الجمع.
تحدد صيغة الجمع عدد طرق التحديد ك عناصر من ن ، ويشار إليه بـ نك ، المعروف أيضا باسم "ن بواسطة ك". صيغة الجمع تبدو مثل هذا: نك = ن! / (ك! * (ن-ك)!) ، حيث"!"هو عامل الرقم.
دعونا نطبق صيغة المجموعات لهذه المهمة. نحن نريد أن نختار 7 كرات من أصل 15 وتتطلب أن يكون هناك 3 كرات سوداء بين هذه 7 كرات. وهذا هو ، ن = 15 ، ك = 7 و م = 3 (العدد الإجمالي للكرات ناقص عدد الكرات السوداء). دعونا نستبدل هذه القيم في صيغة التوليفات:
15 ج 7 = 15! / (7! * (15-7)!) = 6435.
لذلك ، هناك 6435 طريقة مختلفة لاختيار 7 كرات بشرط أن يكون هناك 3 كرات سوداء بينها. تم حل المهمة بنجاح!
- طريقة اختيار الكرات من مجموعة
- وصف المهمة الأولية
- حل مشكلة التوافقية
- التطبيق العملي
- سؤال وجواب
- كيف يمكنني اختيار 7 كرات (3 منها سوداء) من 10 الأبيض و 5 كرات سوداء?
- ما هي الصيغة المستخدمة للعثور على عدد من الطرق لاختيار 7 كرات (3 منها سوداء) من 10 الأبيض و 5 كرات سوداء?
- يمكنك شرح كيفية اختيار 7 كرات (3 منها سوداء) من 10 الأبيض و 5 الكرات السوداء في الممارسة?
طريقة اختيار الكرات من مجموعة
يمكن استخدام طرق مختلفة لتحديد الكرات من مجموعة تحتوي على 10 كرات بيضاء و 5 كرات سوداء. إحدى هذه الطرق هي طريقة التوافقية.
لحل مشكلة اختيار 7 كرات ، بما في ذلك 3 كرات سوداء ، يمكن استخدام مجموعات من هذه المجموعة. المجموعة هي مجموعة مرتبة من عناصر مجموعة محددة. في هذه الحالة ، تحتاج إلى العثور على جميع مجموعات 10 كرات بيضاء و 5 كرات سوداء تحتوي بالضبط على 3 كرات سوداء.
للقيام بذلك ، يمكنك استخدام الخوارزمية التالية:
- قم بعمل قائمة بجميع مجموعات 10 كرات بيضاء و 5 كرات سوداء.
- انتقل من خلال جميع المجموعات وحدد فقط تلك التي تحتوي على 3 كرات سوداء بالضبط.
- إخراج قائمة من مجموعات مختارة كإجابة.
تتيح لك هذه الطريقة العثور على جميع المجموعات الممكنة التي تلبي شرطا معينا. إنه عالمي ويمكن استخدامه لحل مشاكل مماثلة.
وصف المهمة الأولية
في هذه المهمة ، يتعين علينا اختيار 7 كرات من مجموعة تتكون من 10 كرات بيضاء و 5 كرات سوداء ، بشرط أن يكون هناك 3 كرات سوداء بالضبط بين الكرات المحددة.
تتكون المهمة الأولية من الشروط التالية:
- هناك مجموعة من 15 كرة ، من بينها 10 بيضاء و 5 سوداء.
- تحتاج إلى تحديد 7 كرات من هذه المجموعة.
- يجب أن يكون هناك بالضبط 3 كرات سوداء بين الكرات المختارة.
مهمتنا هي تحديد عدد المجموعات المختلفة التي تلبي هذه الشروط. بعد ذلك ، يمكننا استخدام هذه البيانات في حسابات أخرى أو تحليل الاحتمالات.
حل مشكلة التوافقية
لحل هذه المشكلة التوافقية ، يمكننا استخدام طريقة الجمع. في هذه المهمة ، نحتاج إلى تحديد 7 كرات من إجمالي عدد الكرات ، والتي تتكون من 10 كرات بيضاء و 5 كرات سوداء.
العدد الإجمالي للمجموعات الممكنة من 15 كرة يساوي:
ج15 ، 7 = 15! / (7! * (15 — 7)!)
احسب قيمة هذه الصيغة:
| جيم 15 ، 7 | = 15! / (7! * (15 — 7)!) | = (15 * 14 * 13 * 12 * 11 * 10 * 9!) / ((7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1) * (8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)) | = 6435 |
وبالتالي ، لدينا 6435 خيارا ممكنا لاختيار 7 كرات من أصل 15 ، بشرط أن تكون 3 منها سوداء.
التطبيق العملي
تطبيق مشكلة اختيار 7 كرات من أصل 10 كرات بيضاء و 5 كرات سوداء يجد تطبيقه في مختلف المجالات التي تتطلب حسابات احتمالية. لنلق نظرة على بعض الأمثلة العملية:
البحوث السكانية: تخيل أن لدينا عدد سكان يبلغ 10000 شخص ، 50 ٪ منهم رجال (كرات سوداء) و 50 ٪ من النساء (كرات بيضاء). نريد فحص عينة من 7 أشخاص من هذه الفئة من السكان لتحديد النسبة المئوية للرجال. باستخدام الأساليب الاحتمالية ، يمكننا استخلاص استنتاجات حول تكوين السكان بدرجة معينة من الثقة.
الأعمال والتسويق: لنتخيل أن لدينا قاعدة بيانات للعملاء حيث يتسوق 10 ٪ من العملاء في مكان معين (كرات سوداء) ، و 90 ٪ في منافذ أخرى (كرات بيضاء). نريد عمل عينة من 7 عملاء لتحديد عدد العملاء من العينة الذين ينتمون إلى المكانة المستهدفة. سيساعد هذا العمل على التركيز على الجمهور المناسب واتخاذ قرارات التسويق.
البحوث الطبية: تخيل أننا نحقق في فعالية دواء جديد في عينة من 7 مرضى ، حيث يبدأ 50 ٪ من المرضى (الكرات السوداء) في التعافي بعد استخدام الدواء ، و 50 ٪ لا يفعلون ذلك (الكرات البيضاء). باستخدام الأساليب الاحتمالية ، يمكننا تحديد مدى فعالية الدواء واستخلاص استنتاجات حول قابليته للتطبيق على عدد كبير من السكان.
وبالتالي ، فإن مهمة اختيار 7 كرات من أصل 10 كرات بيضاء و 5 كرات سوداء لها تطبيق عملي في مختلف المجالات حيث يلزم البحث والحسابات الاحتمالية لاتخاذ قرارات مستنيرة.
سؤال وجواب
كيف يمكنني اختيار 7 كرات (3 منها سوداء) من 10 الأبيض و 5 كرات سوداء?
لاختيار 7 كرات من أصل 10 أبيض و 5 أسود ، تحتاج إلى استخدام التوافقية. في هذه الحالة ، لتحديد 3 كرات سوداء ، تحتاج إلى استخدام مجموعات. يتم إعطاء صيغة إيجاد المجموعات على النحو التالي: ج (ن ، ك) = ن! / (ك! (ن-ك)!) ، أين ن هو عدد الكائنات و ك هو عدد الكائنات التي سيتم تحديدها. في حالتنا ، ن = 15 (10 أبيض + 5 أسود) ، ك = 3 (3 أسود). استبدال القيم في الصيغة ، نحصل على ج (15 ، 3) = 15! / (3! (15-3)!) = 455. لذا يمكنك اختيار 7 كرات (3 منها سوداء) من 10 كرات بيضاء و 5 كرات سوداء بـ 455 طريقة مختلفة.
ما هي الصيغة المستخدمة للعثور على عدد من الطرق لاختيار 7 كرات (3 منها سوداء) من 10 الأبيض و 5 كرات سوداء?
للعثور على عدد الطرق لتحديد 7 كرات (3 منها سوداء) من 10 كرات بيضاء و 5 كرات سوداء ، يتم استخدام صيغة المجموعات. يتم إعطاء الصيغة على النحو التالي: ج (ن ، ك) = ن! / (ك! (ن-ك)!) ، أين ن هو عدد الكائنات و ك هو عدد الكائنات التي سيتم تحديدها. في حالتنا ، ن = 15 (10 أبيض + 5 أسود) ، ك = 3 (3 أسود). استبدال القيم في الصيغة ، نحصل على ج (15 ، 3) = 15! / (3! (15-3)!) = 455. وبالتالي ، فإن عدد طرق اختيار 7 كرات (3 منها سوداء) من 10 كرات بيضاء و 5 كرات سوداء هو 455.
يمكنك شرح كيفية اختيار 7 كرات (3 منها سوداء) من 10 الأبيض و 5 الكرات السوداء في الممارسة?
نعم ، بالطبع! لتحديد 7 كرات (3 منها سوداء) من 10 كرات بيضاء و 5 كرات سوداء ، تحتاج إلى استخدام التوافقية. في هذه الحالة ، يمكنك التفكير في جميع المجموعات الممكنة لاختيار 3 كرات سوداء من أصل 5 (يمكن القيام بذلك بتكرار بسيط) ، ثم لكل مجموعة اختر 4 كرات بيضاء متبقية من أصل 10 كرات بيضاء. على سبيل المثال ، خذ مجموعة من الكرات السوداء: {1 ، 2 ، 3}. ثم ، لكل مجموعة من هذا القبيل ، حدد 4 كرات بيضاء من 10 كرات بيضاء المتبقية. حتى تتمكن من الحصول على جميع التوليفات الممكنة لاختيار 7 كرات (3 منها سوداء) من 10 كرات بيضاء و 5 كرات سوداء في الممارسة العملية.