التوافقية هي فرع من فروع الرياضيات يدرس طرق عد وتصنيف الأشياء. واحدة من أكثر مشاكل التوافقية إثارة للاهتمام هي حساب عدد التركيبات التي يمكن صنعها من عناصر معينة. في هذه المقالة ، سننظر في عدد المجموعات التي يمكن أن تتكون من 10 أرقام.
أولا ، دعنا نحدد ما نعنيه بـ"مزيج من 10 أرقام". المجموعة هي مجموعة مرتبة من العناصر ، بينما الرقم هو تسلسل غير مرتب من الأرقام. وبالتالي ، فإن مجموعة من 10 أرقام ستكون مجموعة مرتبة من 10 أرقام مختلفة.
يمكن استخدام مبدأ التقليب لحساب عدد هذه المجموعات. في هذه الحالة ، لدينا 10 عناصر مختلفة (أرقام) ونحتاج إلى تحديد عدد الطرق لإعادة ترتيبها. للقيام بذلك ، يتم استخدام صيغة لحساب مضروب رقم: 10! (يقرأ "10 مضروب").
يشار إلى وظيفة العامل في الرياضيات بالرمز"!". عامل الرقم ن يساوي حاصل ضرب جميع الأعداد الطبيعية من 1 إلى ن. على سبيل المثال ، 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24.
وبالتالي ، يمكن العثور على عدد المجموعات المكونة من 10 أرقام كـ 10!. بحساب هذا التعبير ، نحصل على حوالي 3 ، 628 ، 800 مجموعة.
- عدد مجموعات من 10 أرقام
- التوافقية وتطبيقها:
- العوامل والتباديل:
- مجموعات بدون تكرار:
- مجموعات مع التكرار:
- سؤال وجواب
- كم عدد المجموعات التي يمكنك تكوينها من عشرة أرقام في المجموع?
- كيف يمكنني الاعتماد على عدد من مجموعات من 10 أرقام إذا كان يمكن تكرار الأرقام?
- كيف يمكنني الاعتماد على عدد من مجموعات من 10 أرقام دون تكرار?
عدد مجموعات من 10 أرقام
يستخدم مبدأ التوافقية لحساب عدد المجموعات المكونة من 10 أرقام. في هذه الحالة ، نعتبر الرقم 10 هو المجموعة التي يتم تحديد الأرقام منها.
هناك 10 أرقام إجمالية من 0 إلى 9 ، شاملة ، لذلك لدينا 10 خيارات ممكنة لاختيار الرقم الأول. بعد اختيار الرقم الأول ، هناك 9 أرقام متبقية في المجموعة ويمكننا اختيار الرقم الثاني منها.
لذلك لتحديد كل 10 أرقام ، علينا أن نجعل 10 اختيارات متتالية. يمكن حساب عدد المجموعات بضرب عدد الخيارات لكل خيار:
- اختيار الرقم الأول: 10 خيارات
- اختيار الرقم الثاني: 9 خيارات
- اختيار الرقم الثالث: 8 خيارات
- اختيار الرقم الرابع: 7 خيارات
- اختيار الرقم الخامس: 6 خيارات
- اختيار الرقم السادس: 5 خيارات
- اختيار الرقم السابع: 4 خيارات
- اختيار الرقم الثامن: 3 خيارات
- اختيار الرقم التاسع: 2 خيارات
- اختيار الرقم العاشر: 1 الخيار
لذلك ، يمكن حساب العدد الإجمالي للمجموعات باستخدام الصيغة:
| 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 3,628,800 |
وبالتالي ، يمكن إجراء 3 ، 628 ، 800 مجموعة من 10 أرقام.
التوافقية وتطبيقها:
التوافقية هي أحد فروع الرياضيات المنفصلة التي تدرس طرق الجمع بين الأشياء وتحدد عدد التوليفات الممكنة وفقا لقواعد معينة. يستخدم على نطاق واسع في مختلف المجالات مثل الرياضيات وعلوم الكمبيوتر والفيزياء والاقتصاد وغيرها.
تتمثل إحدى المهام الرئيسية للتركيبات في تحديد عدد المجموعات التي يمكن إجراؤها من مجموعة معينة من العناصر. على سبيل المثال ، بالنسبة للمشكلة "كم عدد مجموعات من 10 أرقام يمكن إجراؤها?"يمكننا استخدام مجموعات دون تكرار.
مزيج دون تكرار هو مزيج من ن عناصر مختارة من مجموعة من العناصر دون تكرار ودون اعتبار للنظام. صيغة تحديد عدد المجموعات بدون تكرار هي كما يلي:
كنك = ن!/ ك!(ن-ك)!,
أين سنك هو عدد مجموعات ن عناصر بواسطة ك عناصر.
وبالتالي ، بالنسبة للمشكلة " كم عدد مجموعات من 10 أرقام يمكن إجراؤها?"يمكننا تطبيق صيغة المجموعات دون تكرار ، حيث ن = 10 (عدد الأرقام) و ك يمكن أن تختلف من 1 إلى 10 (عدد الأرقام التي سيتم اختيارها).
للراحة ، يمكننا تقديم الحل في شكل جدول:
| k | عدد المجموعات |
|---|---|
| 1 | 10 |
| 2 | 45 |
| 3 | 120 |
| 4 | 210 |
| 5 | 252 |
| 6 | 210 |
| 7 | 120 |
| 8 | 45 |
| 9 | 10 |
| 10 | 1 |
وبالتالي ، يمكن أن تتكون 10 أرقام من 1+10+45+120+210+252+210+120+45+10 = 1023 مجموعات.
التوافقية لها تطبيقات عملية واسعة. يتم استخدامه في مشاكل الاحتمالات المختلفة ، ونظرية اللعبة ، والتشفير ، وتحسين العملية ، والجدولة ، والعديد من المجالات الأخرى.
العوامل والتباديل:
العامل هو دالة رياضية يشار إليها بالرمز"!". على سبيل المثال ، يشار إلى عامل الرقم 5 على أنه 5! وهو يساوي حاصل ضرب جميع الأعداد الصحيحة الموجبة من 1 إلى 5 ، أي 5! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 = 120.
في مشكلة التوليفات المكونة من 10 أرقام ، يمكننا استخدام مفهوم العامل لإيجاد عدد جميع التوليفات الممكنة. في هذه الحالة ، لدينا 10 أرقام ويمكن لكل منهم شغل أي موضع في المجموعة.
يمكن التعبير عن عدد جميع المجموعات الممكنة باستخدام الصيغة:
10! = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 3 628 800
وبالتالي ، هناك 3628800 مجموعة مختلفة من 10 أرقام.
إذا كنت بحاجة إلى النظر في مجموعات حيث يجب أن تكون جميع الأرقام 10 موجودة ، ثم يمكنك استخدام التباديل. التقليب هو اختيار مرتب للعناصر من مجموعة معينة. في هذه المشكلة ، هذا يعني أننا بحاجة إلى مراعاة ترتيب الأرقام في المجموعة.
يمكن التعبير عن عدد جميع التباديل الممكنة باستخدام الصيغة:
10 ص 10 = 10!
وبالتالي ، هناك نفس عدد التباديل حيث توجد مجموعات — 3 ، 628 ، 800.
مجموعات بدون تكرار:
التركيبة بدون تكرار هي تركيبة لا يهم فيها ترتيب العناصر ولا يمكن استخدام كل عنصر إلا مرة واحدة.
لحساب عدد المجموعات بدون تكرار ، يمكنك استخدام الصيغة:
كنك = ن! / (ك!(ن-ك)!)
أين:
- نك-عدد المجموعات دون تكرار عناصر ن بواسطة عناصر ك;
- ن! - عاملي الرقم ن ، يساوي حاصل ضرب جميع الأعداد الصحيحة الموجبة من 1 إلى ن;
- ك! - عامل الرقم ك;
- (ن-ك)! هو عامل الفرق بين الأرقام ن و ك.
وبالتالي ، لحساب عدد المجموعات دون تكرار 10 عناصر من 10 عناصر:
ج1010 = 10! / (10!(10-10)!) = 10! / 0! = 10!
لذا ، فإن عدد المجموعات دون تكرار 10 أرقام من 10 عناصر رقمية هو 10!.
مجموعات مع التكرار:
مجموعات مع التكرار هي مجموعات حيث يمكن تكرار العناصر. إنها مفيدة جدا في المواقف المختلفة عندما نحتاج إلى حساب عدد المجموعات من مجموعة معينة من العناصر مع التكرار.
في هذه الحالة ، نفكر في مجموعات من 10 أرقام. وتتمثل المهمة في تحديد عدد المجموعات المختلفة التي يمكن إجراؤها من هذه الأرقام الـ 10 ، حيث يمكن تكرار كل رقم.
لحل هذه المشكلة ، يمكننا استخدام مبدأ التوليفات مع التكرار. المبدأ هو أنه لكل موضع في المجموعة ، لدينا الفرصة لاختيار أي من 10 أرقام. وبالتالي ، يمكن العثور على العدد الإجمالي للمجموعات بضرب عدد التحديدات لكل موضع:
عدد المجموعات = عدد الخيارات للمركز الأول * عدد الخيارات للمركز الثاني*... * عدد الخيارات للموقف الأخير
في هذه الحالة ، يكون عدد الخيارات لكل موضع هو 10 ، حيث يمكننا اختيار أي من الأرقام الـ 10. نظرا لأن جميع المواضع مستقلة عن بعضها البعض ، يمكننا مضاعفة عدد التحديدات لكل موضع لإيجاد العدد الإجمالي للتركيبات. وهكذا:
العدد الإجمالي للمجموعات = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 * 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 10^10 = 10 000 000 000
وبالتالي ، من أصل 10 أرقام ، يمكننا تكوين 10 مليارات مجموعة مختلفة. هذا هو عدد كبير جدا ويوضح قوة مجموعات مع التكرار.
في الختام ، تسمح لنا المجموعات مع التكرار بحساب عدد المجموعات من مجموعة معينة من العناصر مع التكرار. في هذه الحالة ، نظرنا في مثال على مجموعات من 10 أرقام ، حيث يمكن تكرار كل رقم. العدد الإجمالي للمجموعات هو 10 مليار.
سؤال وجواب
كم عدد مجموعات يمكنك ان تجعل من عشرة أرقام في المجموع?
يمكن إجراء 3 ، 628 ، 800 مجموعة من عشرة أرقام. يمكن حساب ذلك باستخدام صيغة بسيطة للتباديل: 10! = 10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 3 628 800.
كيف يمكنني الاعتماد على عدد من مجموعات من 10 أرقام إذا كان يمكن تكرار الأرقام?
إذا كان من الممكن تكرار الأرقام ، فيمكن تحديد أي من الأرقام الـ 10 لكل من المواضع الـ 10 في المجموعة. وبالتالي ، فإن العدد الإجمالي للتركيبات الممكنة سيكون 10^10 (10 مرفوعة إلى قوة 10) ، وهو 10 ، 000 ، 000 ، 000.
كيف يمكنني الاعتماد على عدد من مجموعات من 10 أرقام دون تكرار?
إذا تعذر تكرار الأرقام ، فيمكن تحديد أي من الأرقام الـ 10 للموضع الأول في المجموعة ، و 9 أرقام للموضع الثاني (يتم استبعاد الأرقام المتبقية بعد تحديد الرقم الأول) ، و 8 أرقام للثالث ، وهكذا. وبالتالي ، فإن العدد الإجمالي للتركيبات الممكنة في هذه الحالة سيكون 10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 3 628 800.